36積分の計算～37定積分で表された関数

36.積分の計算～ 37.定積分で表された関数
[三ｸﾘｱ12ABWa38]f(2),f'(2),∫f(x)dx[-1.1]からf(x)を求める"三クリアーⅠⅡＡＢ受近畿大#
2 次関数 f 0 x1 が f 0 21 =26，f - 0 21 =18，
Q
1
-1
f 0 x1 dx＝6 を満たすとき f 0 x1 を求めよ。
[三ｸﾘｱ12ABSt159]定積分で表された関数のグラフ"三クリアーⅠⅡＡＢ受中央大#
関数 f 0 x 1 は x <0 のとき 0，0 (x( 1 のとき x，x >1 のとき 1 の値をとるとする。こ
Q
x
1
3
6 2f 0 t 1 + g 0 t 1 7dt = x -4x +3 ，f - 0 x 1 - g - 0 x 1 =-3 ，f 0 1 1 =1
の条件を満たすとき，f 0 x 1 ，g 0 x 1 を求めよ。
のとき次の問いに答えよ。
0 1 1　y = f 0 x 1 のグラフをかけ。
s　f 0 x1 =3x 2 +6x +2
0 2 1　g 0 x 1 =
解説
f 0 x1 = ax 2 + bx + c 0 a ' 01 とおける。
f - 0 x1 =2ax + b であるから，f - 0 21 =18 より　4a + b =18 …… ①
Q
x
x-1
s　f 0 x 1 = x 2 - x +1 ，g 0 x 1 = x 2 +2x -6
f 0 t 1 dt を次の 4 つの場合にそれぞれ求めよ。
解説
4 1 5　x( 0 4 2 5　0< x( 1 4 3 5　1< x( 2 4 4 5　2< x
Q
0 3 1　y = g 0 x 1 のグラフをかけ。
Q
1
-1
よって，
1
1
Q 0ax +c1dx=2< 3 x + cx= = 3 a +2c
f 0 x1 dx =2
Q
1
-1
a
2
3
0
2
s　0 1 1　2 図 3　0 2 1　4 1 5　g 0 x 1 =0 4 2 5　g 0 x 1 =
0
f 0 x1 dx =6 から　①，②，③ を解いて　a =3，b =6，c =2 ( a' 0 を満たす )
f - 0 x 1 - g - 0 x 1 =-3 …… ③ であるから，②+③ より　3f - 0 x 1 =6x -3
よって　f - 0 x 1 =2x -1
011
Q
y
f 0 1 1 =1 であるから　1 2 -1+ C =1 ゆえに　C =1
ゆえに　f 0 x1 =3x +6x +2
y= f 0 x1
1
[三ｸﾘｱ12ABPr38]絶対値を含む定積分を定数tで表す"三クリアーⅠⅡＡＢ受早稲田大#
O
(1)　t を定数とする。x の不等式 x 2 - 0 1 + t 1x + t >0 を解け。
Q
1
0
O
したがって　f 0 x 1 = x 2 - x +1
y= g 0 x1
1
1
2
x
1
これを ① に代入して　20 x 2 - x +11 + g 0 x 1 =3x 2 -4
よって　g 0 x 1 = x 2 +2x -6
1
2
x
x 2 -0 1 + t 1x + t dx を求めよ。
解説
s　(1)　t <1 のとき x <t，1< x； t =1 のとき x <1 ，1< x；
t >1 のとき x <1 ，t <x
1
(2)　f 0 t 1 =- 0 2t 3 -6t 2 +3t -11
6
g 0 x 1 =
解説
Q
011
y
x
x-1
0dt =0
y= f 0 x1
1
4 2 5　0< x( 1 の場合
(1)　x 2 - 0 1 + t 1x + t >0 から　0 x - t 10 x -1 1 >0
g 0 x 1 =
よって，この不等式の解は
t <1 のとき　x <t，1< x
g 0 x 1 =
t >1 のとき　x <1，t <x
(2)　0 (t( 1 のとき，(1) の結果から
x 2 - 0 1 +t 1x + t =
1
x 2 - 0 1 + t 1x + t 0 0 ( x ( t 1
>
-0 x - t 10 x - 1 1
0 t( x( 1 1
Q
= 6 x - 0 1+ t 1x + t7 dx- 0 x - t 10 x - 1 1dx
Q
Q
0
t
x 2 -0 1 + t 1x + t dx
1
2
0
Q
0
x-1
0dt +
Q
x
0
tdt =
1
x
1
<2t = =2x
2
O
2
x
1
0
4 3 5　1< x( 2 の場合
t =1 のとき　x <1，1< x
ゆえに　f 0 t 1 =
0 1 1　y = f 0 x 1 のグラフは右の図のようになる。
0 2 1　4 1 5　x( 0 の場合
Q
1
x-1
tdt +
Q
x
1
1dt =
1
<2t =
2
1
45
+ t
x-1
x
1
1
1
1
= - 0 x - 1 1 2 + x -1 =- x 2 +2x -1
2
2
2
4 4 5　2< x の場合
g 0 x 1 =
Q
x
x-1
45
1dt = t
x
x-1
= x - 0 x -1 1 =1
031 y
y= g 0 x1
1
1
2
O
1
2
0 3 1　y = g 0 x 1 は右の図のようになる。
t
t3
1
1
1
= - 0 1 + t 1t 2 + t 2 - - 0 1 - t 1 3 =- 0 2t 3 -6t 2 +3t -11
3
2
6
6
>
?
