大学編入学試験問題（数学） [選択項目] 文中： dy dx 0.1 以下の問に

大学編入学試験問題（数学）
dy
[選択項目] 文中：
dx
0.1
以下の問に答えよ．ただし，y 00 =
(1) 微分方程式
x3 y 0 + y 2 = 0
(2) 線形非同次方程式
0.2
作成責任：碓氷軽井沢 IC 数学研究所
dy
d2 y
, y0 =
である．
dx2
dx
を解け．
y 00 + 2y 0 − 3y = e2x
³y´
dy
=f
の一般解が
dx
x
せ．ただし，C は任意定数，u = xy である．
(1) 1 階微分方程式
(2) 次の微分方程式の一般解を求めよ．
0.3
の一般解を求めよ．
x
(北海道大類 15) (固有番号 s150102)
"Z
#
y/x
du
x = Cexp
であることを示
f (u) − u
dy
− y = xey/x
dx
(北海道大類 16) (固有番号 s160101)
次の 2 階の微分方程式 :
d2 y
dy
−3
+ 2y = 0 ,
dx2
dx
は, y1 = y , y2 = dy/dx の変数変換により,
Ã
! Ã
!Ã
!
y1
0 1
y1
d
=
,
dx
y2
−2 3
y2
と表せる．行列 :
Ã
0 1
−2 3
!
,
の固有値・固有ベクトルを計算することにより, y1 , y2 の一般解を求めよ.
(北海道大類 17) (固有番号 s170101)
0.4
2 階微分方程式 2y
d2 y
=
dx2
µ
dy
dx
¶2
− 1 について，以下の問いに答えよ．
dy
とおくことにより，p と y についての 1 階微分方程式に変形しなさい．
dx
(2) (1) で得られた 1 階微分方程式を利用して，一般解を求めなさい．
(1) p =
(北海道大類 18) (固有番号 s180101)
0.5
原点を通り x 軸上に中心を有する円 C は無数にあるが, 一般にその方程式は, x2 + y 2 + ax = 0（a
は非ゼロの任意の実定数）と表せる. 曲線 D は, y 軸およびすべての円 C に, 交点において直交す
る. このような曲線 D を, 以下の手順で求めよ.
(1) 円 C の点 (x, y) (y 6= 0) における円 C の接線の勾配 m を求めよ.
dy
と,
(2) 曲線 D の方程式を y = y(x) (x ± y 6= 0) とし, 点 (x, y) における曲線 D の接線の勾配
dx
dy
(1) で求めた勾配 m には, 直交関係 m
= −1 が成り立つ. これを用いて, 曲線 D の方程式が
dx
満たすべき微分方程式
dy
(x2 − y 2 )
− 2xy = 0
dx
を導出せよ.
(3) (2) の微分方程式を解き, 題意を満たす曲線群 D が x − y 平面上でどのような図形を描くか答
えよ.
1
(北海道大類 21) (固有番号 s210104)
0.6
以下の微分方程式の一般解を計算せよ. 途中の計算手順を詳しく記述すること.
y0 =
dy
d2 y
, y 00 = 2 とする.
dx
dx
(1) y 0 − 3y = ex
(2) y 00 + 2y 0 + y = 0
(北海道大類 22) (固有番号 s220101)
0.7
微分方程式
x2
d2 y
dy
=
+1
+
2
dx2
dx
2
について, 以下の設問に答えよ. 途中の計算手順を詳しく記述すること.
(A)
(1) 式 (A) の特殊解として y = a3 x3 + a2 x2 + a1 x を仮定し, 係数 a1 , a2 , a3 を定めよ.
(2) 式 (A) の一般解を求めよ.
(北海道大類 24) (固有番号 s240103)
0.8
次の関数 y の導関数
dy
を求めよ.
dx
(1) y = (2x + 3)2
(2) y = x log(x2 + 1)
(北見工業大類 19) (固有番号 s190201)
0.9
次の関数 y の導関数
dy
を求めよ.
dx
(1) y = (3x + 4)3
(2) y = x2 log x
(北見工業大類 23 ) (固有番号 s230201)
0.10
関数 y = log(x +
√
x2 + 1) の導関数
dy
を求めよ.
dx
(北見工業大類 24) (固有番号 s240201)
0.11
次の微分方程式の一般解を, y = eλx と置くことで求めよ.
d2 y
dy
+2
−y =0
2
dx
dx
(岩手大類 16) (固有番号 s160306)
0.12
次の微分方程式の一般解を求めなさい. ただし, y 0 =
(1) y 0 = y 2 + y
dy 00
d2 y
, y = 2 である.
dx
dx
(2) y + 2xy 0 = 0
(3) y 00 − 4y 0 + 3y = x
(岩手大類 20) (固有番号 s200303)
0.13
1 階微分方程式
(x − 1)
dy
+ 2y = 0 · · · · · · · · · · · · °
1
dx
および 2 階微分方程式
d2 y
(y − 1) 2 + 2
dx
µ
について, 次の問いに答えなさい.
(1) 微分方程式 °
1 の一般解を求めなさい.
2
dy
dx
¶2
= 0······°
2
dy
= u と変数変換することにより, y の関数 u についての 1 階微分方
dx
d2 y
du
程式を求めなさい. ただし,
=
u である.
dx2
dy
(3) (2) で求めた 1 階微分方程式の一般解を求めなさい.
(2) 微分方程式 °
2 に対して,
(4) 微分方程式 °
2 の一般解を求めなさい.
(岩手大類 21) (固有番号 s210305)
0.14
次の関数について，導関数
dy
を求めなさい．
dx
(1) y = x3 e−2x
(
x=
cos t + t sin t
(2)
y = 2 sin t − 2t cos t
(2) y =
2x + 1
sin x
(4) x3 y + 3y 2 + 2x4 = 0
(秋田大類 15) (固有番号 s150401)
0.15
次の関数について, 導関数
dy
を求めなさい．
dx
(1) y = sin(sin x)
1
(2) y = x x （ただし, x > 0）
（秋田大類 16） (固有番号 s160401)
0.16
次の関数について, 導関数
dy
を求めなさい．
dx
4x2 = (y − x2 )2 + 1
（秋田大類 16） (固有番号 s160402)
0.17
次の問いに答えよ．
(1) 次の微分方程式を y(0) = a の条件の下に解け．
1
1
dy
+ xy = x + x3 (∗)
dx 2
4
Z
∞
(2) x の関数 y(x) =
2
e−t (cos xt + x2 t)dt について，式 (∗) が成り立つことを示せ．ただし，微
0
分と積分の順序は交換できるものとする．
(東北大類 8) (固有番号 s080502)
0.18
y = y(x) (y 6= 0) , z = z(x) とする. このとき, 以下の問に答えよ.
dz
dy
を y および
を用いて表せ.
dx
dx
dy
(2) 変数変換 z = y −4 を用いて, 微分方程式
+ yP (x) = y 5 Q(x) を z に関する微分方程式に書き
dx
表せ.
1
dy
+ xy = xy 5 の一般解を求めよ.
(3) 微分方程式
dx
2
(1) z = y −4 のとき,
(東北大類 19) (固有番号 s190506)
0.19
微分方程式
d2 y
dy
+ p(x)
+ q(x)y = 0
dx2
dx
の独立な２つの解 y1 (x), y2 (x) を用いて, 微分方程式
d2 z
dz
+ p(x)
+ q(x)z = f (x)
dx2
dx
3
の特解を
z(x) = c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x)
とおく.
dc2
dc1
y1 +
y2 = 0 となるように c1 (x), c2 (x) を選ぶことにより, 特解が
dx
dx
Z x
Z x
f (x0 )y2 (x0 ) 0
f (x0 )y1 (x0 ) 0
z(x) = −y1 (x)
dx
+
y
(x)
dx
2
W (x0 )
W (x0 )
と与えられることを示せ. ここで, W = y1
0.20
次の微分方程式の一般解を求めよ．
(1) 3x − y = (x + y)
dy
dx
(2) 6x − 2y − 3 + (−2x − 2y + 1)
0.21
dy2
dy1
− y2
である.
dx
dx
(お茶の水女子大類 21) (固有番号 s210609)
dy
=0
dx
(東京大類 15) (固有番号 s150702)
以下の微分方程式の解を求めよ．
(1) x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = 0
(2) y 00 + Ay 0 + By − Cx − D = 0
(ただし，A, B, C, D は実数とする．)
(3) ydx − (3x + 2y 2 )dy = 0
(4) yy 00 + (y 0 )2 − 5y 0 = 0
ただし，上の式において y 0 =
dy 00
d2 y
, y = 2 とする．
dx
dx
(東京大類 16) (固有番号 s160703)
0.22
微分方程式
ただし，
x=0
d2 y
+ 4y = f (x)
dx2
dy
のとき， y = 1 かつ
=0
dx
(a)
について，以下の問いに答えよ．
(1) f (x) = 0 のときの解を求めよ．
(2) f (x) = sin 2x のときの解を求めよ．ただし，(a) の特解が yp = x(A cos 2x + B sin 2x) の形とな
ることを利用してよい．A, B は定数である．
(3) f (x) =
100
X
sin N x のときの解を yS とする．x が十分大きいとき，
N =1
yS
を x の関数として表せ．
x
(東京大類 18) (固有番号 s180703)
0.23
dy
= x2 + 2y 2
dx
(1) 以下の微分方程式の一般解を求めよ.
xy
d2 y
n dy
(2) 微分方程式
+
+ a2 y = 0
dx2
x dx
は 0 でない実数とする.
について, 以下の問いに答えよ. ただし, n は整数, a
(a) n = 0 の場合の一般解を求めよ.
(b) n = 2 の場合の一般解を求めよ.
(東京大類 19) (固有番号 s190701)
4
0.24
(1) 微分方程式
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
(1)
∂u
∂u
dx +
dy に等しいならば, 微分方
∂x
∂y
程式 (1) の一般解は u(x, y) = C (C は任意定数) で与えられる. このような方程式 (1) は完全微
分形であるという. 以下の設問に答えよ.
について, 左辺がある関数 u(x, y) の全微分 du(x, y) =
(a) 微分方程式
−ydx + xdy = 0
1
をかけることによって完全微分形の方程式を得る
xy α
ことができる (αは定数). α の値を求め, 完全微分形の微分方程式を導出せよ.
は, 完全微分形ではないが, 両辺に
(b) (a) で得られた完全微分形の微分方程式を, x = 1 のとき y = e の条件の下で解け. ただし,
e は自然対数の底である.
(2) (a) 微分方程式
x2
d2 y
dy
+y =0
−x
dx2
dx
(2)
について, x = et と変数変換することにより定係数の微分方程式を導出せよ（その過程も示
せ）. ただし, e は自然対数の底である.
(b) (a) で導出した微分方程式を解くことにより微分方程式 (2) の一般解を求めよ.
(c) 微分方程式
x2
d2 y
dy
−x
