ω

医用画像処理学（１）
総論と基本概念（１）
（教科書ｐｐ．1-14)
有村秀孝
医用画像処理の目的
●画像を見やすくするため
＝＞人間の視覚機能の拡大
例：画質改善（ノイズ除去、エッジ強調処理、対象物強調）
●画像の中から有益な情報を引き出すため
＝＞視覚機能の代行
例：パターン認識技術などを用いて、専門家（医師）の診断支援を行う。
●分かり易く見せるため
＝＞視覚機能に訴える
例：診断しやすい３次元表示。ボリュームレンダリング。ＭＩＰ処理。
放射線治療における医用画像処理の目的
患者体内の情報の可視化
形態と機能，線量分布，患者セットアップ，腫瘍
有効な情報の抽出
DVH(dose volume histogram)，腫瘍位置
分かり易くみせるためのアプローチ
治療計画，Beam’s eye view，3次元サーフィスレンダリング
3
医用画像処理学体系と放射線治療
イメージング技術
4D-CT，CBCT，MV-X
線，kV-X線撮像,
PET/CT, MR/CT
画像変換
位置合わせのレジストレー
パターン認識
腫瘍位置決め，動画像解析，
解剖学的な部位決め
医用画像
(治療計画CT, kV-CT,
MV-CT, MR, PET,
SPECT, EPIDなど)
コンピュータ
グラフィックス
【ヒストグラム解析，テンプ
レートマッチング，レジスト
レーション，オプティカルフ
ロー】
領域抽出
GTV,CTV,OAR抽出，治療
ション，治療計画フュージョ
治療計画，シミュレーション，
計画正常組織領域抽出，解
ン，ポータル線量画像
線量分布表示【レンダリング，
剖学的な部位決め
【等方ボクセル化，レジスト
モデリング】
【対象物強調，ニ値化処理,
レーション，フュージョン，ピ
領域抽出】
クセル値線量変換】
4
どちらが見やすい画像か？
画像石（不老不死の神西王母、中国、東京国立博物館）
なに？
ん？
おおお！（でも，なぜ？言えることは？）
例：見方を変えると見たいものが見えてくる
（画像処理の効果）
階調変換
明るさとコントラスト（明るさの差）を変えることができます
暗い、低コントラスト
輝度
明るい、高コントラスト
輝度
明るい
明るい
C2
C1
暗い
暗い
D
ディジタル値
D
ディジタル値
画像のパターン認識
「見たもの（画像）」を「記憶」の中にある「意味のあるパターン」
に対応づけをし、見たものを認識する処理
良性
悪性
Effect of Dot-Enhancement Filter
Aneurysm
Original image
Enhanced
aneurysm
Dot-enhanced image
３次元ＭＲ画像における脳動脈瘤の検出
動脈瘤
画像処理の利点
現在は、○
医療では、、、
Ｘ線写真フィルム健在というのは，今は昔。
しかし、CR (computed radiography), フラットパネルディテクター(flat panel detector;
FPD)などのディジタル画像検出器に移行しつつある。フィルムレス化。
画像の種類
画像処理技術
ディジタル化（サンプリングと量子化）
（
量
子
化
を
行
う
方
向
）
ア
ナ
ロ
グ
値
音 1.0
階
0.8
ま
た 0.6
は
濃 0.4
淡
0.2
5
0.0
0
0
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
時間または距離
（サンプリングを行う方向）
8
9
10
デ
ィ
ジ
タ
ル
値
ディジタル化
あるアナログ信号（ある物理量）をサンプリング（標本化）し，量子化することに
よってディジタル化が行われる．
サンプリング
あるアナログ信号（例：脳波，Ｘ線エネルギー分布）を一定間隔（時間または空間）で測定
すること。一定時間または空間間隔をサンプリング間隔という。サンプリング間隔はサン
プリング定理に従って決める。
量子化
各サンプリング点のアナログ値（測定値）を，一定間隔で分割された有限個のレベル（例
：8ビットなら０から２５５までの２５６段階のレベル）の何処かに割り当てること．analogto-digital (A/D)変換に相当する．
コンピュータで扱う情報量の単位
ビット (bit) ：ほとんどのデジタルコンピュータが扱うデータの最小単位．binary
digit （2進数字）の略．２進数の１桁で，２通りの状態を，“０”と“１”で表記される．
問題：１０進数の０から１５までを１６進数と２進数で表しなさい．
10進数
16進数
2進数(4 bits)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
８ビット＝１バイト(Byte)
1024バイト＝1 KB
次のアナログ信号を量子化テーブルを使って量子化
しなさい
アナログ信号
ア
ナ
ロ
グ
値
３
２
１
０ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
時間または距離
Δｘ＝ｘi－ｘi-1：サンプリング間隔
１０進２進
量子化テーブル
(3) 11
デ
ィ
ジ (2) 10
タ
ル (1) 01
値
(0) 00
0
1
2
3
アナログ値
答え
１０進２進
アナログ信号
ア
ナ
ロ
グ
値
(3) 11
デ
ィ
ジ (2) 10
タ
ル (1) 01
値
３
２
１
０
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
(0) 00
0
時間または距離
Δｘ＝ｘi－ｘi-1：サンプリング間隔
ディジタル信号
アナログ信号
11
10
01
00
量子化テーブル
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
1
2
3
アナログ値
値デ
３ィ
２ジ
タ
１ル
０
サンプリング定理
連続関数f( x) (ｘ線写真、心電図 ) が持つ最高周波数がUであるとき、またはU以下に
帯域制限されているとき，Δx＜１／（２U)となる△xでf(x)をサンプリングするとf(x)に含ま
れる全ての情報は保存される。
サンプリング周波数：１／（Δx）=fs
ナイキスト周波数：１／（２Δx）=fs/2
サンプリング間隔，サンプリング周期：Δx
 m  
m 
f x    f  sinc x 