[三ｸﾘｱ12ABSt160]定積分を含む等式,導関数の関係からf(x),g(x)"三クリアーⅠⅡＡＢ受久留米大#
2 次関数 f 0 x 1 および g 0 x 1 が
Q
f 0 x 1 = f - 0 x 1 dx = 0 2x - 1 1dx = x 2 - x + C (C は積分定数)
031 y
2
(2)　0 (t( 1 のとき，f 0 t 1 =
3
6 2f 0 t 1 + g 0 t 1 7dt = x -4x +3 の両辺を微分して
更に，この式の両辺を微分して　2f - 0 x 1 + g - 0 x 1 =6x …… ②
1 2
x
2
1
4 3 5　g 0 x 1 =- x 2 +2x -1 4 4 5　g 0 x 1 =1 0 3 1　2 図 3
2
2
a +2c =6 …… ③
3
1
2f 0 x 1 + g 0 x 1 =3x 2 -4 …… ①
f 0 21 =26 から　4a +2b + c =26 …… ②
x
x
[三ｸﾘｱ12ABCl161]∫{f(x)-x^2+1}dx[ a .1]=0となるcの値"三クリアーⅠⅡＡＢ受島根大#
2
2
f 0 x1 = ax + bx + c とし，2 つの曲線 y = f 0 x1 と y =-x +1 は点 (1，0) で共通接線を
もつとする。
0 1 1　s　0 1 1　略　0 2 1　a = b
Q
0 1 1　(2)　方程式 f 0 x1 =0 が 1 以外の解 a をもつとき，a を c を用いて表せ。
(3)　(2) と同じ仮定のもとで
Q
1
a
2
6 f 0 x1 - x + 17 dx =0 となるような c の値を求めよ。
a
6 f 0 t + 1 1 - f 0 t 1 7dt の値を求めよ。
0
0 2 1　a の値を求めよ。
解説
(1)　a と b を c を用いて表せ。
Q
1
Q
2
0 x + a 1 dx = A，
0
1
0 x + a 10 x + b 1dx = B，
0
Q
1
2
0 x + b 1 dx = C とおく。
0
0 3 1　F0 x 1 =
Q
x
0
f 0 t 1 dt とするとき，lim
h.0
t を任意の実数とすると　6 t0 x + a 1 + 0 x + b 1 7 2 ) 0 であるから
1
s　0 1 1　2　0 2 1　a =
Q 6 t0 x+ a 1 + 0 x+ b 1 7 dx) 0 …… ① が常に成り立つ。
2
0
s　(1)　a = c -2，b =-2c +2　(2)　a =
1
ここで　=
解説
また，y =-x 2 +1 から　y - =-2x
①，② から　a = c -2，b =-2c +2
これが解 1 と a 0 ' 11 をもつとき，c -2 ' 0 であり，解と係数の関係から
Q
a
6f 0 x1 - x + 17dx =
Q
a
f 0 x1 dx -
Q
a
2
x dx +
Q
1
a
dx
1
1
= 0 c - 21 0 x - a1 0 x - 11 dx- x 3 + x
3
a
a
Q
1
2
2
0
Q
2
1
0
Q
2
0 x + a 1 dx +2t