+ y = x loge x
dx2
dx
について, x = 1 において y = 1 ,
0.25
以下の問いに答えよ. ただし, y 0 =
dy
= 0 となる解を求めよ.
dx
(東京大類 21) (固有番号 s210705)
dy
d2 y
, y 00 = 2 とする.
dx
dx
(1) 次の微分方程式の一般解を求めよ.
y 00 + 2y 0 − 3y = x + cos x
(2) 微分方程式
2yy 00 − 3(y 0 )2 = y 2
y(0) = 1 , y 0 (0) = 1
(∗)
0
を考える. ただし, y > 1/2 , y > 0 とする.
(a) p = y 0 とおいて, 式 (∗) を p と y の 1 階微分方程式
dp
− 3p2 = y 2
f (y, p)
dy
の形に変形する. このとき f (y, p) を求めよ.
(∗∗)
(b) 式 (∗∗) を解いて, p を y の式で表せ.
(c) 式 (∗) を解いて, y を x の式で表せ.
(東京大類 22) (固有番号 s220702)
0.26
以下の問いに答えよ. ただし, y 0 =
dy 00
d2 y
, y = 2 とする.
dx
dx
(1) 微分方程式
y 0 = p(x) + q(x)y + r(x)y 2
(∗)
は, 特殊解 y1 (x) 持つことがわかっているとする.
(a) 式 (∗) の一般解を y = y1 (x)+1/u(x) とおき, u(x) に関する微分方程式を p(x), q(x), r(x), y1 (x)
を用いて表せ.
5
(b) y 0 = (x2 + x + 1) − (2x + 1)y + y 2 は, 特殊解 y1 (x) = x を持つことがわかっている. 一般
解を求めよ. (a) で求めた結果を用いてもよい.
(2) 微分方程式
αy 00 + y 0 + y = 0
y(x = 0) = 1, y 0 (x = 0) = 2
(∗∗)
を考える.
(a) y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x を一般解とする. λ1 , λ2 , C1 , C2 をそれぞれ α で表せ. ただし, e は
自然対数の底とする.
(b) x ≧ 0 において, 式 (∗∗) の解を
y0 + y = 0
y(x = 0) = β
の解で近似することを考える. α が十分小さい場合, β をどのように選べば近似できるか,
(a) で求めた λ1 , λ2 , C1 , C2 を用いて説明せよ.
(東京大類 23) (固有番号 s230701)
0.27
(1) 微分方程式
dy
= (y − k)y
dx
(∗)
について以下の問いに答えよ. ただし, k は正の定数である.
(a) y と k の関係に注意し, (∗) の一般解を求めよ.
(b) x = 0 のとき, y = y0 とする. この場合の (∗) の解を求めよ. ただし, y0 > 0 とする.
(c) (b) の解について, y0 を k により適切に場合分けし, y と x の関係を図示せよ.
(2) 次の微分方程式の一般解を求めよ. ただし, e は自然対数の底である.
dy
+ 2y = sin x + e−5x
dx
(東京大類 24) (固有番号 s240701)
0.28
次の微分方程式を, 初期条件 y(0) = 0, y 0 (0) = 1 のもとに解け. ただし, e は自然対数の底である,
dy 00
d2 y
また, y 0 =
, y = 2 とする.
dx
dx
y 00 − 4y 0 + 3y = e−x
(東京大類 25) (固有番号 s250706)
0.29
微分方程式 (∗)
(1) z(x) =
dy
= y + xy 2
dx
を考える．
1
はどんな微分方程式を満たすか．
y(x)
(2) (∗) の一般解を求めよ．
(東京工業大類 10） (固有番号 s100802)
0.30
x = t − sin t , y = 1 − cos t (0 < t < 2π) により定められる関数 y = y(x) について，
を t を用いて表しなさい．
dy
d2 y
および 2
dx
dx
(東京農工大類 18) (固有番号 s180904)
0.31
d2 y
dy
+
−y = 0
dx2
dx
みたすものを求めなさい.
次の微分方程式
6
の解 y = y(x) のうちで y(2) = 3 および lim y(x) = 0 を
x→+∞
(東京農工大類 19) (固有番号 s190901)
0.32
x = et sin t , y = et cos t
³
0≦t≦
π´
2
の表す xy 平面上の曲線を C とする. 次の問いに答えなさい.
6
π
dy
のとき
を求め, t の式で表しなさい.
2
dx
π
d2 y
(2) 0 < t < のとき 2 を求め, t の式で表しなさい.
2
dx
(3) x の関数 y = f (x) の極値を求めなさい. ただし, 極小値か極大値か, そのときの x の値も書き
なさい.
(1) 0 < t <
(4) 曲線 C の全長 L を求めなさい.
(東京農工大類 21) (固有番号 s210902)
0.33
(1) 微分方程式
dy
+ 3y = cos 2x
dx
の解 y = y(x) のうちで周期関数となるものを求めなさい.
(2) 微分方程式
dy
+ 3y = 1
dx
の解 y = y(x) について lim y(x) の値を求めなさい.
x→+∞
(東京農工大類 23) (固有番号 s230901)
0.34
方程式 y + e1−xy = 0 を満たし，y(0) = −e であるような微分可能な関数 y = y(x) について，次の問
に答えよ．
dy
d2 y
および，２次導関数 2 を x, y の有理式で表し，それらの x = 0 における値を求めよ．
dx
dx
(2) y(x) が定義される最大区間を (−∞, a) とするとき，a の値を求め，極限値 lim y(x)， lim y(x)
(1) 導関数
x→−∞
x→a−0
を求めよ．
(電気通信大類 13) (固有番号 s131003)
0.35
次の微分方程式を解け.
(1) sin x cos2 y −
dy
cos2 x = 0
dx
dy
+ y tan x = sin 2x
dx
d2 y
dy
(3)
−4
+ 5y = sin 2x
2
dx
dx
(2)
(電気通信大類 21) (固有番号 s211004)
0.36
a を正の定数とし，関数 f (x) を
−
x<−
と定義する．微分方程式
a
1
a
< x < のとき， f (x) =
2
2
a
a
a
および x > のとき， f (x) = 0
2
2
a
d2 y
x 6= ± のとき， 2 − y = f (x)
2
dx
dy
a
x = ± のとき，は連続
2
dx
x → ±∞ のとき， y = 0
について，次の問に答えよ．
(1) 微分方程式の解を y(x) とするとき，y(−x) = y(x) を示せ．
7
(2) 上記の微分方程式の解を求めよ．
(3) a を 0 に近づけると，解はどのような関数に近づくか？
(横浜国立大類 13) (固有番号 s131101)
0.37
dy
dx
微分方程式
µ
dy
−y
dx
¶
= x(x − y)
を満たし，かつ，x = 0 で y = 0 となる関数 y(x)（ただし，x ≥ 0）を求めよ．
(横浜国立大類 15) (固有番号 s151101)
0.38
次の微分方程式を解け.
dy
x−1
=
dx
2x2 y
(横浜国立大類 17) (固有番号 s171103)
0.39
次の微分方程式を解け．
(1)
d2 y
dy
+
− 6y = 6x3 + 3x2 − 14x + 3
dx2
dx
(2)
x
dy
+ 2xy = 2
dx
y
(横浜国立大類 18) (固有番号 s181101)
0.40
次の微分方程式を解き, 与えられた初期条件を満たす解を求めよ.
(1) (2x + y) + (4x + 2y − 3)
(2)
dy
=0
dx
d2 y
dy
−
− 6y = −4e2x
dx2
dx
初期条件 : x = 2 のとき , y = −1
初期条件 : x = 0 のとき , y = 2 ,
dy
=0
dx
(横浜国立大類 19) (固有番号 s191102)
0.41
次の微分方程式を解け.
(1)
dy
=x+y
dx
(2)
dy
y 2 − x2
=
dx
2xy
(横浜国立大類 20) (固有番号 s201102)
0.42
次の微分方程式を解け.
(1) x2
(2) x
dy
−y =0
dx
dy
+ y + 4x = 0
dx
(横浜国立大類 21) (固有番号 s211101)
0.43
次の微分方程式の一般解を求めよ.
(1)
0.44
2y 5 − 6x4 y
dy
=
dx
3xy 4 − 3x5
(2)
dy
− 2xy = −2x
dx
(横浜国立大類 22) (固有番号 s221102)
次の微分方程式を解け.
(1) x2
dy
= y 2 + xy − x2
dx
(2)
dy
+ y = cos x
dx
(横浜国立大類 23) (固有番号 s231102)
0.45
次の微分方程式の一般解を求めよ.
(1)
¡
xy 3 + 3x3 y
¢
¢ dy ¡ 4
− y + 4x2 y 2 + x4 = 0
dx
8
(2) xy
p
dy
= 4 − y2
dx
(横浜国立大類 24) (固有番号 s241102)
0.46
次の微分方程式の一般解を求めよ.
p
dy
− y = x2 + y 2
dx
d2 y
2 dy
(2)
=0
+
2
dx
x dx
(1) x
(横浜国立大類 25) (固有番号 s251102)
0.47
極座標による曲線 r = r(θ) を x, y 座標に変換したとき，次の関係が成り立つことを示せ．
r0 sin θ + r cos θ
dy
= 0
dx
r cos θ − r sin θ
r0 =
ただし，
d
r(θ) ,
dθ
r00 =
2
,
d2 y
r2 − rr00 + 2r0
=
dx2
(r0 cos θ − r sin θ)3
d2
r(θ)
dθ2
(千葉大類 8） (固有番号 s081201)
0.48
微分方程式
d2 y
x2 2
dx
¯
¯
dy
dy ¯¯
¯
+ 4x
+ 2y = 1 , y(x) x=1 =
=0
dx
dx ¯x=1
(i)
に関する以下の設問に答えなさい．
(1) 変数変換 x = et を考える．変数 x の定義域が [1, ∞] であるとき，変数 t の定義域を求めな
さい．
dy
dy dx
(2) 合成関数 y(x(t)) の微分公式は
=
で与えられる．合成関数 y(x(t)) の２階微分
dt
dx dt
d2 y d2 x dy dx
d2 y
を
,
,
,
を用いて表しなさい．
2
dt
dx2 dt2 dx dt
(3) 変数変換 x = et を用いることによって，式 (i) の微分方程式が
¯
¯
d2 y
dy
dy ¯¯
¯
+3
+ 2y = 1 , y(t) t=0 =
=0
(ii)
dt2
dt
dt ¯t=0
に変換できることを示しなさい．
(4) 式 (ii) の微分方程式を解きなさい．
(5) 設問 (4) で求めた微分方程式 (ii) の解から微分方程式 (i) の解 y(x) を求めなさい．
(千葉大類 13) (固有番号 s131202)
0.49
次の微分方程式の初期条件を満たす解を求め，x ≥ 0 の範囲で解曲線を図示しなさい．
d2 y
dx2
dy
+ 2 dx
+ y = 2 cos x
初期条件 : y(0) = 1 , y 0 (0) = 0
(千葉大類 14) (固有番号 s141203)
0.50
(1) 微分方程式
(2) 初期値問題
dy
= −xy の一般解を求めなさい．
dx

