( ) ( )z

統計力学 201
2014 年例題集
例題集
June 21, 2014
この他，教科書の章末問題も解いておくこと．
１． N 個の質点からなる１種類の理想気体が体積 V の箱の中に閉じ込められている．
この分子（単
原子分子として回転の寄与等は考えなくてよい）この系の a) 状態数（位相積分）を古典的に求め，
b) エントロピー，c) ヘルムホルツの自由エネルギーを導け．
その結果からこの系の
球の体積が Vn (R ) =
2π
Rn
nΓ(n 2 )
但し， n 次元
n2
で与えられる事を用いてよい．
２．質量 m [kg ] の理想気体分子が温度 T [K ] で Maxwell-Boltzmann 分布をとり，速度
v x ~ v x + dvx , v y ~ v y + dv y , v z ~ v z + dv z の範囲に入る粒子の割合は f (v x , v y , v z )dv x dv y dv z で
ある．以下の問いに答えよ．
(
a) 関数 f v x , v y , v z
)
を求めよ．
b) 速度の大きさは v =
v x2 + v 2y + v z2
で定義されるが，v ~ v + dv に含まれる粒子の割合を g (v ) dv
と書き換えた時の関数 g (v ) を求めよ．
c) 粒子の平均速度 v （速度の大きさの平均）を求めよ．
d) 粒子の持つ平均運動エネルギーを求めよ．
e) 最確速度 v M
を求めよ．
f) 二乗平均速度 v R
を求めよ
３．ゴム弾性の簡単なモデルとして，図に示す様な N 個の小要素からなる鎖が１次元的に連結されて
いる系を考える．
各要素の長さを a , 鎖の両端の距離を x とし，また N >> 1 であるとし，鎖は
自由に折れ曲がる事ができるものとする．
(1) 鎖の両端の距離が x となる配列の数を求めよ．
(2)
x の関数として鎖のエントロピーを求めよ．
(3) この鎖が温度 T にある時，両端の距離を x に保つために必要とする力を求めよ．
a
x
1
４．エネルギー
ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 , L の量子準位を各々 n1 , n2 , n3 , n4 , L 個の粒子が占有している時，
全粒子数 N , 全エネルギー E が一定という条件の下で，個々のエネルギー状態 ε j は
 εj 

exp −

 k BT 
に比例して占有される事を示せ．
５． N 個の原子からなる完全結晶を考え，ここに n 個の Frenkel 型欠陥（格子隙間に欠陥），Schottky
型欠陥（格子外に欠陥）が出来ているとした時，欠陥の生成エネルギーを
ε とした時の N , n, ε に関
する式を各々求めよ．
ω を持つ一つの調和振動子のエネルギー準位が
hω 3hω
1

ε=
,
, L ,  n +  hω
６．角振動数
2

2
2
で与えられる時，Ｎ個の独立な振動子からなる系が全エネルギー
E=
N
hω + Mhω
2
（ M は整数）
を持つ場合， i) その状態数 WM を求め，
ii) この系の温度と E の関係を求めよ．
７．格子振動を量子調和振動として扱い，固有振動数を一定とした
Einstein モデルに従って，比熱を
７．
求めよ．
８．格子振動を量子調和振動として扱い，固有振動数を等方性連続弾性体の弾性振動と見做す Debye
モデルに従って，比熱を求めよ．（やや難）
９．図の様な固体表面における気体分子の
吸着を考える．
表面には一定数の吸着点
があり，一定温度 T , 圧力 P の下で平衡
表面吸着
に達している時，吸着点の内分子が吸着し
ている割合（被覆率）を
θ ，吸着していな
い割合は 1 − θ とする．
気体分子の吸着
と蒸発を速度論的に考え，各々係数
ka , kd
に比例するとする時，被覆率を
P, k a , k d で表し，被覆率 θ を P の関数として，概略をグラフに表せ．
2
１０．
１０．問題９で用いた様な固体表面における気体分子の吸着を考える．表面には一定数 N の吸着点
があり，これが化学ポテンシャル µ を持つ理想気体と一定温度 T , 圧力 P の下で平衡に達していると
する時，吸着点の内分子が吸着している割合（被覆率）を θ を求めよ．
但し，吸着された分子は自
由な状態に比べ − ε のエネルギー状態にあるものとし，グランドカノニカル分布を用いて考えよ．
１１．Clapeyron-Clausius の関係式
化の割合を求めよ．
∆s
 dp 