1
0
0 x + a 10 x + b 1dx +
Q
1
0
< = 45
D
= B 2 - AC( 0 よって　B 2 (AC
4
2
1
1
2
1
0
[三ｸﾘｱ12ABWa39]∫f(t)dt[a.x]=x^4-4x^3+5x^2-2xとなるf(x),a"三クリアーⅠⅡＡＢ受愛媛大#
=-
1
1 - a1 260 c -21 0 1 - a1 -20 a +21 7
60
1
=- 0 1 - a1 260 1 - a1 c -67
6
Q
a
s　f 0 x 1 =4x 3 -12x 2 +10x -2 ， a =0，1，2
解説
等式の両辺を x で微分すると　f 0 x 1 =4x 3 -12x 2 +10x -2
また，等式の x に a を代入すると，
3
Q
a
a
f 0 t 1 dt =0 より
2
a -4a +5a -2a =0
2
6f 0 x1 - x + 17dx =0，1- a ' 0 より　0 1 - a1 c -6=0
因数分解すると　a0 a - 1 1 20 a -2 1 =0
2
ここで，1- a =であるから
c-2
-
f 0 t 1 dt = x 4 -4x 3 +5x 2 -2x
4
よって　a =0，1，2
2c
3
-6=0　よって　c =
c-2
2
[三ｸﾘｱ12ABPr39]定積分で表されたf(x),積分区間の上端の値など"三クリアーⅠⅡＡＢ受北九州市立大#
次の関数について答えよ。
[三ｸﾘｱ12ABCl162]シュワルツの不等式の証明,等号成立条件"三クリアーⅠⅡＡＢ受津田塾大#
Q
f 0 x 1 =-2+ x + x 2
a，b を定数とする。
0 1 1　不等式
>Q
1
2
? >Q
0 x + a 10 x + b 1dx (
0
1
?>Q
2
0 x + a 1 dx
0
1
?
2
0 x + b 1 dx を示せ。
0
0 2 1　0 1 1 で等号が成立するための a，b の条件を求めよ。
k
2
3
1
k
1
k
3
0
5
k
3
5
2
0 2 1　f 0 x 1 =2x + x -2 であるから
Q
a
0
6 f 0 t + 1 1 - f 0 t 1 7dt =
ただし，a は定数であり，
1
a
0
6 f 0 t + 1 1 - f 0 t 1 7dt
5
Q f 0 t1 dt=- 6 である。
0
Q
a
0
2
2
226 0 t + 1 1 - t 7 + 0 t + 1 1 - t3dt =
=2a 2 +3a
よって，0 1 1 の結果より　2a 2 +3a =2
ゆえに　0 2a -1 10 a +2 1 =0 したがって　a =
.
1
1
=- 0 c -21 0 1 - a1 3- 0 1 - a1 0a 2 + a -21
6
3
1
2
0
次の等式を満たす関数 f 0 x 1 と定数 a をすべて求めよ。
1
1
c -21 0 1 - a1 3+ 0 1 - a1 20 a +21
60
3
0
1
0 3 1　lim
h 0
a
1
0
ゆえに　k =2
>Q 0x+a10x+b 1dx? (>Q 0x+a1 dx?>Q 0 x+b 1 dx?
