解答解説

2014 年度
慶應義塾大学
商学部（数学）解答解説
Ⅰ
解答
(ⅰ)(1) 2
(2) 1
(3) 6
(4) 1
(ⅱ)(7) 7
(8) 2
(9) 9
(10) 1
(11) 8
4
, 0 ,
9
5
,
3
(ⅲ)
解説
x, y
0, 0 ,
(5) 6
(6) 9
(12) 2
55
,
3
(13) 2
5
,
3
(14) 2
(15) 4
(16) 3
55
3
(ⅰ)２つの相似な円すいの底面の半径の比 3 : 5 から、体積比と面積比を考える
1 1 1
, ,
3 3 3
1
(ⅱ) 群数列で考える
1 1
1
, , L,
9 9
9
1
, L
27
3k 1 個
k 群内の個数
1 3 32
k 群までの個数
k 群内の値は、すべて
L 3k
1 k
3
2
1
1個
1
3k
1
このもとで、 670 項が n 群内にあるとすると
1 n
3
2
36
1
1
670 ≦
729 , 3 7
1 n
3 1
2
→
2187 より n
3n
7
1
1341 ≦ 3 n
よって、 7 群内の値は、
1
36
1
729
…（答）
2182 項が n 群内にあるとすると、同様に n 8
1 7
和をとる 8 群内の個数は、 2182
3 1 1089 個
2
1
k 群内の和は、 k 1 3 k 1 1
よって、初項から第 2182 項までの和は、
3
7
1
k 1
Ⅱ
解答
(ⅰ)(17) 4
(ⅲ)(26) 1
解説
1
1089
37
(18) 1
(27) 0
1089
2187
7
(19) 2
(28) 1
(ⅰ)接点 Q の x 座標を x
1822
243
…（答）
(ⅱ)(20) 6
(29) 0
(21) 3
(30) 3
(23) 1
(24) 4
(25) 5
(ⅳ)(31) 9
t とおき、微分の利用
別解として、放物線との接線なので、判別式 D
(ⅲ)
(22) 9
0 を利用してもよい
P 4 , 5 , Q 1, 2 , R 3 , 6 より
RP
1
, RQ
1
RP RQ
2
,
4
RP
2,
RQ
2 5 , RP RQ
RP RQ cos PRQ より cos PRQ
RP RQ
RP RQ
2
2
2 2 5
10
10
…（答）
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三角形 PQR の面積は、
別解として、
(ⅳ) 面積公式
1
2
RP
1
1
2
2
2
2
RQ
1
RP RQ
2
3 …（答）
を利用してもよい
3
a
S
4
を用いれば、すぐに求められる
6
Ⅲ
解答
(ⅰ)(32) 2
(ⅱ)(41) 1
解説
(34) 2
(33) 3
(42) 4
(43) 3
(35) 1
(44) 9
(36) 2
(38) 2
(37) 3
(ⅲ)(46) 2
(45) 8
(39) 1
(47) 7
(40) 4
(48) 8
(ⅱ) ベクトルの長さだから２乗すると、
k BQ CR
2
BQ
ここで、
CR
k 2 BQ
2
2k BQ CR
2
1
3
AB
AF
2
2
2
1
AB
AF
4
2
1
AB
4
2
これらを①へ代入して整理すると、
AB
2
39
64
2
…①
3
9
AB AF
AF
2
4
2
1
1
AB AF
AF
2
16
k BQ CR
k BQ CR の最小値は、
よって、
CR
2
13
k
4
39
k
8
1
4
2
13
4
2
13
16
2
39
64
1
のとき
4
…（答）
別解として、図形的に解くとすぐに求められる
k BQ CR が最小となるのは k BQ CR
(ⅲ)
A
三角形の面積比を求めるから、
B
F
R
O
C
T
P
Q
U
E
D
PQ // SD に着目して、底辺比 PQ : SD 、高さ比 PR : SP を考える
△ARO ∽△APD より、 AR : RP AO : OD 1 : 1
T は OD の中点であることに注意すると、
△APT ∽△ASD より、 AP : PS AT : TD 3 : 1
3 3
∴ AR : RP : PS
: :1 3 : 3 : 2
2 2
よって高さ比 PR : SP 3 : 2
同様に、 PT TU UQ から PQ 3 PT
△APT ∽△ASD より、 PT : SD
S
よって、底辺比 PQ : SD
BQ のときだから、あとは内積で求められる
4
3PT : PT
3
9:4
よって、 △PQR の面積は △DPS の面積の
以上より、 △PQR :△DPS
3: 4
∴
SD
9 3 : 4 2
4
PT
3
27 : 8
27
倍 …（答）
8
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Ⅳ
解答
解説
(ⅰ)(49) 2
(50) 3
(51) 2
2
(ⅱ)(52) 3
(53) 5
(54) 1
9 2
p
2
27
p
4
5 3
p
4
(55) 7
(ⅲ) P
10 p 3 1 p
(ⅱ) 点
1, 0 にある動点 K が７回の移動で点 P 0 , 5 に到達するには、A ３回、B ４回移動すればよい
(ⅳ) E
から、移動経路は A ３個と B ４個の並べ方を考えて、
点Q
3 3 3
,
2
2
3 cos
3
, 3 sin
3
を通る経路を考える
O
Q
A ２回、 B ２回より
4!
2!2!
Q
P
A １回、 B ２回より
3!
1! 2 !
よって、通らない経路は、 35 18
(ⅲ) ５回の移動で点
7!
35 通り …（答）
3!4!
6 通り
3 通り
∴ 6 3
18 通り
17 通り …（答）
0 , 3 に到達する確率は、
A ３回、 B ２回より、 P
5!
p3 1 p
3!2!
2
10 p 3 1 p
2
…（答）
(ⅳ) ３回の移動で到達できる点は、
(ア)
A ３回、 B ０回のとき、点 1 cos
(イ)
A ２回、 B １回のとき、点 2 cos
(ウ)
A １回、 B ２回のとき、点 3 cos
(エ)
A ０回、 B ３回のとき、点 4 cos 0 , 4 sin 0
2
よって、 a の期待値 E
1 p3
5 3
p
4
2
3
6
, 1sin
, 3 sin
3 3p2 1 p
9 2
p
2
2
, 2 sin
27
p
4
a2
0, 1
3
6
1,
1 確率 p 3
a2
3
3 3 3
,
2
2
4, 0
a2
9
3p 1 p
4
2
3 確率 3 p 2 1 p
a2
9
4
確率 3 p 1
0
確率
1 p
0
1 p
p
2
3
3
…（答）
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