ハンマ叩きや硬い玉が落下したときの衝撃力波形について ω φ ω ( 0) 0

ハンマ叩きや硬い玉が落下したときの衝撃力
波形について
50
45
図１のように質量ｍのハンマで硬い物を叩いた場合、
あるいは質量ｍの硬い玉が落下したときの衝撃力は、
接触面の弾性をバネ（バネ定数ｋ）としてモデル化す
ることができます。
バネの力　（ｋN)
40
ｋ=1000kN/m
35
k=5000kN/m
30
25
k=10000N/m
20
15
10
5
0
0
0.002
0.004
0.006
時間　（秒）
0.008
0.01
図 2 質量ｍが初速度 V0 で衝突したときの力
図１衝撃力のモデル化
衝撃力のピーク値の推定について
この運動方程式は次式になります。
mx + kx =
0
(1)
もし、実際の衝撃荷重計測において、荷重と時間の
関係を正弦波形状で近似できるとすると、ピーク荷重
PMax、衝撃開始から終了までの時間（衝撃時間）を T
として荷重波形は(8)式で表せます。
一般解は
=
x(t ) A sin(ωt + φ ),
但しω = k / m
(2)
当たった瞬間を時刻 t=0 とし、
衝突速度を V０とすると、
初期条件 x (=
t 0)
= 0, x (=
t 0)
= V0 から
π
(8)
F (t ) = PMax sin( t )
T
(8)式の F(t)を 0 ≤ t ≤ T の範囲で積分すると、
T
T
2 PMaxT
π 
 PMaxT
(9)
∫0 F (t )dt =
 − π cos( T t )  =
π

0
A = m / kV0
故に、
減加速度は
k
t)
m
k
k
sin(
t)
m
m
x=
(t ) V=
(t ) V0 cos(
(3)

x(t ) = −V0
(4)
となります。 (9)式の左辺の値は運動量 mV0 の２倍の
2mV0 に等しいので結局次式が得られます。
PMax =
変位は
x(t ) = V0
m
k
sin(
t)
k
m
k
t ) = −mx
m
T
(10)式を用いると玉の質量ｍと衝突速度 V0 と衝撃時
間 T がわかれば、ピーク荷重 PMax を求めることができ
ます（完全弾性衝突の場合の近似解として）。
(6)
図３は 116mm 四角の変動荷重検出板をコンクリー
ト床に粘着テープで止めてその上にボーリング球
(6.9kg)を落下させたときの衝撃力波形です(ホームペ
ージの「パッドセンサと変動荷重検出板」を参照くだ
さい)。ボーリング玉は検出板の金属に直接当たります。
となります。(6)式で衝撃力 F(t)は変位にバネ定数を乗
じた形になっています。また、正弦波形状（半波）を
しています。
質量 m と衝突速度 V０を一定にして、バネ定数 k を 3
通りに変化させて床に作用する力 F(t)を描くと図 2 の
ようになります（m=10kg、衝突速度 V0=4.43m/sec、k：
表中の値）。
ここで F(t)を 0 ≤ t
と、
∫
π m/k
0
≤ π m / k の範囲で積分してみる
π m/k

k 
F (t )dt =
t )
 −mV0 cos(
m

0
(10)
(5)
床に作用する力（バネに作用する力）は
F (t ) = kx = V0 km sin(
π mV0
2mV0 (7)
=
となります。
つまり衝突速度 V0 と質量 m が同じならば、バネ定数
k によらず力と時間の描く軌跡の面積は同じ 2mV0 にな
ります。運動量 mV0 の２倍になる理由は、ハンマや玉
が元の高さまで跳ね返るとモデル化しているからです。
1
図３ボーリング球の衝撃力波形
図３の波形を見ると、ボーリング球を 10cm 高さから
落下させたときにピーク荷重 PMax=約 20kN（2 トン）、
1m 高さから落下させたときには PMax=約 75kN(7.5 ト
ン)になっています。
衝突速度は V0 = 2gh なので、落下高さ h= 0.1m では
V0=1.4 m/sec、ｈ=1m では V0=4.43 m/sec です。これ
ら V0 と m=6.9kg、負荷開始－終了時間 T=約 0.0013
(sec)を(10)式に代入すると、h=10cm では
h=1m では
=
PMax
π mV0
=
T
π mV0
3.14 × 6.9 ×1.4
≈ 23kN
0.0013
3.14 × 6.9 × 4.43
=
≈ 74kN
0.0013
T
図４
(15)
(16)
球が当たったときのバネ定数の時間変化
Ｇｏｌｆｂａｌｌｆａｌｌｉｎｇ (100x100mm sensor)
1.8
1.6
1.4
となり、実際の計測荷重と近い値になることがわかり
ます。
実際のハンマ先端部や球は、床に丸い先端部分が当
たります。また先端部分は変形してわずかですが扁平
になりますし、床もわずかに窪みます。このため接触
面積が時間と共に増加しますので、バネ定数 k も接触
直後と離脱直前では小さく、深く接触した時点では大
きくなります。
バネ定数ｋが時間につれて上述のように変化すると、
衝撃波形は開始部付近と終了部付近で裾野を引く形状
になります。このことは図５のゴルフボールの場合で
も見ることができます。
2
Sensor (kN)
=
PMax
接触面積増加
1.2
1
0.8
h=0.5m
0.6
h=1.0m
0.4
h=1.5m
0.2
h=2.0m
0
-0.2
0
0.5
図５
1
1.5
Time (msec)
2
2.5
ゴルフボールの衝撃力波形
以上は完全弾性衝突と呼ばれる状態に近い場合の衝
撃力波形の説明です。

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