x
1
0
よって，① から　At 2 +2Bt + C) 0
Q
t2
Q f 0 t1 dt= Q 0kt + t- 21dt= < 3 t + 2 - 2t= = 3 + 2 -2= 3 - 2
Q f 0 t1 dt=- 6 であるから　3 - 2 =- 6
1
1
=- 0 c -21 0 1 - a1 3- 0 1 - a 31 +1- a
6
3
=-
2
6 f 0 t + 1 1 - f 0 t 1 7dt = k (k は定数) とおくと　f 0 x 1 = kx + x -2
0
0 x + b 1 dx
1
a
a
よって　= At 2 +2Bt + C
すなわち　Q
2
0 2 1　0 (x( 1 である任意の x の値について常に
t0 x + a 1 + 0 x + b 1 =0 すなわち　0 t +1 1x + at + b =0 であればよい。
よって　t +1=0 ，at + b =0 ゆえに　a = b
(3)　(2) より　f 0 x1 = 0 c -21 0 x - a1 0 x -11
1
0 1 1　0
c
c
1･a =
すなわち　a =
c-2
c-2
1
2
これが常に成り立つから　(2)　(1) より，方程式 f 0 x1 =0 は　0 c -21 x 2 + 0 -2c +21 x + c =0
2
1
Q 6t 0 x+ a 1 + 2t0 x+a 10 x+b 1 + 0 x+ b 1 7dx
= t
曲線 y = f 0 x1 は点 0 1，01 を通るから　a + b + c =0　…… ①
点 0 1，01 での 2 つの曲線の接線の傾きが等しいから　2a + b =-2　…… ②
1
2
0
(1)　f 0 x1 = ax 2 + bx + c，f - 0 x1 =2ax + b
1
，-2　0 3 1　19
2
解説
Q 6 t0 x+a 1 + 0 x+b 1 7 dx
c
3
(3)　c =
2
c-2
F0 3 + h 1 - F0 3 1
の値を求めよ。
h
F0 3 + h 1 - F0 3 1
= F -0 3 1 = f 0 3 1 =19
h
1
，-2
2
Q
a
0
4
5
2
0 4t + 3 1dt = 2t + 3t
a
0
[三ｸﾘｱ12ABSt163]定積分で表された関数.極値などから係数決定"三クリアーⅠⅡＡＢ受弘前大#
a，b，c を定数とし，関数 f 0 x 1 を f 0 x 1 =
Q
x
0
2
0t + at + b1dt + c とおく。関数 f 0 x 1 は
Q
x
1
f - 0 t1 dt = f 0 x1 - f 0 11 であるから　f 0 x1 = x 2 - ax +26 f 0 x1 - f 0 11 7
よって　f 0 x1 =-x 2 + ax +2f 0 11 …… ①
x =-1 と x =2 で極値をとり，曲線 y = f 0 x 1 上の点 0 1，f 0 1 1 1 における接線と x 軸と
したがって，f 0 x1 は 2 次関数である。
の交点の座標が (-1，0) であるとする。このとき，a，b，c を求めよ。
(2)　① に x =1 を代入すると　f 0 11 =-1+ a +2f 0 11
11
s　a =-1 ，b =-2 ，c =6
① に代入して　f 0 x1 =-x 2 + ax +2-2a
ゆえに　a =
解説
2
1
0
0
<
f - 0 x 1 = x + ax + b
2
=
f - 0 -1 1 =1- a + b =0 ，　f - 0 2 1 =4+2a + b =0
よって　a =-1 ，b =-2
よって　a =
Q
<
=
8
9
この接線が点 0 -1，0 1 を通るから
Q
1
-2
x 2 + 2ax dx について，次の問いに答えよ。ただし，a) 0 とする。
11
x3
x2
11
=
-2x f 0 x 1 = 0t 2 - t - 21dt 6
6
3
2
0
…
2
…
f -0 x 1
+
0
-
0
+
9
2
3
:
31
6
f0 x 1
したがって　a =-1 ，b =-2 ，c =-
Q
6
6
(2)　a = U のとき最小値 3- U
4
2
Q
-2a
-2
<
=
-2a
-2
Q
<
x3
+ ax 2
3
S =-
-2
0
-2a
Q
1
0
f - 0 t1 dt を満たすとき，次の問いに答えよ。
0
f 0 y 1 dy +
f 0 y 1 dy +
<
x
0
=
1
:
6
3- U
2
9
8
3
9
2
2
0
1
Q 0 x+y1 f 0 y1 dy=x + C から
2
2
0
Q
0
= <
+
-2
1
0
0
1
x
1
f - 0 t1 dt
-2
-2a
O
a =
Q y f 0 y1 dy=C　…… ①
2
0
Q
x
0
1
1
0
0
Q f 0 y1 dy+2xQ yf 0 y1 dy=x
f 0 y 1 dy + x 2
x
2
Q
x
0
f 0 y 1 dy = 0 1 - a 1x 2 -2bx
1
1
0
0
1