 dy = −xy + xe−x2 /2
の解を求めなさい．
dx
 y(0) = 1
(千葉大類 16) (固有番号 s161203)
0.51
次の微分方程式の解を求めなさい.
(1)
dy
= a(y + b)
dx
ただし, a, b は定数であり, 初期値は y(0) = y0 (y0 6= −b) とする.
9
(2)
dy
= ky(p − y)
dx
ただし, k, p は正の定数であり, 初期値は y(0) = y0 (0 < y0 < p) とする.
(千葉大類 19) (固有番号 s191209)
0.52
次の微分方程式について, 以下の問いに答えよ.
d2 y
4 + x dy
6 + 2x
−
+
y=0
dx2
x dx
x2
(1) y = x2 がこの微分方程式の解となっていることを示しなさい.
(2) y = ux2 （u は x の関数）がこの微分方程式の解となるために, u の満たすべき微分方程式を求
めなさい.
(3) (2) で求めた微分方程式を u について解き, 最初の微分方程式の解を求めなさい.
(千葉大類 21) (固有番号 s211204)
0.53
次の微分方程式を解きなさい.
dy
= −2xy + 3x
dx
1
dy
(2)
= 3xy − 5xy − 3 （ヒント：y の 4/3 乗を z とおいて z の微分方程式に変換すると線形になる.）
dx
(1)
(千葉大類 23) (固有番号 s231204)
0.54
次の微分方程式の一般解を求めなさい.
d2 y
dy
+
− 2y = 8e2x
dx2
dx
´
dy
2x − y ³
y
(2)
=
ヒント：未知関数を u(x) = に変換すると変数分離になる
dx
x − 2y
x
(1)
(千葉大類 25) (固有番号 s251204)
0.55
次の微分方程式を解け.
dy
x4
+ y2 = 0
dx
(筑波大類 16) (固有番号 s161316)
0.56
微分方程式
d2 y
dy
−5
+ 6y = 0
2
dx
dx
の一般解を求めよ.
(筑波大類 19) (固有番号 s191317)
0.57
0.58
y
とおいて微分方程式 2xyy 0 − y 2 + x2 = 0 を解き, それがどのような曲線群を表すか述べよ.
x
dy
なお, y 0 =
である.
dx
(筑波大類 20) (固有番号 s201309)
u=
微分方程式
dy
xy
= 2
の一般解を求め, それが xy 平面上でどのような曲線群になるか調べよ. さら
dx
x −1
に, 代表的な場合（一通りとは限らない）について, そのグラフを xy 平面上に図示せよ.
(筑波大類 22) (固有番号 s221307)
0.59
微分方程式
y0 =
0.60
dy
1
y + xy 2 の解を求めよ. ただし, y 0 =
とする.
x
dx
(筑波大類 24) (固有番号 s241301)
以下の問いに答えなさい．ただし，y 0 =
dy
d2 y
d
, y 00 = 2 , D =
である．
dx
dx
dt
10
(1) 次の１階微分方程式の一般解を求めなさい．
2xyy 0 = x2 + y 2
(2) 次の２階微分方程式の一般解を求めなさい．
y 00 − 7y 0 + 10y = 6x + 8e2x
(
Dx = 4x − y
Dy = x + 2y
(3) 次の連立微分方程式の一般解を求めなさい．
(埼玉大類 15) (固有番号 s151406)
0.61
次の微分方程式の一般解を求めよ. ただし, y 00 =
d2 y
dy
, y0 =
である.
dx2
dx
(1) y 00 − y 0 − 2y = 2x2 − 6x
(2) x3 yy 0 = y 2 + 1
(3) (y + xy 0 )xy = x2 + 2
(埼玉大類 16) (固有番号 s161405)
0.62
次の微分方程式の一般解を求めよ. ただし, y 00 =
d2 y
dy
である.
, y0 =
dx2
dx
(1) 2x2 y 0 = x2 + y 2
(2) y 00 + 2εy 0 + ω02 y = F sin ωx
（ただし, ε 6= 0 , ω02 > ε2 ）
(埼玉大類 17) (固有番号 s171403)
0.63
次の微分方程式を解け．
(1) x(x − y)
dy
+ y2 = 0
dx
(2)
dy
− xy = x
dx
(3)
d2 y
+ y = 2 sin x
dx2
(埼玉大類 18) (固有番号 s181405)
0.64
次の微分方程式を解け.
(1) 2x2
dy
= x2 + y 2
dx
(2)
dy
+ y tan x + cot2 x = 0
dx
(埼玉大類 19) (固有番号 s191406)
0.65
以下の微分方程式を解け.
(1) (x2 + 2xy)dx + (x2 − y 2 )dy = 0
(3)
d2 y
dy
−
− 2y = 10 cos x
2
dx
dx
dy
− y = −xy 3
dx
d2 y
dy
(4) x2 2 − 3x
+ 4y = x
dx
dx
(2) 2x
(埼玉大類 20) (固有番号 s201404)
0.66
以下の微分方程式の解を求めなさい. ただし, c は実定数とする.
(1)
dy
+y =x
dx
(2)
2
dy
− xy = −y 3 e−x
dx
(3) ey dx + xey dy = 0
(4)
d2 y
+ cy = 0
dx2
(埼玉大類 21) (固有番号 s211403)
0.67
(1) 以下の微分方程式を解け.
dy
= tan x · tan y
(a)
dx
11
dy
− y sin x = 2 cos x sin x
dx
d2 y
dy
(c)
+
− 6y = ex
2
dx
dx
(2) y(t) が時刻 t における物体の位置を表すとすると, f 0 (t) は速度, f 00 (t) は加速度を表す.
(b) cos x
(a) 下記の運動方程式を満たすこの物体の位置 y(t) を求めよ.
y 00 (t) + k 2 y(t) = 0 (k > 0 の定数)
(b) 初期条件
y(0) = A0 , y 0 (0) = 0
を満たす解を求めよ.
(埼玉大類 22) (固有番号 s221408)
0.68
以下の微分方程式を解け.
(1) x
µ
dy
− 2x2 y = y
dx
(2) 4y 2 +
d2 y
dy
+6
+ 8y = 0
2
dx
dx
(3)
(4)
dy
dx
¶2
=4
d2 y
dy
−6
+ 9y = sin 3x
2
dx
dx
(埼玉大類 23) (固有番号 s231406)
0.69
(1) 以下の微分方程式を解け.
dy
(a)
+ 2y = x2
dx
d2 y
dy
(b)
+2
+ y = 6e−x
dx2
dx
(2) 室温が 20 ℃ の部屋に置いたコーヒーの温度の変化率は, 時刻 t[分] におけるコーヒーの温度
T (t)[℃] と室温の差に比例する.
(a) このときの比例係数を −k(k > 0) とし, 時間 t と温度 T (t) の関係を微分方程式を用いて
表せ.
(b) t = 0 で 100 ℃ だったコーヒーが, 3 分後に 60 ℃ になったとするとき, 40 ℃ になるまでの
時間を求めよ.
(埼玉大類 24) (固有番号 s241406)
0.70
以下の微分方程式の一般解を求めよ.
dy
= 3y
dx
(x2 − y 2 ) dy
= xy
(2)
2
dx
dy x
(3)
e − x + yex = 0
dx
dy
d2 y
−3
− 10y = 0
(4)
2
dx
dx
(1) x
0.71
0.72
(埼玉大類 25) (固有番号 s251407)
¯√
¯
¯ 1 + x − 1¯
√
¯ について， dy を求めよ．
(1) y = 2 1 + x + log¯¯ √
dx
1 + x + 1¯
Z
log x
√
(2) 不定積分
dx を求めよ．
1+x
(茨城大類 13) (固有番号 s131701)
y =x+
(1)
1
について
x2
dy
= 0 となる x と，そのときの y の値を求めよ．
dx
12
1
のグラフの増減，凹凸および漸近線を調べ，グラフの概形をかけ．
x2
(2) y = x +
(茨城大類 15) (固有番号 s151701)
0.73
関数 y = tan x の定義域を −
る. 次の各問に答えよ.
(1) y = Arctan x の導関数
Z
(2) 定積分
1
√
3
π
π
< x < に制限すると, その逆関数 y = Arctan x を考えることができ
2
2
dy
1
は
となることを示せ.
dx
1 + x2
Arctan x dx を求めよ.
0
(茨城大類 17) (固有番号 s171702)
0.74
(1) x = et とおくとき, x の関数 y に対して,
x
dy
dy
=
,
dx
dt
x2
d2 y
d2 y dy
= 2 −
2
dx
dt
dt
を満たすことを示せ.
(2) 微分方程式
x2
dy
d2 y
−x
− 8y = 0
2
dx
dx
の一般項を求めよ.
0.75
次の微分方程式の一般解を求めよ．
(茨城大類 17) (固有番号 s171703)
µ
¶
dy
y
y
−
=0
(1 + y 2 ) + (1 − y)2
x
dx x
(茨城大類 18) (固有番号 s181703)
0.76
dy
d2 y
と
を求めよ.
dx
dx2
(2) 次の連立不等式で表される範囲を xy 平面に図示せよ.
√
√
π
π
0≦y≦
, y≦x≦
2
2
(1) 関数 y = cos(x2 ) について,
(3) 次の累次積分の順序を交換し, 値を計算せよ.
Z √π ÃZ √π
2
2
0
!
2
cos(x )dx dy
y
(茨城大類 21) (固有番号 s211701)
0.77
dy
= x を解け.
dx
dy
= y を解け.
(2) 微分方程式
dx
(3) 次の連立微分方程式を初期条件 x(0) = 0 , y(0) = 1 のもとで解け.
(1) 微分方程式
dx
= −y ,
dt
dy
=x
dt
(茨城大類 21) (固有番号 s211703)
0.78
初期条件 x = 1 , y = 1 のもとで, 微分方程式 x
0.79
以下の各問に答えよ.
dy
= y(1 + y) の解を求めよ.
dx
(茨城大類 22) (固有番号 s221703)
13
dy
= xy を解け.
dx
dy
(2) 初期条件 x = 0, y = 1 のもとで, 微分方程式
= x + y を解け.
dx
(1) 初期条件 x = 0, y = 1 のもとで, 微分方程式
(茨城大類 24) (固有番号 s241706)
0.80
微分方程式
dy
= y 2 の解を求めよ．
dx
(山梨大類 14) (固有番号 s141804)
0.81
0.82
(1) 1 + x3 を実数の範囲で因数分解せよ．
Z
1
(2)
dx を求めよ．
1 + x3
dy
= (x + y + 1)3 を解け．
(3) 微分方程式
dx
次の微分方程式を解きなさい.
(山梨大類 14) (固有番号 s141805)
dy
x+y
=
dx
x−y
(山梨大類 22) (固有番号 s221808)
0.83
次の微分方程式を解きなさい.
dy
x − 2y
=
dx
2x + y
(山梨大類 25) (固有番号 s251804)
0.84
関数 y = sin(sin(sin x)) の導関数
dy
を求めよ.
dx
（新潟大類 16） (固有番号 s162001)
0.85
次の微分方程式を解け.
(1) (2x − 2y − 1) dx + (−2x + 6y + 3) dy = 0
(2)
d2 y
dy
−
− 6y = −2 cos 2x
dx2
dx
(新潟大類 22) (固有番号 s222009)
0.86
次の微分方程式を解け.
dy
π
= a sin x ただし, x = のとき y = a とする.
dx
2
dy
+ x = 0 ただし, x = 1 のとき y = 0 とする.
(2) y
dx
dy
(3) x2
+ y = 0 ただし, x = 1 のとき y = 1 とする.
dx
(1)
(新潟大類 23) (固有番号 s232001)
0.87
次の２つの微分方程式の一般解をそれぞれ求めよ．
(1)
0.88
d2 y
dy
−2
+ 2y = 0
dx2
dx
（2）
d2 y
dy
−2
+ 2y = x
dx2
dx
(長岡技科大類 4） (固有番号 s042105)
y = e−2x sin 3x とする．
(1) 導関数
dy
d2 y
および 2 階導関数
を求めよ．
dx
dx2
14
d2 y
dy
(2) y が微分方程式 2 + a
+ by = 0 の解となるような定数 a, b の値を求めよ．また，そのとき
dx
dx
の一般解を求めよ．
(長岡技科大類 13) (固有番号 s132105)
0.89
微分方程式 (∗) x2
d2 y
dy
+x
− 4y = x について, 以下の問いに答えよ.
2
dx
dx
dy
d2 y
− 4y = 0 の解となるような整数 n を求
(1) y = xn が (∗) の右辺を 0 とした方程式 x2 2 + x
dx
dx
めよ.
(2) y = ax が (∗) の解となるような定数 a の値を求めよ.
(3) 微分方程式 (∗) の一般解を求めよ.
(長岡技科大類 16) (固有番号 s162102)
0.90
dy
+ ay = 0 の初期条件 y(0) = b を満たす解を求めよ. ここで a, b は定数である.
dx
∂z ∂z
(2) 微分できる関数 f (t) に対して, z = f (x + 2y) とおく. この z が
+
+ z = 0 を満たし, かつ
∂x ∂y
f (0) = 2 となる f (t) を求めよ.
(1) 微分方程式 :
(長岡技科大類 17) (固有番号 s172105)
0.91
微分方程式
d2 y
dy
+2
+ ay = 0 (a は a > 1 なる定数) について、以下の問に答えなさい．
dx2
dx
(1) 一般解を求めなさい．
(2) 初期条件 y(0) = 1 , y 0 (0) = −1 を満たす解を求めなさい．
(3) 前問で求めた解が y(π) = 0 を満たすような定数 a の値を求めなさい．
(長岡技科大類 18) (固有番号 s182104)
0.92
次の微分方程式を解きなさい．
(1) (1 + x)y + x(1 − y)
(2)
dy
=0
dx
dx
dy
= ay , = −ax (a > 0)
dt
dt
(金沢大類 11) (固有番号 s112205)
Z
0.93
x
dx を求めよ．
x2 + 1
dy
x(y 2 + 1)
(2) 微分方程式
=−
dx
y(x2 + 1)
(1)
の一般解を求めよ．
(富山大類 13) (固有番号 s132304)
0.94
次の微分方程式を解け．
dy
+ y = 1 の一般解を求めよ．
dx
2x + y
dy
=
の一般解を求めよ．
(2)
dx
y
(1)
dy
2x + xy 2
=−
の一般解を求めよ．
dx
2y + x2 y
(4) (3) で求めた一般解から，y(1) = 3 を満たす特解を求めよ．
(3)
(富山大類 15) (固有番号 s152305)
0.95
次の微分方程式の一般解を求めよ.
15
dy
− 2y = 1
dx
dy
(2) 2xy(1 + x)
= 1 + y2
dx
dy
y−x+1
(3)
=
dx
y−x+2
(1)
(富山大類 16) (固有番号 s162305)
0.96
次の微分方程式 3 問のうち, 2 問を選択し, それぞれ一般解を求めよ.
dy
= y + y2
dx
dy
+ (cos x)y = 0
(2) (sin x)
dx
d2 y
dy
(3)
− 2y = 0
+
2
dx
dx
(1)
(富山大類 17) (固有番号 s172306)
0.97
以下の常微分方程式の一般解を求めよ. ただし, (4) については y = · · · の形で表現する必要はない.
dy d2 y
また, y 0 , y 00 は, それぞれ
,
を意味する.
dx dx2
(1) y 0 + y − 2 = 0
(2) y 00 = 2y 0 + 3y
(3) xy − (2 + x)y 0 = 0
(4) y(y + 2x)dy + (y 2 − x2 )dx = 0
(富山大類 19) (固有番号 s192307)
0.98
次の微分方程式の解を y = f (x) の形で求めよ. ただし, (1)∼(3) については一般解, また, (4) につ
いては特殊解とする.
p
dy
= y + x2 + y 2
dx
d2 y
dy
(4)
−3
− 10y = 0
dx2
dx
dy
+y =0
dx
dy
4x + 2y
(3)
=−
dx
2x + y − 1
(1) x3
(2) x
µ
x = 0 の時 y = 0,
dy
=7
dx
¶
(富山大類 20) (固有番号 s202305)
0.99
次の微分方程式のついて, (1)∼(3) については一般解を, また, (4) については特殊解をそれぞれ求
めよ。
(1) (y + 3x)dx + (x + 1)dy = 0
(2) x
¡
¢
dy
= 2x 1 + x2 − y
dx
(3) y 00 − y = 0
(4) xdx − ex dy = 0
(x = 0 のとき y = 1)
(富山大類 21) (固有番号 s212305)
0.100
次の微分方程式 4 問中から 3 問を選択し, それぞれの一般解を求めよ.
ただし, sinh x =
(1) y 2 + 1 − 2y
(3) (cosh x)
ex − e−x
ex + e−x
, cosh x =
である.
2
2
dy
=0
dx
dy
+ (y − x) sinh x = 0
dx
(2)
x2 + y 2 − 2xy
(4)
x2
dy
=0
dx
d2 y
dy
+x
− 4y = 0
2
dx
dx
(富山大類 22) (固有番号 s222306)
16
0.101
変数 x の未知関数 y に関する微分方程式
dy
(∗)
− 2xy = xy 2
dx
について, 次の問いに答えよ.
(1) u = y −1 (y 6= 0) とおいて, (∗) から u に関する 1 階線形微分方程式を導け.
(2) (1) を用いて微分方程式 (∗) を解け.
(富山大類 23) (固有番号 s232304)
dy
y
=−
を解け．さらに，解曲線を図示せよ．
dx
x−3
(福井大類 12) (固有番号 s122408)
0.102
微分方程式
0.103
微分方程式 x · cos
y dy
y
·
= −x + y · cos を解け．
x dx
x
(福井大類 12) (固有番号 s122409)
0.104
微分方程式
dy
x2
+y =0
dx
を解きなさい. ただし, x 6= 0 , y 6= 0 とする.
(福井大類 16) (固有番号 s162414)
0.105
次の微分方程式の解を求めよ．
dx
x
= 2
ただし，x(1) = 1
dt
t
dy
(3) x2
= y 2 − 1 ただし，y(1) = 0
dx
(1)
(2) x
dy
= y2 − 1
dx
ただし，y(1) = 0
(福井大類 18) (固有番号 s182407)
0.106
0.107
次の微分方程式を解け．
dy
dy
(1)
= y2 − 1
(2) x(x − y)
+ y2 = 0
dx
dx
次のような微分方程式について, 問に答えよ.
(1) 一般解を導け.
(3) x
x
dy
d2 y
+ 2y = x2
(4) 2 + y = cos x
dx
dx
(福井大類 18) (固有番号 s182412)
dy
= y2 − 9
dx
(2) y(1) = 0 であるような解を求めよ.
(福井大類 19) (固有番号 s192410)
0.108
x2
次のような微分方程式について, 問に答えよ.
(1) 一般解を導け.
dy
= y2 + 9
dx
(2) y(1) = 0 であるような解を求めよ.
(福井大類 19) (固有番号 s192411)
0.109
以下に示されるような関数 y(x) に関する常微分方程式が与えられている.
2
dy
d2 y
+α
+ 2y = 4
dx2
dx
ここで, α は実数であるとし, 以下の問いに答えよ.
dy(0)
= −2 とするとき, 微分方程式の解 y(x) を求めよ.
dx
(2) x → ∞ とするとき, α > 0 という条件下では y(x) がある有限の定数 yp に収束することが知ら
(1) α = 5, y(0) = 0,
れている（すなわち
lim y(x) = yp ）. そのときの yp の値を求めよ.
x→∞
17
(3) (2) の条件の下で y(x) が収束するとき, y(x) が振動しながら収束するための α の条件を求めよ.
(福井大類 20) (固有番号 s202410)
0.110
(1) 次の関数を微分せよ.
(a) y = sin3 4x
(b) y = ax
(2) 極座標系 (r, θ) についての方程式 r = 2a cos θ の θ = α における接線の方程式を求める. 以下の
各問に従って解答せよ.
なお, 必要に応じて右下の公式を利用せよ.