 =
 dT  AB ∆v
[
]
を用いて，水の沸点の圧力（気圧）による変
但し，１気圧（ 1 atm = 1.013 × 10
5
[Pa] = 1.013×105 [kg / m ⋅ s 2 ] ）における水
の沸点は 100 oC，その時の水と水蒸気の密度は，水： 9.6 × 10
発熱は
2
[kg / m ]，
3
[
]
水蒸気： 0.6 kg / m 3 ，蒸
4.1× 104 [J / mol] である．
１２．スピン 1
2
の粒子が磁場 H の中に置かれるとエネルギー準位が − µH ,
+ µH の二つに分か
れる（Zeeman 効果）．この様な粒子 N 個からなる系が温度 T の一様な磁場 H 中におかれた場
合，これをカノニカル分布として扱い，i) 系の内部エネルギー，ii) エントロピー，iii) 比熱，iv) 系全
体の磁気モーメント M ，を求めよ．
１３．エネルギーギャップ E g を持つ真性半導体の伝導電子密度を n , 空孔密度を p とおく．こ
の時，伝導電子と空孔を実効質量 me , mh の自由粒子と考える時， n, p を求めよ．また，この時の
Fermi 準位（化学ポテンシャル）を求めよ．
１４．不純物濃度 N D のドナーと N A のアクセプター全てがイオン化している半導体において，電
子濃度 n と正孔濃度 p とを N D , N A
 2π me m h k B T 

ni (T ) = 2
2


h


3
2
及び固有のキャリアー濃度 ni を用いて表せ．但し，
 ε − εv
exp − c
 2k B T



me , mh は電子，正孔の実効質量， Ec , Ev は伝導帯下端，価電子帯上端のエネルギーである．
3
１５．ドナー準位 − E D (< 0 ) ，Fermi エネルギー µ を
持つ不純物を含む n 型半導体で，単位体積当りドナーの
数が N D ，ドナー準位にある電子数を nD ，伝導帯にある
µ
ND
ED
nD
伝導電子の数を n ，その実効質量を me とする時，
n( N D − n D )
nD
を
n
εc =0
εv
µ , h, E D , me , k B , T を用いて表せ．
但し，ドナー電子のスピンの自由度は考えず，伝導帯下端
のエネルギーを 0 とし，計算の際，伝導帯中では ε − µ >> k B T
を用いて良い．
１６．１５．を，ドナー電子のスピンを考慮して求めよ．（①電子がいない場合，②up spin 電子が
いる場合，③down spin 電子がいる場合，がある事に配慮せよ）
１７．ドナー準位 E D (< 0) ，Fermi エネルギー µ を持つ不純物を含む n 型半導体で，単位体積当り
ドナーの数が N D ，ドナー準位にある電子数を nD ，伝導帯にある伝導電子の数を n ，その実効質量
を me とする時， n, N D , nD , N C
を
µ , h, E D , me , k B , T を用いて表せ．
但し，ドナー電子のスピンの自由度を考慮し，①電子
がいない場合，②up spin 電子がいる場合，③down spin
電子がいる場合，④up spin，down spin の両電子がいる
n
εc =0
µ
ND
ED
nD
場合，の４通りが考えられる．
伝導帯下端のエネルギーを 0 とし，計算の際，伝導帯
中では ε − µ >> k B T
εv
を用いて良い．
（１５．を一つのドナー準位に同時に２個まで電子が入
り得るとして n, N D , nD , N C に関する式を導け．但し，
 2πme k B T 
N C = 2