Q f 0 y1 dy=Q 6 20 1- a 1y-2b 7dy= 40 1 -a 1y -2by5 =1-a-2b
2
0
よって　2a +2b =1 …… ②
y = x 2 +2ax
1
2
2
両辺を x で微分すると　f 0 x 1 =20 1 -a 1x -2b
1
[2]
y
1
0
0
x3
7
+ ax 2 =5a 3
3
0
=
1
Q f 0 y1 dy+2xQ yf 0 y1 dy+Q y f 0 y1 dy= x + C
f 0 y 1 dy + x 2
y
b =
1
1
0
0
-2a
-2
O
1 x
1
Q yf 0 y1 dy=Q 620 1- a 1y -2by7dy= < 3 0 1- a1y -by = = 3 0 1 -a 1 -b
2
2
3
2
2
0
2
2
a +2b = …… ③
3
3
② と ③ を連立して解くと　a =
2
S
Q 0 x+ y1 f 0 y1 dy= x +C
解説
0
+
1
よって　1
+
3
1
5
x - ，C =
2
2
24
1
2
2
s　(1)　略　(2)　f 0 x1 =-x 2 + x +
3
3
Q f 0 t1 dt= a ( a は定数) とおくと　f 0 x1 =x - ax+2Q
+
Q f 0 y1 dy= a，Q yf 0 y1 dy= b (a，b は定数) とおくと
1
[1]
y = x 2 +2ax
Q
1
1
x3
8
+ 0 0 + 2a1 3 +
+ ax 2 = a 3 -3a +3
6
3
3
0
(1)　f 0 x1 は 2 次関数であることを示せ。　(2)　f 0 x1 を求めよ。
(1)　0
よって，次の等式が成り立つ。
1
2
2
0x + 2ax1dx+ 0 0 x + 2ax1dx
2
2
0x + 2ax1 dx+ 0 0x + 2ax1dx
[三ｸﾘｱ12ABSt164]f(x)=x^2-x∫f(t)dt+2∫f'(t)dtを満たすf(x)"三クリアーⅠⅡＡＢ受佐賀大#
0
x
0
0
=-
Q f 0 t1 dt+2Q
Q
[2]　a ) 1 のとき
x
Q
x =0 を代入すると　2
0 x + 2ax1dx-
x3
+ ax 2
=
3
11
6
x
S =
9
1
-
解説
(1)　x 2 +2ax = x0 x +2a1
[1]　0 (a <1 のとき
よって，f 0x 1 は条件を満たす。
関数 f 0 x1 が等式 f 0 x1 = x 2 - x
8 3
7
a -3a +3，a) 1 のとき S =5a 3
3
解説
f 0x 1 の増減表は次のようになる。
-1
(2)　S を最小にする a の値とそのときの最小値を求めよ。
s　(1)　0 (a <1 のとき S =
x
…
…
整式 f 0 x 1 と実数 C が
s　f 0 x 1 =
1
11
ゆえに　c =6
6
x
1
を満たすとき，この f 0 x 1 と C を求めよ。
(1)　S を a の関数で表せ。
逆に f 0 x 1 が条件を満たすことを示す。
Q
…
2
2
2
したがって　f 0 x1 =-x 2 + x +
3
3
3
[三ｸﾘｱ12ABCl165]絶対値を含む定積分の最小値"三クリアーⅠⅡＡＢ受日本女子大#
S=
13
1
=-20 x -1 1 すなわち　y =-2x + c 6
6
0=2+ c -
4
[三ｸﾘｱ12ABCl166]∫f(y)dy+∫(x+y)^2f(y)dy=x^2+Cとなるf(x),C"三クリアーⅠⅡＡＢ受京都大#
よって，点 0 1，f 0 1 1 1 における接線の方程式は
y - c -
U6
…
dS
da
6
最小値 3- U をとる。
2
1
t3
t2
13
また　f 0 1 1 = 0 t - t - 21dt + c =
- - 2t + c = c 6
3
2
0
0
2
0
a
6
よって，S は a = U のとき
4
1
ゆえに，f - 0 x 1 = x 2 - x -2 であり　f - 0 1 1 =1-1-2=-2
1
7
は単調に増加する。
3
a) 0 において，S の増減表は右のように
t
a
3
5
= - + t 2 + 0 2 - 2a1 t =- a +
3
2
2
3
0
f 0x 1 が x =-1 と x =2 で極値をとるから
dS
6
=0 とすると　a = U
4
da
なる。
Q f 0 t1 dt=Q 0-t +at+ 2- 2a1dt
3
dS
=8a 2 -3
da
[2]　a ) 1 のとき，S =5a -
よって　f 0 11 =1- a
1
(2)　[1]　0 (a <1 のとき　1
1
3
1
，b = したがって　f 0 x 1 = x 4
4
2
2
よって，① から
C =
1
1
1
Q y 8 2 y- 2 9dy =Q 8 2 y - 2 y 9dy= < 8 y - 6 y = = 24
0
2
3
1
0
3
3
1
2
3
4
1
3
0
5

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