 sin 2A = 2 sin A cos A
cos 2A = cos2 A − sin2 A = 2 cos2 A − 1 = 1 − 2 sin2 A


cos(A ± B) = cos A cos A ∓ sin A sin B





(a) 極座標系 (r, θ) と直交座標系 (x, y) との関係を求めよ.
x=
y=
(b) θ = α における接線の傾き dy/dx を求めよ.
dy
=
dx (θ=α)
(c) θ = α における接線の方程式を求めよ. ただし, 解答は途中の計算を示すとともに,
内に記号または数字を入れて方程式を完成せよ.
³
´
cos − 1
=
r
a cos2 (福井大類 21) (固有番号 s212401)
0.111
次の微分方程式の一般解を求めよ.
(1) x2 dy − (y 2 − 1)dx = 0
dy
(2)
cos x = −y sin x
dx
dy
y2
(3)
=
（変数変換を用いよ）
dx
xy − x2
(福井大類 21) (固有番号 s212404)
0.112
次の関数の導関数
dy
を計算せよ.
dx
(1) x3 y 5 + y 6 + 2x − 1 = 0
(2) xy = sin(x + y)
(福井大類 22) (固有番号 s222402)
0.113
次の微分方程式の一般解を導出して, 初期条件を満たす解を求めよ.
dy
+ xy = x (x = 1 のとき, y = 0)
dx
dy
(2) x
+ x + y = 0 (x = 1 のとき, y = 0)
dx
dy
(3)
= (x + y)2 (x = 1 のとき, y = −1)
dx
(1)
(福井大類 22) (固有番号 s222410)
0.114
次の微分方程式を解け.
dy
(1) xy
=y−1
dx
(2)
dy
+y =x
dx
18
p
dy
− y = x2 + y 2
dx
(福井大類 22) (固有番号 s222420)
(3)
x
0.115
次の各問にしたがって, 半径 R の円の円周の長さを求めよ.
y
(1) 右の図のように, 関数 f (x) の L1 から L2 の
Z L2
長さは
ds で求めることができる.
L1
s
µ ¶2
Z L2
Z b
dy
ds =
1+
dx
dx
L1
a
ds
dx
L1
となることを導け.
a
y = f (x)
dy
L2
ds
b
x
(2) 点 (x, y) と x 軸との間の角度を θ とすると, x および y を θ の関数で表せ. また, dy/dx を求
めよ.
Z L2
Z
(3)
ds =
L1
b
s
µ
1+
a
dy
dx
¶2
dx の積分の式を用いて, 半径 R の円の円周の長さが 2πR となるこ
とを示せ. ただし, 計算の途中過程も必ず示すこと.
(福井大類 23) (固有番号 s232404)
0.116
つぎの微分方程式の一般解を導出して, 初期条件を満たす解を求めよ.
dy
− xy = x ( 初期条件 : x = 0 のとき, y = 0)
dx
dy
(2)
+ ex y = 2ex ( 初期条件 : x = 0 のとき, y = 1)
dx
dy
(3)
+ y cos x = sin x cos x ( 初期条件 : x = 0 のとき, y = 0)
dx
(1)
(福井大類 23) (固有番号 s232408)
0.117
次に示す微分方程式について以下の問いに答えよ.
dy
d2 y
+ 2a
+ 5y = f (x)
dx2
dx
(1) f (x) = 5 として, 以下の問いに答えよ.
(a) この微分方程式の特解 ys を求めよ.
(b) この微分方程式の余関数（斉次方程式の一般解）が C1 eαx + C2 eβx （ただし α, β は異な
る実数）の形となり, x → ∞ で 0 に収束するための a の条件を求めよ.
¯
dy ¯¯
(2) a = 1, f (x) = 10 sin x, y(0) = −1,
= 0 として, この微分方程式を解け.
dx ¯
x=0
(福井大類 23) (固有番号 s232410)
0.118
つぎの微分方程式の一般解を導出して, 初期条件を満たす解を求めよ.
dy
+ 2xy = x (初期条件 : x = 0 のとき, y = 0)
dx
dy
− y sin x = sin x (初期条件 : x = 0 のとき, y = 0)
(2)
dx
dy
(3) x
+ y = x(1 − x2 ) (初期条件 : x = 1 のとき, y = 0)
dx
(1)
(福井大類 24) (固有番号 s242411)
0.119
a を定数とする, 次の
x3 − 3xy + y 3 = a
により定まる陰関数 y = ϕ(x) にたいして,
dy
d2 y
と
を求めよ.
dx
dx2
(福井大類 25) (固有番号 s252401)
19
0.120
次の微分方程式の一般項を導出して, 初期条件を満たす解を求めよ.
dy
+ x2 y = x2 （初期条件：x = 0 のとき y = 2 ）
dx
dy
(2)
= y 2 + y （初期条件：x = 0 のとき y = 1 ）
dx
1
1
1
なお, 必要であれば, 2
= −
の関係を用いること.
y +y
y y+1
dy
(3)
+ 2y tan x = sin x （初期条件：x = 0 のとき y = 0 ）
dx
(1)
(福井大類 25) (固有番号 s252414)
0.121
次の問に答えよ.
dy
1
(1)
= x2 +
を解け.
dx
x
dy
(3) x
− y = x log x を解け.
dx
(2) (2x + y) + (x + 2y)
dy
= 0 を解け.
dx
(静岡大類 17) (固有番号 s172506)
0.122
0.123
dy
dy
1 − y2
= −ky + cos ωx を解け．
(2)
+
= 0 を解け．
dx
dx 1 − x2
y
dy
= − + x2 y 3 を解け（ヒント：u = y −2 と置け）.
(3)
dx
x
(静岡大類 18) (固有番号 s182508)
(1)
次の微分方程式を解きなさい．
dy
= (x + y + 2)2
dx
(静岡大類 18) (固有番号 s182511)
0.124
dy
+ 2xy = 0 の一般解を求めよ.
dx
dy
+ 2xy = x + x3 , y(0) = 1 を解け.
(2) 常微分方程式
dx
(1) 常微分方程式
(静岡大類 19) (固有番号 s192506)
0.125
次の各微分方程式の一般解を求めよ.
dy
(1)
= −2y
dx
dy
= −2y + sin x
(3)
dx
dy
= xex+y の一般解を求めよ.
dx
³π´
cos x
1
dy
+
y=
の初期条件
y
= 2 を満たす解を求めよ.
(2) 常微分方程式
dx
sin x
cos2 x
4
(静岡大類 20) (固有番号 s202503)
0.126
(1) 常微分方程式
0.127
次の微分方程式を解け.
dy
(1)
= y(1 − x)
dx
0.128
dy
= y(1 − 2y)
dx
d2 y
dy
(4)
−3
− 10y = 0
2
dx
dx
(静岡大類 19) (固有番号 s192508)
(2)
(2)
dy
= y(1 − y)
dx
次の常微分方程式の一般解を求めよ.
dy
dy
y
(1) x2
+ y2 = 0 ,
(2)
− = x3 ,
dx
dx x
dy
= y(1 − y 2 )
dx
(静岡大類 20) (固有番号 s202505)
(3)
(x ≥ 0)
(静岡大類 21) (固有番号 s212506)
20
0.129
1 階線形微分方程式
dy
+ P (x)y = Q(x)
dx
の一般解は
y=e
−
R
½Z
p(x)dx
Q(x)e
R
¾
P (x)dx
dx + C
と表せることを示せ. ただし, C は積分定数とする.
(静岡大類 21) (固有番号 s212507)
0.130
次の微分方程式を解け.
(1)
0.131
dy
x − 2y − 4
=
dx
2x + 4y
(2)
d5 y
d4 y
d3 y
d2 y
−
−
+
3
− 2y = 0
dx5
dx4
dx3
dx2
(静岡大類 21) (固有番号 s212508)
dy
x − 2y − 4
=
dx
2x − 4y
(3)
次の微分方程式の初期値問題の解 y = y(x) を求めよ.
 dy

dy


+ y − y2 = 0


+y =x
dx
dx
(1)
(2)


 y(0) = 1

y(0) = 0
2
(静岡大類 22) (固有番号 s222507)
0.132
0.133
次の各微分方程式の一般解を求めよ.
dy
dy
(1)
= 2xy
(2)
= 2xy(1 − y)
dx
dx
(3)
dy
x+y
=
dx
x−y
(静岡大類 22) (固有番号 s222508)
次の 2 階の微分方程式 °
2 について以下の問に答えよ.
d2 y
dy
+4
+ 3y = 0 · · · · · · °
2
dx2
dx
(1) 微分方程式 °
2 の一般解を求めよ.
(2) y 0 + y = u · · · °
3 とおくとき, u は次の微分方程式 °
4 をみたすことを示せ.
du
+ 3u = 0 · · · · · · °
4
dx
(3) 微分方程式 °
4 の一般解を求めよ.
(4) 微分方程式 °
3 を (2) で求めた u を非同次項とする y についての 1 階線形微分方程式とみなすこ
とにより, 微分方程式 °
3 の一般解を求めよ.
(静岡大類 22) (固有番号 s222510)
0.134
次の微分方程式の初期値問題の解 y = y(x) を求めよ.
 dy

= y 2 sin 2x cos 3x
(x ≧ 0)

dx
(1)
(2)

 y(0) = 5
3


 dy = x + 2y
dx
x

 y(1) = 1
(x ≧ 1)
(静岡大類 23) (固有番号 s232507)
0.135
0.136
次の各微分方程式の一般解を求めよ.
dy
dy
(1)
= y sin x
(2)
= y(1 − y)(2 − y)
dx
dx
dy
= y + sin x
dx
(静岡大類 23) (固有番号 s232508)
次の微分方程式 °
1 について以下の問に答えよ. ただし, y 0 =
(3)
dy 00
d2 y
, y = 2 とする.
dx
dx
xy 00 + 2y 0 + xy = 0 · · · · · · °
1
21
cos x
は, 微分方程式 °
1 の解であることを示せ.
x
(2) x の関数 u について, y = uy1 が微分方程式 °
1 の解であるとき, u は次の微分方程式
(1) 関数 y1 =
d2 u
du
− 2(tan x)
=0
2
dx
dx
を満たすことを示せ.
du
(3)
= v とおくとき v を求めよ.
dx
(4) u を求めよ.
(5) 微分方程式 °
1 の一般解を求めよ.
(静岡大類 23) (固有番号 s232509)
0.137
0.138
0.139
次の各微分方程式の初期値問題を解け. ただし, y 0 =
(1) y 00 + 4y 0 + 3y = 0 ,
y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
(2) y 00 + 4y 0 + 4y = 0 ,
y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
(3) y 00 + 4y 0 + 5y = 0 ,
y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
d2 y
dy 00
, y = 2 とする.
dx
dx
(静岡大類 23) (固有番号 s232510)
¡
¢
次の微分方程式の解 y = y(x) を求めよ (1) は一般解を求めよ .
 2
d y

