微分方程式（真貝）第 2 回中間テスト A 【重要】解答は別紙に．答えだけ

微分方程式（真貝）
第 2 回中間テスト A
学生番号 - 氏名【重要】解答は別紙に．答えだけではなく，導出の過程も記すこと．
解答順は自由．スペースが足りなければ，裏面を用いよ．
1
一般解を求めよ．初期条件が与えられているものは，特殊解を求めよ．
d2 y
dx2
d2 y
(b)
dx2
d3 y
(c)
dt3
d2 y
(d)
dt2
(a)
2
dy
− 6y = 0
dx
dy
+ 4 + 13y = 0
dx
d2 y
dy
−3 2 +3 −y =0
dt
dt
−
= −9y 初期条件：y(0) = 6,
d
y(0) = −3．
dt
（1 階微分方程式）室温が 20 [o C] の部屋に置いたコーヒーの温度の変化率は，時刻 t に
おけるコーヒーの温度 T (t) [o C] と室温との差に比例する．すなわち，
dT
= −k(T − 20) (k > 0; 定数)
dt
となる．t = 0 で，100 [o C] であったコーヒーが，2 分後に 70 [o C] になったとすると
き，40 [o C] になるのは何分後か．温度変化を示すグラフの概略も描け．
（必要ならば，
log 2 = 0.6931, log 5 = 1.609 を用いてよい．
）
3
（2 階微分方程式）質量 m の質点が，ばね定数 k (> 0) のばねにつながれており，さら
に，時間で変動する外力 F (t) = F0 cos ωt を受けているとする．バネのつりあいの位置か
らの質点の変位を x とし，運動方程式を立てると，次のようになる．
d2 x
+ kx = F0 cos ωt
dt2
(a) 右辺をゼロとしたときの，同次式の一般解を求めよ．
m
(b) 外力があるときの，この方程式の一般解を求めよ（k ̸= mω 2 とする）．
(c) k = mω 2 の場合，この方程式の一般解を求めよ．
4
（連立微分方程式）地球（質量 m）が太陽（質量 M ）によって周期運動するのは，太陽
がもたらす万有引力が原因である．太陽–地球間の距離を r とすると，地球の運動方程式
は，太陽の向きに対して，
mM
d2 r
=
−G
(G : 定数)
dt2
r2
dr
となる．この式を，この向きの速度 v =
を用いて 2 つの連立 1 階微分方程式に書き
dt
直せ．
m

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