h2


32
である．）
１８．アクセプター準位 E A (> 0 ) ，Fermi エネルギー µ を持つ不純物を含む p 型半導体で，単位体
積当りアクセプターの数が N A ，アクセプター準位にある電子数を n A ，価電子帯にあるホールの数を
p ，その実効質量を mh とする時， n A
を EA ,
µ , N A , k B , T を用いて表せ．但し，アクセプタ
ー電子のスピンを考慮し，またアクセプター準位は２重に縮退（従って，スピンまで考えると４重）し
ているものとせよ．
4
１９．電子の状態密度が３次元系（バルク），２次元系（量子井戸），１次元系（量子細線）について，
各々
D3 (ε ) ∝ ε 1 2
D2 (ε ) ∝ ε 0
D1 (ε ) ∝ ε −1 2
である事を示せ．
２０．結晶中の電子状態を考え，下記の問いに答えよ．
(1) ３次元結晶における電子の状態密度をエネルギーの関数として求めよ．
（ヒント）１方向の位置座標 x と運動量 p x の間には Heisenberg の不確定性関係 ∆x ⋅ ∆p ~ h が成立
っており，あるエネルギー ε と ε + dε の間の値を取る状態密度は，３次元の場合，対応する p と p + dp
に挟まれた球殻の体積に比例している事を用いよ．
また実空間で V = l
3
の領域で考える．
(2) この様な３次元結晶からなる金属中の電子を理想 Fermi 気体と考え，絶対零度において電子の平均
エネルギーを求めよ．但し，Fermi energy（化学ポテンシャル）を
ε F とする．
２２．Bose-Einstein 凝縮とは何か、説明せよ．
２３．２元合金 AB がある臨界温度 Tc 以下で規則格子を作るとする．この規則度 X の関数とし
て自由エネルギーを求めよ．特に Tc 付近の様子を調べよ．
２４．（参考）気体の圧力を表す単位に Pa
分野では長らく用いられてきた．
(1 atm = 0.1013 MPa) の他， Torr
という単位が真空の
1 atm = 760 Torr であり， Torricelli の実験で，大気圧は
760mm Hg （水銀が 760 mm の高さに及んだ）に相当した事に由来している．真空工学・表面科学
では，清浄表面に気体を曝露するのに，10
−6
Torr で 1 秒，というのが単位として用いられている．こ
れを 1 L (Langmuir) と称するが，表面の吸着係数が１（即ち，表面に触れた気体が全て吸着する）と
仮定した場合，どの位の量の気体が表面に付着するか？（簡単のため，単原子分子として，その直径
は 0.1 nm とする）
２５．ある分子が２つの状態 A または B を取るものとする．状態 A では分子のエネルギー 0，長さ
a を，状態 B ではエネルギー ε (> 0) ，長さ b を取る．この様な分子 N 個が図の様に直線上に繋がっ
ているとし，以下の問に答えよ．
但し，温度 T で，分子間には繋がっているという以外の相互作用
はなく、また分子の個数は十分大きいものとする．
5
N個
A B A B B A
a
A B A
b
(1) １つの分子が状態 A もしくは B を取る確率 p a , p b を求めよ．
(2) 状態 B の分子の数が m 個の時，この系の Helmholtz 自由エネルギーを求め，その結果より N , m, ε
の間に成り立つ関係を求めよ．
(3) この分子鎖全体のエネルギーの平均値
(4) T → 0 と T → ∞ の極限における E
E と全体の長さの平均値 L を求めよ．
と L
を求め，得られた結果の物理的考察をせよ．
２６．ドナー準位 E D (< 0 ) ，Fermi エネルギー ε F を持
つ不純物を含む n 型半導体で，単位体積当りドナーの数
が N D とする．
この半導体に磁場 H を印加した時，
ドナーは up spin，down spin の電子に関し，各々エネル
εc =0
εF
ED+µBH
ギー E D + µ B H , E D − µ B H を取る．（ µ B は Bohr 磁子）
１つの準位には１個しか電子が入り得ないものとして，
以下の問いに µ B ,
ND
ED
ED-µBH
εv
H , ED , ε F , k B , T を用いて答えよ．
但し，伝導帯・価電子帯にいる電子の影響を無視してよい．
（１）各ドナー準位には電子がいないか，up spin, down spin の何れかの電子がいるかである事を利用
して，この系の大分配関数を求めよ．
（２）ドナー準位にある電子のスピンによる磁化 M を求めよ．
i) 系の分配関数，
ii) ヘルムホルツ自由エネルギー，
iii) エントロピー，
iv) 内部エネルギー，
v) 系全体の磁気モーメント M ，
6

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