2


 dx2 + y = x ,


d2 y
(2)
(1) 2 + y = 0
y(0) = 0 ,

dx



dy


(0) = 0
dx
(静岡大類 24) (固有番号 s242503)
次の各微分方程式の一般解を求めよ.
dy
dy
(1) x
= 2y
(2)
sin x + y cos x = x
dx
dx
(3) (2x2 y + y 2 ) dx + (x3 + xy) dy = 0
(静岡大類 24) (固有番号 s242508)
0.140
g(x, y) および h(x, y) が m 次同次関数であるとき
dy
g(x, y)
=
dx
h(x, y)
は同次形微分方程式であることを示せ. ただし, m 次同次関数とは, 任意の実数 t に対して
f (tx, ty) = tm f (x, y)
を満たす関数 f (x, y) のことをいう.
(静岡大類 24) (固有番号 s242509)
0.141
次の微分方程式 °
1 および °
2 について以下の問いに答えよ.
x2
d2 y
dy
+x
−y =0
2
dx
dx
······°
1
x2
dy
d2 y
+x
−y =x
dx2
dx
······°
2
(1) 微分方程式 °
1 の一般解を求めよ.
22
x log x
は微分方程式 °
2 の特殊解であることを示せ.
2
(3) 微分方程式 °
2 の一般解を求めよ.
(2) y =
(静岡大類 24) (固有番号 s242510)
0.142
次の常微分方程式の一般解 y = y(x) を求めよ. ただし, log は自然対数を表す.
(1) x
0.143
dy
− y = x log x (x > 0)
dx
微分方程式
(2)
d2 y
dy
−4
+ 3y = e2x
2
dx
dx
(静岡大類 25) (固有番号 s252506)
d2 y
dy
+2
+ 2y = 0
dx2
dx
について，以下の問に答えよ．
(1) 一般解を求めよ．
(2) 初期条件
y(0) =
dy
(0) = 2
dx
1
,
2
を満たす特殊解を求めよ．
(3) 一般に，微分方程式（a, b は定数とする）
dy
d2 y
+a
+ by = 0
dx2
dx
の２つの解を y1 (x), y2 (x) とするとき，
dy1
dy2
y2 − y1
dx
dx
f (x) =
が満たす微分方程式を求めよ．また，この f (x) が，ある x0 で f (x0 ) 6= 0 ならば，すべての x で
f (x) 6= 0 であることを示せ．
(岐阜大類 12) (固有番号 s122601)
0.144
(1) 関数を x = a sin t，y = b cos t とするとき，
dy
を求めよ．
dx
(2) 次の関数の概略図を描け．
ex − e−x
ex + e−x
ex − e−x
(a)
(b)
(c) x
2
2
e + e−x
2
2
x
y
(3) ある曲線 2 + 2 = 1 (a, b > 0) で囲まれる部分の面積を求めよ．
a
b
(岐阜大類 13) (固有番号 s132603)
0.145
次の微分方程式の一般解を求めよ．
(1) 9y
0.146
dy
+ 4x = 0
dx
(2) x
dy
+ y = sin x
dx
(岐阜大類 13) (固有番号 s132608)
次の 1 階の微分方程式を解け.
(1)
3
dy
dy
−
= 0 (2)
− 3y = 5
dx xy
dx
(岐阜大類 16) (固有番号 s162603)
0.147
次の微分方程式を解け. ただし, x = 0 のとき y = y0 とする.
dy
= a − by
dx
(a, b は定数)
(岐阜大類 17) (固有番号 s172608)
23
0.148
次の微分方程式を解け．
x
dy
1
− + xex = 0
dx x
(岐阜大類 18) (固有番号 s182603)
dy
y2
=− 3
dx
x
(岐阜大類 18) (固有番号 s182612)
0.149
次の微分方程式を解け．ただし，x = 1 のとき y = 1 とする．
0.150
微分方程式
d2 y
dy
+6
+ 9y = 25e2x
dx2
dx
を解け．
(岐阜大類 18) (固有番号 s182620)
0.151
微分方程式
dy
= (1 − y)y
dx
について, 次の問いに答えよ.
(1) 初期条件 y(0) = a をみたす解を求めよ. ただし, a は正の実数とする.
(2) 上で求めた解 y(x) について, lim y(x) を求めよ.
x→∞
(岐阜大類 19) (固有番号 s192605)
0.152
次の微分方程式を, 与えられた初期条件の基で解け.
x2
dy
+y =0
dx
初期条件は, x = 1 で y = 1 .
(岐阜大類 19) (固有番号 s192617)
0.153
微分方程式
y
dy
= e2x
dx
の一般解と初期条件 y(0) = 1 を満たす特殊解を求めよ.
(岐阜大類 19) (固有番号 s192624)
0.154
以下の文において, (2)∼(7) に適切な式または値を入れよ.
微分方程式
微分方程式
d2 x
a
dx
=
· · · (1) を解くことを考える. y =
とおくと, 式 (1) は y と t に関する
dx
dt2
dt
+b
dt
(2)
に変換される. これを解くと式
(3)
が得られる.
dy
dy dx
=
·
であることを用いると, 式 (1) は y と x に関する微分方程式
dt
dx dt
される. これを解くと式
(5)
が得られる.
一方,
(4)
に変換
37.5
[m/s2 ] と表せる.
ν + 50
すなわち, ν = 0 [m/s] での加速度は 0.75[m/s2 ] であり, 速度が大きくなるにつれて加速度は低下す
る. この車両が停止時から加速して 75[m/s](= 270[km/h]) に達するまでの時間は
(6)
[s] であ
さて, 新幹線の新しい車両では, 力行時の加速度は速度 ν[m/s] によって変り
り, その間に走行する距離は
(7)
[m] である.
(岐阜大類 20) (固有番号 s202611)
0.155
y は x の関数であるとする. 微分方程式
dy
+ y cos x = sin x cos x
dx
について, 以下の問いに答えよ.
(1) 初期条件 y(0) = 0 を満たす解を求めよ.
(2) 上で求めた解 y(x) の 0 ≦ x ≦π における最大値を求めよ.
(岐阜大類 21) (固有番号 s212606)
24
0.156
x = a cos3 t , y = a sin3 t のとき，
dy
を求めよ．
dx
(豊橋技科大類 9） (固有番号 s092702)
0.157
以下は微分方程式の解き方のあらすじである．それについて以下の (1)∼(3) の各問に答えよ．
次の方程式を満たす y を求める．
dy
+ P (x)y = Q(x)
dx
P (x) , Q(x) は， x のみの関数である．まず u , v を x の関数として，
y = uv
とおく．ここで
v=e
（イ）
（ロ）
Z
− P (x)dx
（ハ）
とすると
dv
+ P (x)v = 0
dx
となる．次に du/dx を求め，これを F (x) とすると
これから
（ニ）
du
= F (x)
dx
（ホ）
(C は任意定数)
（ヘ）
Z
u=
F (x)dx + C
と書けるので， y が求まる．
(1) （イ）（ロ）（ハ）を用いて
dv
+ P (x)v = 0
dx
であることを示せ．
(2) （イ）（ロ）（ハ）を用いて du/dx を求めることにより， F (x) を P (x) , Q(x) で表せ．
dy
(3) x
+ y = log x を満たす y を求めよ．ただし，log は自然対数を表す．
dx
(豊橋技科大類 11） (固有番号 s112705)
0.158
次の微分方程式の一般解 y(x) を示せ．ただし，任意定数として新たな記号を用いた場合には，その
√
記号が任意定数であることを明記せよ．また，i = −1 とする．
d2 y
dy
+2
+ 2y = 0
dx2
dx
(豊橋技科大類 12) (固有番号 s122705)
0.159
次の微分方程式の一般解を求めよ．
(1)
dy
+y =x
dx
(2)
d2 y
dy
−4
+ 3y = e2x
dx2
dx
(豊橋技科大類 18) (固有番号 s182703)
0.160
次のサイクロイド曲線に対して, 以下の問いに答えよ.
(
x = a(θ − sin θ)
(a > 0, 0 ≤ θ ≤ 2π)
y = a(1 − cos θ)
(1) 曲線の導関数
dy
を求めよ.
dx
25
(2) θ = π における接線の方程式を求めよ.
(3) 曲線を x 軸のまわりに回転させるときにできる立体の体積を求めよ. なお, 次の公式を用いて
もよい.

(n − 1)!! π


Z π2
Z π2
（n : 偶数）

n!!
2
cosn x dx =
sinn x dx =

0
0

 (n − 1)!!
（n : 奇数）
n!!
(
n(n − 2)(n − 4) · · · 2 （n : 偶数）
ただし, n!! =
n(n − 2)(n − 4) · · · 1 （n : 奇数）
(名古屋大類 20) (固有番号 s202802)
0.161
(1) 逆三角関数 y = arcsin x ( ただし，−π/2 ≤ y ≤ π/2) の導関数は
1
dy
=√
dx
1 − x2
であることを示せ．
(2) 次の定積分の値を部分積分法を用いて求めよ．
Z 1
(arcsin x)2 dx
0
(名古屋工業大類 12） (固有番号 s122902)
0.162
(1) オイラーの微分方程式
d2 y
dy
+ px
+ qy = R(x)
2
dx
dx
は，独立変数を x = et によって x から t に変換すると，２階線形微分方程式
x2
dy
d2 y
+ (p − 1)
+ qy = R(et )
2
dt
dt
に書き換えられることを示せ．
(2) 次のオイラーの微分方程式
x2
d2 y
dy
− 3x
+ 4y = x2
dx2
dx
の一般解を求めよ．
(名古屋工業大類 12) (固有番号 s122904)
0.163
次の定数係数 2 階線形微分方程式の一般解を求めよ.
d2 y
dy
−4
+ 4y = x2
dx2
dx
(名古屋工業大類 17) (固有番号 s172903)
0.164
境界条件「x = 0 のとき, y = 1」のもとで, 微分方程式
dy
=1+x+y
dx
の整級数の解 y = c0 + c1 x + c2 x2 + · · · + cn xn + · · · を求めよ.
(名古屋工業大類 22) (固有番号 s222908)
0.165
関数 y = ex が微分方程式 xy 0 + p(x)y = x の１つの解である. ただし, y 0 =
次の問に答えよ.
(1) 関数 p(x) を求めよ.
26
dy
である. このとき,
dx
(2) 微分方程式の一般解を求めよ.
(3) 境界条件 : x = ln 2 のとき, y(x) = 0 を満たす微分方程式の特殊解を求めよ.
(名古屋工業大類 25) (固有番号 s252909)
0.166
y = f (x) に関して，次の微分方程式の一般解を求めなさい．
0.167
次の微分方程式の一般解を求めなさい．
0.168
次の微分方程式
d2 y
+ a2 y = a2 (b + 1)
(a > 0 , b > 0)
dx2
について, 以下の問いに答えよ.
dy
=y
dx
(三重大類 14) (固有番号 s143113)
x2
dy
+y =x
dx
(三重大類 15) (固有番号 s153107)
(1) 一般解を求めよ.
(2) x = 0 で y = 0 ,
dy
= 0 , および x = π で y = b のとき, y が無限大となる a の条件を求めよ.
dx
(三重大類 16) (固有番号 s163109)
0.169
y = y(x) に関する次の微分方程式の一般解を求めなさい.
d2 y
dy
+5
+ 6y = 5
dx2
dx
(三重大類 16) (固有番号 s163110)
0.170
微分方程式
¡
¢ dy
1 + x2
= xy を解け.
dx
(三重大類 17) (固有番号 s173102)
0.171
次の常微分方程式に関する以下の問に答えなさい. ただし, e は自然対数の底, a , b はともに実定数
とする.
dy
+ ay = f (x)
dx
(1) f (x) = 0 の場合の一般解を求めなさい.
(2) f (x) = ebx の場合の一般解を求めなさい.
(三重大類 17) (固有番号 s173109)
0.172
0.173
次の微分方程式の一般解を求めよ.
dy
y
(1)
=
dx
x
(2)
d2 y
dy
+4
+ 3y = 0
dx2
dx
(三重大類 19) (固有番号 s193104)
以下の微分方程式 (1) および積分方程式 (2) を解きなさい.
dy
= y を満たす関数 y = f (x) を求めよ. ただし, f (0) = 1 とする.
dx
Z x
1
(2) xf (x) =
f (x)dx + 1 を満たす関数 y = f (x) を求めよ.
x
1
(1)
(三重大類 21) (固有番号 s213101)
0.174
次の (1) から (3) の微分方程式を, それぞれ与えられた初期条件のもとで解きなさい.
(1)
dy
= 3y
dx
（初期条件は x = 0 のとき y = 5）
27
(2)
dy
y
=2
dx
x
(3)
dy
= cos(x + y)
dx
（初期条件は x = 1 のとき y = 3）
（初期条件は x = 0 のとき y = 0）
(三重大類 21) (固有番号 s213105)
0.175
0.176
dy
(1) 未知関数 y(x) についての微分方程式
+ xy = x について, 初期条件 y(0) = 0 を満たす解を
dx
求めよ.
d2 y
dy
(2) 未知関数 y(x) についての微分方程式 2 + 2
+ y = 0 の一般解を求めよ.
dx
dx
(三重大類 21) (固有番号 s213111)
次の微分方程式の一般解を求めなさい. ただし, x 6= 1 とする.
dy
(x − 1)
+y−1=0
dx
(三重大類 22) (固有番号 s223107)
0.177
指示に従って導関数を求めなさい.
³
´2
(1) y = ex + e−x を x で微分せよ. e は自然対数の底を表す.
r
a−x
(2) y = x ·
を x で微分せよ. a は定数を示す.
a+x
dy
(3) x = sin t, y = cos 2t のとき,
を求めよ.
dx
(三重大類 23) (固有番号 s233101)
ただし, y 0 =
dy
であり, log は自然対数である.
dx
(三重大類 25) (固有番号 s253102)
0.178
y = x log x のとき, y 0 を求めよ.
0.179
微分方程式の初期値問題 y 00 − 2y 0 + 5y = x, y(0) = 1, y 0 (0) = 0 の解を求めよ.
dy 00
d2 y
ただし, y 0 =
, y = 2 である.
dx
dx
(三重大類 25) (固有番号 s253104)
0.180
次の微分方程式の一般解を求めよ.
(1)
0.181
y+2
dy
=
dx
x+1
(2)
dy
+ y = sin x
dx
次の微分方程式に関する問いに答えよ．
µ ¶2
d2 y
dy
dy
= 2+
を解け．
(1)
dx
dx
dx
dy
= 0 (or 0.5) のとき，曲線の概形を描け．
dx
(京都大類 10) (固有番号 s103303)
µ
¶
µ
¶
d2 y
d
d
微分方程式
+ 9y = 7 cos 3x を
+ 3i
− 3i y = 7 cos 3x
と書く．
dx2
dx
dx
µ
¶
µ
¶
d
d
z=
− 3i y と置くことにより，上の微分方程式は
+ 3i z = 7 cos 3x となる．これを用い
dx
dx
て，上の微分方程式の一般解を以下の問いに従って求めよ．
(2) 上の解で x = 0 で y = 0 ,
0.182
d2 y
dy
−
− 2y = 0
2
dx
dx
(奈良女子大類 25) (固有番号 s253206)
(3)
(1)
dz
+ 3iz = 7 cos 3x の解 z を求めよ．
dx
28
(2) 上の解 z を使って，
0.183
dy
− 3iy = z の解 y を求めよ．
dx
(京都大類 14) (固有番号 s143302)
以下の問に答えよ.
(1) P (x) と Q(x) は独立変数 x だけを含む関数とする. この時次のような１階線形微分方程式
dy
+ P (x)y = Q(x)
dx
の一般解は
R
y = e−
·Z
P dx
R
Qe
P dx
¸
dx + c
になることを証明せよ.
(2) 上記の関係式を使って次の２つの微分方程式の一般解を求めよ．
dy
(a) 2x
+ y = 2x2
dx
dy
(b) (1 + x2 )
= xy + 1
dx
(京都大類 16) (固有番号 s163302)
dy
を計算せよ．
dx
(京都工芸繊維大類 11) (固有番号 s113401)
0.184
x > 0 で定義された関数 y = xx に対して，
0.185
(1) y は x の関数である．変数変換 x = et を行うと y は t の関数となる．このとき
dy
dy
=x ,
dt
dx
2
d2 y
dy
2d y
=
x
+x
2
2
dt
dx
dx
が成り立つことを示せ．
d2 y
(2) 微分方程式 x2 2 − 2y = 0 を解け．
dx
(京都工芸繊維大類 16) (固有番号 s163410)
0.186
0.187
d2 y
dy
+3
+ 2y = 0 の一般解を求めよ.
dx2
dx
d2 y
dy
(2) 微分方程式 2 + 3
+ 2y = 1 の解で, 初期条件 y(0) = 1 , y 0 (0) = 0 を満たすものを求めよ.
dx
dx
(京都工芸繊維大類 19) (固有番号 s193405)
(1) 微分方程式
次の微分方程式を考える.
dy
y2
= 2 −2
dx
x
(∗)
y
= u とおいて, (∗) を u に関する微分方程式に書き換えよ.
x
(2) 初期条件 y(1) = 3 を満たす (∗) の解を求めよ.
(1)
(京都工芸繊維大類 21) (固有番号 s213404)
0.188
次の微分方程式を考える.
(∗)
dy
= 2x(y 2 + 1)
dx
(1) (∗) の一般解を求めよ.
(2) 初期条件 y(0) = 1 を満たす (∗) の解を求めよ.
(京都工芸繊維大類 24) (固有番号 s243404)
0.189
微分方程式
d2 y
dx2
dy
+ a dx
+ by = 0
の解 y = y(x) を
29
(1) b = −2a2 ,
(2) b =
a2
,
4
(3) b = 2a2
の場合にそれぞれ求めよ．ただし，a は定数（実数）とする．
(大阪大類 13) (固有番号 s133502)
0.190
次の微分方程式に関する以下の問に答えよ.
d2 y
dy
+3
+ y = 0 の一般解 y = y(x) を求めよ.
dx2
dx
d2 y
dy
(2) 微分方程式 2 + 3
+ y = x2 + 3x + 1 の一般解 y = y(x) を求めよ.
dx
dx
dy
d2 y
+ y = x2 + 3x + 1 の解 y = y(x) を
(3) 微分方程式 2 + 3
dx
dx
dy
初期条件「x = 0 の時に, y = 10 かつ
= −6」のもとで求めよ.
dx
(1) 微分方程式
(大阪大類 24) (固有番号 s243502)
0.191
微分方程式に関する以下の問いに答えよ.
(1) 微分方程式 x2
d2 y
dy
− 2x
+ 2y = 0 を x = et と変数変換することで, 一般解 y(x) を求めよ.
dx2
dx
ただし, x > 0 とする.
d2 y
dy
− 2x
+ 2y = 6x4 の特殊解を y = Ax4 と表すとき, A の値を求めよ.
dx2
dx
dy
(3) (2) の微分方程式の解 y(x) を求めよ. ただし, x = 1 のとき, y = 4 かつ
= 9 とする.
dx
(2) 微分方程式 x2
(大阪大類 25) (固有番号 s253502)
0.192
次の微分方程式の一般解を定数変化法で求めよ．
(1)
0.193
(2)
d2 y
+ y = cos(x)
dx2
(大阪府立大類 15) (固有番号 s153601)
次の微分方程式を解きなさい.
(1)
0.194
dy
+ 4y = cos(x)
dx
5xy + 4
3y + 4x
dx =
dy
y
y2
(2)
次の形に書ける微分方程式を同次形という．
d3 y
d2 y
dy
+2 2 −
− 2y = e2x
3
dx
dx
dx
(大阪府立大類 17) (固有番号 s173602)
³y´
dy
=f
dx
x
(1) 同次形の微分方程式は，変数分離型に変換して解くことができる．この変換を示して，解を得る
プロセスについて説明せよ．
dy
x2 + y 2
(2) (1) を利用して
=
の一般解を求めよ．
dx
2xy
(大阪府立大類 18) (固有番号 s183602)
0.195
次の微分方程式の一般解を求めよ.
µ
¶2
dy
a
(1)
=
(a > 0)
dx
x+y
(2)
dy
d2 y
−4
+ 4y = 6e2x
dx2
dx
(大阪府立大類 19) (固有番号 s193602)
0.196
次の微分方程式の一般解を求めよ.
(1)
x + 3y
dy
=
dx
x
(2)
d2 y
dy
1
−2
+ y = x2 + x + ex
2
dx
dx
2
30
(大阪府立大類 20) (固有番号 s203602)
0.197
次の微分方程式の一般解を求めなさい.
dy
= 4x3 y
dx
(大阪府立大類 22) (固有番号 s223612)
0.198
次の微分方程式の一般解を求めよ.
(1) (x + 1)
0.199
dy
− xy = 0
dx
(2)
d2 y
dy
−5
+ 6y = ex
2
dx
dx
(大阪府立大類 23) (固有番号 s233608)
次の微分方程式の一般解を求めなさい.
(1)
dy
+ xy = x
dx
(2)
d2 y
dy
=0
+
dx2
dx
(大阪府立大類 25) (固有番号 s253601)
0.200
次の微分方程式の一般解を求めよ.
dy
= y2 − y
dx
d2 y
dy
(2)
−4
+ 4y = sin x
2
dx
dx
(1)
(大阪府立大類 25) (固有番号 s253607)
0.201
微分方程式
dy
3x − y
y
=
をu=
とおいて u の微分方程式にせよ．
dx
x+y
x
(2) (1) の一般解を求めよ．
(1)
(3)
dy
x (6x2 − y 2 − 2)
=
の一般解を求めよ．
dx
y (x2 + y 2 + 2)
(神戸大類 6) (固有番号 s063802)
0.202
次の微分方程式を解け.
(1)
dy
− y = emx
dx
(m ∈ R)
(2)
d2 y
dy
−2
+y =0
dx2
dx
(神戸大類 20) (固有番号 s203809)
0.203
次の微分方程式の一般解を求めよ. ただし, y 0 , y 00 はそれぞれ
dy d2 y
,
を表す.
dx dx2
(1) y 00 − y 0 − 2y = 0
(2) y 00 − y 0 − 2y = cos x
(神戸大類 21) (固有番号 s213808)
0.204
微分方程式
dy
− y = −y 2 · · · · · · · · · (∗)
dx
について, 以下の問いに答えよ.
(1) z = y −1 とおいて, z を満たす微分方程式を求めよ.
(2) (1) で求めた微分方程式の一般解を求めよ.
(3) 初期条件「x = 0 , y = 1/2」のもとで, 微分方程式 (∗) を解け.
(神戸大類 22) (固有番号 s223805)
31
0.205
常微分方程式
y 00 − y = e−x
0.206
を初期条件 y(0) = a, y 0 (0) = b のもとで解け. また, x ≥ 0 で有界な解が存在するための a と b の必
dy 00
d2 y
要十分条件を求めよ. （ここで y 0 =
, y = 2 である. ）
dx
dx
(神戸大類 23) (固有番号 s233805)
³x´
dy
y = tan−1
の微分係数
が次式で与えられることを証明せよ．ただし，a は定数で a > 0 で
a
dx
ある．
dy
a
= 2
dx
a + x2
(鳥取大類 9) (固有番号 s093901)
0.207
微分方程式
(1 − x2 )
dy
d2 y
− 2x
+ 6y = 0
dx2
dx
の解のうちで，多項式で表わされるものを求めよ．
(鳥取大類 13) (固有番号 s133906)
0.208
次の微分方程式の一般解を求めなさい.
dy
d2 y
+3
+ 2y = 0
dx2
dx
(鳥取大類 16) (固有番号 s163904)
0.209
(1) x = tan y のとき, 逆関数 y = tan−1 x が定義できる. このとき, 逆関数の導関数
dy
を求めよ.
dx
(2) y = x4 e−1/x を微分せよ.
(3) 次の関数を微分せよ. ただし, x > 0 とし, また log の底は e とする.
p
y = log(x + x2 + 1)
(鳥取大類 20) (固有番号 s203901)
0.210
次の微分方程式の一般解を求めよ.
(1)
dy
+ 3xy = 0
dx
(2)
d2 y
dy
−5
+ 6y = sin 2x
dx2
dx
(鳥取大類 20) (固有番号 s203907)
0.211
方程式 x2
d2 y
dy
− 2x
+ 2y = 0 の一般解を求めよ.
dx2
dx
(鳥取大類 21) (固有番号 s213901)
dy
= x(1 − x) を初期条件 x(0) = x0 (> 0) の下で解け.
dx
(鳥取大類 21) (固有番号 s213903)
0.212
方程式
0.213
以下の微分方程式の一般解を求めよ.
(1) 2x2 y
(2)
dy
+ xy 2 + x = 0
dx
d2 y
dy
−3
+ 2y = 4x + 6e3x
dx2
dx
(鳥取大類 21) (固有番号 s213909)
0.214
次の問に答えよ.
(1) 陰関数 f (x, y) = x4 − 4xy + y 4 = 0 において,
32
dy
を求めよ．
dx
(2) 次の関数の極値を求めよ. また, それは極大値か極小値か答えよ.
f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 6x − 3y + 9
(鳥取大類 23) (固有番号 s233902)
0.215
以下の微分方程式の一般解を求めよ.
d2 y
dy
dy
(1)
= 1 − y2
(2)
−
− 2y = cos x
2
dx
dx
dx
(鳥取大類 23) (固有番号 s233908)
0.216
以下の微分方程式の一般解を求めよ.
dy
− xy = 0
dx
d2 y
dy
(2)
+4
+ 3y = 4e−x
dx2
dx
(1) (x2 + 2)
(鳥取大類 25) (固有番号 s253903)
0.217
a, b は実定数で a 6= 0 とするとき，次の問いに答えよ．
Z
Z
(1) 不定積分 eax sin bx dx ,
eax cos bx dx を求めよ．
(2) 1 階線形微分方程式
dy
+ ay = cos bx
dx
の一般解を求めよ．
(∗)
(3) 初期値 y(0) がどのような値であっても，x → ∞ のとき微分方程式 (∗) の解 y(x) が収束するた
めの必要十分条件を a と b を用いて表せ．
(広島大類 18) (固有番号 s184105)
0.218
関係式 y = e−x e−y から,
dy
を y のみを用いて表せ.
dx
(広島大類 23) (固有番号 s234104)
0.219
次の微分方程式の解を求めよ. ただし, x = 1 のとき y = 2 とする.
x
dy
+ y = 2x
dx
(広島大類 24) (固有番号 s244112)
0.220
x = 1 − 2t , y = e2t sin t とする.
dy
dx
と
を求めよ.
dt
dt
d2 y
(3)
を求めよ.
dx2
(2)
(1)
dy
を求めよ.
dx
(広島市立大類 23) (固有番号 s234201)
dy
+ ay = b を解け. ただし, a, b は 0 でない定数である.
dx
(広島市立大類 24) (固有番号 s244202)
0.221
微分方程式
0.222
次の微分方程式を，与えられた初期条件のもとで解け．
dy
= log x 初期条件「x = 1 のとき y = 1」
dx
(山口大類 12) (固有番号 s124302)
33
0.223
³
´
1
dy
(1) y = log x + (x2 + 1) 2 で
を求めなさい．
dx
(2) x = 1 − t2 , y = t3 の関係が成り立っているとき，
0.224
dy
を求めなさい．
dx
（山口大類 13） (固有番号 s134307)
dy
= 2xy
dx
次の微分方程式の一般解を求めなさい．
(山口大類 13) (固有番号 s134313)
0.225
y = xu とおいて，次の微分方程式の一般解を求めなさい．
dy
x(x − y)
+ y2 = 0
dx
(山口大類 13) (固有番号 s134314)
0.226
0.227
y
dy
= を変数分離により解きなさい．
dx
x
dy
y
y
(2) 微分方程式
= を，u = の変数変換を行うことにより解きなさい．
dx
x
x
(山口大類 15) (固有番号 s154307)
(1) 微分方程式
微分方程式 x
dy
= 2x + y の一般解を求めよ.
dx
(山口大類 16) (固有番号 s164306)
0.228
微分とは, 導関数を求めることをいう. 導関数とは, 関数 f (x) における微分係数を, x の関数で表した
df (x)
関数
のことをいう. 微分係数とは, x から x + ∆x の区間における関数 f (x) の平均変化率にお
dx
いて, ∆x → 0 の極限を取った値をいう. そのような定義に従って
dy
= 2x となることを示しなさい.
dx
√
dy
1
(2) y = x + 1 を x について微分すると,
= √
となることを示しなさい.
dx
2 x+1
(1) y = x2 を x について微分すると,
(山口大類 17) (固有番号 s174307)
0.229
次の微分方程式を解きなさい.
dy
+y =0
dx
dy
(2) x
+ y = x log x を (1) の結果を利用して解きなさい.
dx
d2 y
dy
(3)
−2
+ 5y = ex cos 2x
2
dx
dx
(1) x
(山口大類 17) (固有番号 s174308)
(3xy 2 + x3 )
0.230
次の微分方程式を解きなさい.
0.231
次の微分方程式の一般解を求めなさい.
dy
= 3x2 y + y 2
dx
(山口大類 20) (固有番号 s204304)
dy
= ex+y
dx
(山口大類 21) (固有番号 s214309)
0.232
¢
1 ¡ 2x
e + e−2x に関する次の問いに答えなさい.
4
s
µ ¶2
dy
を求めなさい.
(1)
1+
dx
y=
34
(2) 区間 −1 ≦ x ≦ 1 における曲線 y の長さを求めなさい.
(山口大類 21) (固有番号 s214312)
0.233
次の微分方程式を解きなさい. ただし, a は定数であり, y(0) = y0 とする.
dy
− 2xy = ax
dx
(山口大類 21) (固有番号 s214315)
0.234
次の微分方程式の一般解を求めなさい.
dy
y
= +2
dx
x
(山口大類 22) (固有番号 s224301)
0.235
次の微分方程式の一般解を求めよ.
2x − y
dy
=
dx
x − 2y
(山口大類 23) (固有番号 s234301)
0.236
次の微分方程式の一般解を求めよ.
(tan x)
dy
= 2y
dx
(山口大類 24) (固有番号 s244301)
0.237
微分方程式 x2
d2 y
dy
−x
+ y = 4x を考える.
dx2
dx
dy
dy
d2 y
d2 y dy
=
, x2 2 = 2 −
となることを示せ.
dx
dt
dx
dt
dt
(2) 変数変換 x = et により, y = y(t) の方程式に直せ.
(1) 変数変換 x = et により, x
(3) 上の変換で得られた方程式の一般解 y = y(t) を求めよ.
(4) もとの微分方程式の一般解 y = y(x) を求めよ.
(徳島大類 16) (固有番号 s164403)
0.238
dy
− 2x2 ex y + ex y 2 = 2x − x4 ex に対して, 次の問いに答えよ.
dx
(1) xa が微分方程式の解となるように実数 a を求めよ.
(2) a を (1) で求めたものとする. y = xa + z を微分方程式に代入して, z の満たす微分方程式を求
めよ.
(3) (2) で求めた z の微分方程式を解いて, もとの微分方程式の解 y 求めよ.
(徳島大類 23) (固有番号 s234404)
0.239
dy
= 2xy
dx
次の微分方程式の一般解を求めよ.
(愛媛大類 19) (固有番号 s194617)
0.240
(1) 次の線形非同次微分方程式
の一般解は
R
y = e−
dy
+ P (x)y = Q(x)
dx
µZ
P (x)dx
R
Q(x)e
P (x)dx
¶
dx + c
で与えられることを示せ. ただし, P (x), Q(x) は x の連続関数であり, c は任意の定数である.
35
(2) 次の微分方程式の一般解を求めよ.
x
dy
− y = x(1 + 2x2 )
dx
(3) 適切な変数変換を利用して, 次の微分方程式の一般解を求めよ. さらに, x = 1 のとき y = 1 とな
るような解を求めよ.
y
log x 3
dy
−
=
y
dx 2x
2x
(九州大類 16) (固有番号 s164702)
0.241
次の x に関する微分方程式
x2
d2 y
dy
− 3y = 0
−x
2
dx
dx
(i)
について, 以下の設問に答えよ.
dy
dy
d2 y
d2 y dy
を
と x を用いて表せ. また,
を
,
, x を用いて表せ.
dx
dz
dx2
dz 2 dz
z
(2) x = e とおくことで x に関する微分方程式 (i) を z に関する微分方程式に変換せよ.
(1) x = ez とおくことで
(3) x に関する微分方程式 (i) の一般解を求めよ.
(九州大類 19) (固有番号 s194701)
0.242
d2 y
+ ω2 y = 0
について, x = 0 および x = L において y = 0 となる
dx2
解を求めよ. ただし, ω, L は正の実数である.
d2 y
dy
dy
(b) 微分方程式
+2γω +ω 2 y = F cos ωx
について, x = 0 において y = 0,
=
dx2
dx
dx
0 となる解を求めよ. ただし, γ, ω, F は実数であり, ω > 0, 0 < γ < 1 である.
dy
(2) (a) 次の微分方程式の一般解を求めよ.
+ y = y2
dx
dy
+ (2x + 1)y − y 2 = x2 + x + 1
の一般解
(b) (a) の解を利用して, 次の微分方程式
dx
を求めよ.
(1) (a) 微分方程式
(九州大類 20) (固有番号 s204706)
0.243
曲線 C は xy-平面の第一象限と第二象限に描かれているとし, 次の条件を満たすとする.
• C は y 軸上の点 (0, a) (a > 0) を通る.
• 第一象限内では接線の傾きが
dy
y
= −p
で与えられ, 第二象限内では接線の傾きが
2
dx
a − y2
y
dy
=p
で与えられる.
dx
a2 − y 2
このとき
p
p
a + a2 − y 2
− a2 − y 2 で与えられ, 第二象限内では
(1) 曲線 C は第一象限内では x = a log
y
p
a − a2 − y 2 p 2
+ a − y 2 で与えられることを示し, C の概形を描け.
x = a log
y
(2) 曲線 C を x 軸の周りに回転させて出来る回転体の体積を求めよ.
(九州大類 21) (固有番号 s214712)
0.244
以下の問いに答えよ.
(1) 次の y(x) に関する微分方程式の一般解を求めよ. ただし, c は定数である.
dy
= y 2 − c2
dx
36
(2) 次の y(x) に関する微分方程式を, y(0) = 1, y(0.5) = 2e のもとで解け.
d2 y
dy
−4
+ π2 + 4 = 0
dx2
dx
(3) 一定温度 Ta に維持されたオープンに鉄球を入れて温めるとき, 時刻 t での鉄球の温度 T (t) の変
化率は Ta − T (t) に比例する. これを微分方程式の形に定式化し, T (t) を求めよ.
(九州大類 25) (固有番号 s254702)
0.245
次の微分方程式を解きなさい．
(1)
0.246
(2)
dy
y2
= 2
dx
x
（佐賀大類 11） (固有番号 s114906)
以下の常微分方程式を解きなさい．
(1)
0.247
dy
− 2x = 3ex
dx
dy
= x2 y 2
dx
(2)
次の微分方程式を解け．
dy
− 2y = 3e5x
dx
（佐賀大類 13） (固有番号 s134905)
dy
x−y
=
dx
x+y
(佐賀大類 15) (固有番号 s154921)
0.248
次の微分方程式を解け．
(1)
0.249
dy
= y2 − 4
dx
(2) y 2 + (x2 − xy)
dy
=0
dx
(佐賀大類 15) (固有番号 s154923)
次の微分方程式の一般解を求めなさい.
dy
dy
(1) −
= 3y
(2) −
= 5y − 2e−2x
dx
dx
(佐賀大類 17) (固有番号 s174923)
0.250
(1) 関数 f (x) = sin2 x を微分せよ.
dy
(2) y = e−t , t = x2 のとき,
を求めよ.
dx
(佐賀大類 17) (固有番号 s174930)
0.251
x = cos4 t, y = sin4 t とするとき，導関数
0.252
次の微分方程式を解け．ただし，y 0 =
(1) y 00 − 4y 0 − 12y = 0
dy d2 y
,
を求めよ．ただし，結果は t の関数のままでよい．
dx dx2
(佐賀大類 18) (固有番号 s184913)
dy
d2 y
, y 00 = 2 である．
dx
dx
(2) y 00 − 4y 0 − 12y = 12x − 8
(3)
dy
+ y = y 2 (cos x − sin x)
dx
(佐賀大類 18) (固有番号 s184931)
0.253
(1) 微分方程式
(2) 微分方程式
0.254
dy
x+y
=
の一般解を求めよ。
dx
x−y
d2 y
dy
+4
+ 13y = 0 の一般解を求めよ。
2
dx
dx
(佐賀大類 18) (固有番号 s184941)
次の微分方程式の一般解を求めよ.
dy
(1) x
+ y = x3 y 3
(2) y 00 − 2y 0 + 10y = 0
dx
(3) y 00 − 2y 0 + 10y = 2 cos 2x + 10 sin 2x
(佐賀大類 19) (固有番号 s194918)
37
0.255
以下の微分方程式の一般解を求めよ.
dy
= 2x(1 − y)
dx
(1)
0.256
(2)
次の微分方程式を解け. ただし, y 0 =
(1) y 00 = ax
d2 y
dy
−2
− 3t = 5 sin t
2
dt
dt
(佐賀大類 19) (固有番号 s194927)
dy 00
dy 0
, y =
とする.
dx
dx
(2) y 00 + 2y 0 + y = e−x cos x
(佐賀大類 20) (固有番号 s204903)
0.257
次の微分方程式を解け. ただし, y 0 =
dy
d2 y
, y 00 = 2 とする.
dx
dx
(1) y 00 = e3x
(2) y 00 + 3y 0 + 2y = e2x
(佐賀大類 21) (固有番号 s214912)
0.258
(1) 微分方程式
dx
= 2x(1 − y) の一般解を求めよ.
dy
(2) 微分方程式
d2 y
dy
+3
+ 2y = 8x の一般解を求めよ.
dx2
dx
(佐賀大類 21) (固有番号 s214928)
0.259
つぎの微分方程式を解け.
(1)
0.260
dy
− y = e−x
dx
(2)
d2 y
dy
−2
− 3y = x
dx2
dx
(佐賀大類 23) (固有番号 s234908)
次の微分方程式を解きなさい. ただし, a は定数であり, x = x0 のとき y = y0 とする.
ay
dy
= 2
dx
x
(佐賀大類 24) (固有番号 s244910)
0.261
次の微分方程式の一般解を求めなさい.
(1)
dy
= 2xy
dx
(2)
dy
2x + xy 2
=−
dx
2y + x2 y
(佐賀大類 25) (固有番号 s254926)
0.262
xを0≤x<
π
の実数とする. このとき, 以下の問に答えよ.
2
(1) cos2 x + sin2 x = 1 を用いて, 次の公式
cos2 x =
1
1 + tan2 x
を導きなさい.
(2) y = tan−1 x に対して, 逆関数の微分の公式
dy
1
=µ ¶
dx
dx
dy
を用いて,
dy
を x を用いて表しなさい.
dx
38
(3) n を自然数とし,
Z
In =
1
dx
(x2 + 1)n
とおく. この In に対して, n = 1 のときの I1 を求めなさい.
(4) (3) で与えられた In を
Z
In =
1
dx =
(x2 + 1)n
Z
1×
1
dx
(x2 + 1)n
と考え, 部分積分法を用いて
In+1 =
µ
¶
x
1
+
1
−
In
2n(x2 + 1)n
2n
が成り立つことを示しなさい.
(5) (3) で与えられた In に対して, n = 3 のときの I3 を求めなさい.
(長崎大類 17) (固有番号 s175001)
0.263
以下の問に答えよ. ただし, y 0 =
dy
とする.
dx
(1) 微分方程式 y 0 − y = 0 を解け.
(2) 初期条件 y(0) = 1 を満たす微分方程式 y 0 − y = e2x の解を求め, この解のグラフを描け.
(長崎大類 17) (固有番号 s175012)
0.264
次の微分方程式を解け, ここで, y 0 =
(1) y 0 + y = 0
dy
とする.
dx
(2) y 0 + y = (x + 1)2
(3) 初期条件 y(0) = 0（ x = 0 のとき y = 0 ）を満たす y 0 + y = (x + 1)2 の解を求めよ.
(長崎大類 19) (固有番号 s195006)
0.265
次の微分方程式を解け. ここで, y 0 =
(1) y 00 + 16y = 0
dy
とする.
dx
(2) y 00 + 16y = 17ex
(3) 初期条件 y(0) = 6, y 0 (0) = −2, (x = 0 のとき y = 6, y 0 = −2) を満たす y 00 + 16y = 17ex の解
を求めよ.
(長崎大類 20) (固有番号 s205006)
0.266
0.267
dy
=x+y+1
(長崎大類 20) (固有番号 s205012)
dx
π
π
以下の問いに答えなさい. ただし, y は − < y < とする.
2
2
次の微分方程式を解け.
(1) x = tan y に対して,
dx
を求めなさい.
dy
(2) y = tan−1 x に対して, 逆関数の微分の公式
dy
1
=
dx
dx
dy
を利用して,
dy
を x で表しなさい.
dx
(長崎大類 21) (固有番号 s215001)
39
0.268
次の微分方程式の解を求めよ.
(1)
dy
= ax
dx
ただし, x = x0 で y = y0 とする.
(2)
dy
= ay
dx
ただし, x = x0 で y = y0 とする.
(長崎大類 21) (固有番号 s215005)
0.269
dy
とする.
dx
次の微分方程式を解け. ここで, y 0 =
(1) y 00 + 4y = 0
(2) y 00 + 4y = sin 3x
(3) 初期条件 y(0) = 0, y 0 (0) = 1.4
解を求めよ.
（x = 0 のとき y = 0, y 0 = 1.4）を満たす y 00 + 4y = sin 3x の
(長崎大類 21) (固有番号 s215009)
0.270
(1) 微分方程式 y 00 + 2y 0 − 35y = 0 の一般解を求めよ.
d2 y
dy
, y 00 = 2 とする.
なお, y 0 =
dx
dx
00
0
(2) 微分方程式 y + 2y − 35y = 12e5x + 37 sin 5x の特殊解を求めよ.
(3) 微分方程式 y 00 + 2y 0 − 35y = 12e5x + 37 sin 5x の一般解を求めよ.
(長崎大類 21) (固有番号 s215013)
0.271
次の関数の
(1)
dy
を求めよ.
dx
y = tan(2x − 3)
(2)
x3 y 3 + y − x = 0
(長崎大類 22) (固有番号 s225003)
0.272
つぎの微分方程式を解け. ここで, y 0 =
dy
とする.
dx
(1) y 0 + 3y = 0
(2) y 0 + 3y = sin x
(長崎大類 22) (固有番号 s225015)
0.273
以下の問いに答えよ.
(1) 微分方程式 y 00 + y = 0 の一般解を求めよ,
なお, y 0 =
d2 y
dy
, y 00 = 2 とする.
dx
dx
(2) 微分方程式 y 00 + y = 6 sin x の特殊解を求めよ,
(3) 微分方程式 y 00 + y = 6 sin x の一般解を求めよ,
(長崎大類 23) (固有番号 s235012)
0.274
次の微分方程式の解を求めよ.
d2 y
dy
+
− 2y = x
2
dx
dx
(長崎大類 23) (固有番号 s235020)
0.275
次の一階常微分方程式の解の公式を求めなさい.
dy
dy
(1)
+ P (x)y = 0
(2)
+ P (x)y = Q(x)
dx
dx
(大分大類 17) (固有番号 s175101)
40
0.276
次の微分方程式を解きなさい.
dy
− y = ex
dx
(大分大類 21) (固有番号 s215102)
0.277
次の各問に答えよ.
(1) 次の微分方程式の一般解を求めよ.
dy
+ 2xy = 0
dx
(2) 次の微分方程式を解け.
2
dy
+ 2xy = xe−x , y(0) = 1
dx
(宮崎大類 16) (固有番号 s165304)
0.278
(1) 次の微分方程式の一般解を求めよ．
(2) 次の微分方程式の一般解を求めよ．
0.279
0.280
dy
+y =0
dx
dy
+ y = (x + 1) sin x
(x + 1)
dx
(宮崎大類 18) (固有番号 s185305)
(x + 1)
dy
d2 y
dy
(0) = 6 という条件の下で解け.
−3
+ 2y = 0
dx
dx2
dx
xy
dy
= 2
(2) 次の微分方程式の一般解を求めよ.
dx
x + y2
(宮崎大類 20) (固有番号 s205304)
(1) 次の微分方程式を, y(0) = 2,
(1) 次の微分方程式の一般解 y = y(x) を求めよ.
d2 y
dy
+3
+ 2y = 0
2
dx
dx
(2) 次の微分方程式の一般解 y = y(x) を求めよ.
d2 y
dy
+3
+ 2y = cos x
dx2
dx
(宮崎大類 21) (固有番号 s215305)
0.281
(1) 次の微分方程式の一般解 y = y(x) を求めよ.
dy
+y =x
dx
dy
(0) = 0 という条件のもとで解け.
(2) 次の微分方程式を, y(0) =
dx
2
d y
+y =x
dx2
(宮崎大類 22) (固有番号 s225305)
0.282
次の微分方程式の一般解 y = y(x) を求めよ.
x tan
y
dy
−y+x
=0
x
dx
(宮崎大類 24) (固有番号 s245305)
0.283
次の各問に答えよ.
(1) 次の微分方程式の一般解を求めよ.
dy
−y =x
dx
41
(2) 次の微分方程式を, y(0) = 1,
dy
(0) = −1 という条件の下で解け.
dx
d2 y
dy
−
− 6y = 0
2
dx
dx
(宮崎大類 25) (固有番号 s255302)
0.284
dy
y+1
=
を解け．
dx
x+1
(鹿児島大類 18) (固有番号 s185416)
0.285
d2 y
dy
+ 10
+ 25y = 0 の一般解を求めなさい.
2
dx
dx
(鹿児島大類 23) (固有番号 s235417)
0.286
微分方程式 (2 + x)y + (2 + y)x
0.287
微分方程式 x
dy
= 0 の一般解を求めよ．
dx
(室蘭工業大類 18) (固有番号 s185502)
dy
− 3y + x = 0 について, 以下の問いに答えよ.
dx
y(x)
du
とおくと, 与えられた微分方程式が x
= 2u − 1 と書けることを示せ.
x
dx
(2) 初期条件 x = 1 のとき y(1) = 2 のもとで, 与えられた微分方程式を解け.
(1) u(x) =
(室蘭工業大類 19) (固有番号 s195510)
0.288
次の微分方程式の一般解を求めよ.
0.289
次の微分方程式の特殊解を求めよ.
d2 y
dy
−3
+ 2y = 3e−x
dx2
dx
(室蘭工業大類 20) (固有番号 s205502)
dy
= −y , 初期条件 x = 0 のとき y = 5
dx
dy
(2)
= 3x2 − ex + cos(x) , 初期条件 x = 0 のとき y = 2
dx
(1)
(室蘭工業大類 21) (固有番号 s215506)
0.290
0.291
次の微分方程式の解を求めよ。
dy
x
(1)
+ =0
dx y
dy
+y+3=0
dx
(室蘭工業大類 22) (固有番号 s225504)
以下の微分方程式の一般解を求めよ.
(1)
0.292
(2)
dy
+ 2x + y = 0
dx
(2)
d2 y
dy
−3
+ 2y = 0
2
dx
dx
(室蘭工業大類 22) (固有番号 s225509)
次の微分方程式の一般解を求めよ.
d2 y
dy
−
− 6y = 4e−x
dx2
dx
(室蘭工業大類 23) (固有番号 s235502)
0.293
dy d2 y
,
を求めよ.
dx dx2
(岡山県立大類 17) (固有番号 s175603)
関係式 x3 − 3xy + y 3 + 2 = 0 で定まる x の関数 y について,
42
0.294
2 階の同次線形微分方程式
x2
d2 y
dy
+ ax
+ by = 0 （ a, b は定数係数）
dx2
dx
について, 以下の問いに答えよ. ただし, x > 0 とする.
(1) 変数 x を x = et と変換する. このとき,
dy
dy
をxと
を用いて表せ.
dt
dx
d2 y
dy
d2 y
を x，
および
を用いて表せ.
2
dt
dx
dx2
(3) (1) と (2) を用いて, 上記の微分方程式が, 変数 x を x = et と変形することにより定数係数同次
線形微分方程式になることを示せ.
d2 y
dy
(4) (3) を参考にして, 微分方程式 x2 2 + 3x
+ y = 0 の一般解を求めよ.
dx
dx
(2) さらに,
(香川大類 19) (固有番号 s195701)
0.295
次の問に答えよ.
(1) 次の関数の 2 次偏導関数を求めよ.
(a) z = 2x3 − 3x2 y + 4xy 2
(b) z = sin(2x + 3y)
(2) z = f (x, y) , y = g(x) のとき, 次の式を証明せよ.
dz
dy
= fx + fy
dx
dx
(島根大類 17) (固有番号 s175812)
0.296
次の微分方程式を解け（一般解を求めよ）．
p
p
dy
(1) x 1 + y 2 + y 1 + x2
=0
dx
dy
2x + xy 2
(2)
=−
dx
2y + x2 y
(首都大類 15) (固有番号 s155906)
0.297
次の微分方程式は完全形であることを示し, さらに一般解を求めよ，ただし，y 0 =
dy
とする.
dx
(2x + y − 4)y 0 = x − 2y + 3
(首都大類 17) (固有番号 s175904)
0.298
次の微分方程式について特性方程式を示し，さらに一般解を求めよ，ただし，y 0 =
dy
とする.
dx
y 00 − y 0 − 2y = 2x2 + 2x
(首都大類 17) (固有番号 s175905)
0.299
次の微分方程式を解け. 0.300
次の微分方程式を解け.
dy
x
+ (y + 5) = 0
dx
dy
− y = cos x − sin x
dx
(首都大類 20) (固有番号 s205904)
(首都大類 22) (固有番号 s225905)
43
0.301
次の微分方程式を解きなさい.
dy
x y
= +
dx
y
x
(首都大類 23) (固有番号 s235905)
0.302
次の微分方程式を解きなさい.
dy
y
=
dx
x+y
(首都大類 24) (固有番号 s245905)
0.303
以下の問に答えよ．
Z
dx
(a 6= 0) を求めよ．
(1)
x2 − a2
dy
(2) 微分方程式
= y 2 − a2 (a 6= 0) を解きなさい．
dx
(宇都宮大類 16) (固有番号 s166105)
0.304
(1) 関数 y = esin x を微分せよ.
(2) x, y の関係が次のように媒介変数 t を用いて表されるとき,
(
dy
を t の式で表せ.
dx
x = 3t − 2
y = 3t2 − t − 2
(宇都宮大類 22) (固有番号 s226105)
0.305
¡
¢
dy
d2 y
y = log x2 + 1 のとき,
および
を求めよ.
dx
dx2
(宇都宮大類 26) (固有番号 s266104)
0.306
微分方程式，y + x
dy
dy
= xy
の一般解を求めよ．
dx
dx
(工学院大類 15) (固有番号 s156204)
0.307
x
dy
= x + y を解き，点 (1, 2) を通る解を求めよ．
dx
(工学院大類 16) (固有番号 s166204)
0.308
x = 2t − 4, y = 5 − 3t2 の関数があるとき，導関数
0.309
次の微分方程式の一般解を求めなさい.
(1)
0.310
d2 y
=2
dx2
(2) y + x
dy
=0
dx
(3)
dy
を求めよ．
（x を用いて表せ．
）
dx
(工学院大類 16) (固有番号 s166209)
dy
d2 y
dy
+y =x
(4)
−5
=0
dx
dx2
dx
(和歌山大類 19) (固有番号 s196507)
(1)
dy
+ 2y = 3 において, x = 0 のとき y = 0 となるような解を求めなさい.
dx
(2)
d2 y
+ y = 0 の一般解を求めなさい.
dx2
(3)
d2 y
dy
+7
+ 12y = 0 の一般解を求めなさい.
dx2
dx
(和歌山大類 21) (固有番号 s216503)
0.311
次の微分方程式の一般解を求め, さらに, 与えられた初期条件を満たす特殊解を求めなさい.
44
dy
= x3 , y(1) = 1
dx
³π ´
dy
(2)
= cos 3x , y
=1
dx
2
d2 y
dy
(3)
−5
+ 6y = 0 , y(0) = 0 , y 0 (0) = 1
2
dx
dx
(1) y
(和歌山大類 22) (固有番号 s226503)
0.312
次の微分方程式について, 与えられた初期条件を満たす特殊解を求めなさい.
dy
= 3x2 ,
y(0) = 1
dx
d2 y
dy
(2)
+y =0,
y(0) = 1 , y 0 (0) = 1
+2
dx2
dx
dy
+ y = 2x ,
y(0) = 1
(3)
dx
(1) y
(和歌山大類 24) (固有番号 s246506)
0.313
次の微分方程式について, 与えられた初期条件を満たす特殊解を求めなさい.
dy
= 2x2 ,
y(0) = 1
dx
³π´
dy
(2)
= sin 2x ,
y
=1
dx
2
dy
d2 y
+3
− 4y = 0 ,
y(0) = 1, y 0 (0) = −1
(3)
dx2
dx
(1) y
(和歌山大類 25) (固有番号 s256505)
0.314
(1) 級数の和 Sn =
n
X
k!(k + 2)
k=1
(k + 3)!
を求めよ. また, lim Sn を求めよ.
n→∞
f (x) − 1
を求めよ.
x→0
x2
(3) 初期値問題 (a) と微分方程式 (b) の解が一致するよう α を定め, (b) の一般解を求めよ.
d2 y
dy
dy
+ 2y = e−x , y(0) = e−1
(b)
−2
+ αy = 8e−x
(a)
2
dx
dx
dx
(京都府立大類 20) (固有番号 s206701)
2
(2) f (x) = e2x のマクローリン級数を x3 の項まで求めよ. また, lim
0.315
(1) y = xx
(x > 0) のとき, 導関数
(2) 曲線 y = 2x −
0.316
dy
を求めよ.
dx
x2
x
と直線 y = − 2 で囲まれた領域の面積を求めよ.
2
2
(琉球大類 21) (固有番号 s216801)
(1) 次の微分方程式の一般解を求めよ.
dy
− 2xy = 0
dx
(2) 次の初期値問題の解を求めよ.
d2 y
dy
−
− 2y = 3e2x
dx2
dx
dy
(0) = −2
y(0) = 0 ,
dx
(琉球大類 21) (固有番号 s216802)
45

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