2U   2U 
m
sin( x)
シンク関数 sinc x  
x
フーリエ級数展開(Fourier series expansion)の概念
周期的な連続信号（周期関数）は、基本（角）周波数（最低周波数）をω として、その整数倍
(integral multiple)の周波数の多くの単純な波(sin波, cos波)を足し合わさることによって、表現
できる。
a 
f (t)   {an cos(nt  bn sin(nt }　(1)
2
0
n 1
a0, an, bnを求め、上記式を使って、連続信号f(t)を単純な波で表現することをフーリエ級数展
開と言います。偶関数と奇関数のフーリエ級数はそれぞれcos波（余弦波）またはsin波(正弦
波)だけで表現される。不連続点を持つ関数のフーリエ級数では、Gibbs現象が生じる。
フーリエ係数（Fourier coefficients) の求め方
連続信号の周期をＴとすると、フーリエ係数を次式を使って求めることができる。
a0 
1 T
f (t )dt
T 0
2 T
f (t ) cos(nt)dt

0
T
2 T
bn   f (t ) sin(nt)dt
T 0
an 
(2)
a0は、波の平均値です。
(3)
anとbnは、nで決まる周波数のcosと
sinの振幅です。cos波とsin波の直交
性(orthogonality)を利用したテンプレー
トマッチング。
(4)
22
フーリエ級数
展開の概念
フーリエ変換(Fourier transform)
フーリエ変換：絶対可積分 (absolutely integrable) の任意の関数（非周期でもOK）に対し
て、それぞれの（連続）周波数に対する振幅を求めることができる。実空間の関数から周波
数空間の関数に変換。

フーリエ変換
F (  
f ( x)  ix dx
 
e
フーリエ逆変換(Fourier inverse transform)：フーリエ級数展開の拡張(Extended Fourier
series expansion)。任意の関数(arbitrary function)は、単純な波
exp(iωx)=cos(ωx)+isin(ωx)で表現できる。周波数空間の関数を実空間の関数に逆変換
できる。
フーリエ逆変換
f ( x 
1
2


F ()eix d
ＤＦＴ(discrete Fourier transform; 離散フーリエ変換）：実際にフーリエ変換をコンピュータで計
算するときに用いる。サンプリングしたディジタル信号に適用する。周期関数を仮定。したがっ
て、フーリエ変換後も周期関数となる。DFTの高速な計算アルゴリズムはFFT(fast Fourier
transform)。
N 1
DTF
Fk   fne
i
2
kn
N
A prism splits
visible light into
the colors of
the spectrum.
n 0
逆DFT
1
fn 
N
N 1
F e
k
i
2
kn
N
k 0
任意の関数
フーリエ変換周波数ごとに
分解される
24
フーリエ変換の例
FT
F ( ) 
f ( x  e a | x |
f(x)
2a
a 2
2
F(ω)
x
1
f ( x 
(| x | d )
2d
ω
FT
F ( ) 
sin(d )
 sin c(d )
d
１
f(x)
1/(2d)
-d
d
ω
－2π/d
f ( x   ( x)
δ(x)
FT
－π/d
π/d
2π/d
F ( )  1
１
25
ω
画像のフーリエ変換
フーリエ変換の例（つづき）
● ガウス関数のフーリエ変換はガウス関数となる。
26
フーリエ変換の応用
自己相関関数(autocorrelation function)
1 
 ( )   f ( x) f ( x   )dx
T 
パワースペクトル
P( ) 
1
| F (  |2
T
ウイナーヒンチンの定理
自己相関関数φ(τ)とパワースペクトルP(ω)はフーリエ変換対の関係にある。
P(   

 ( )e i d
FT
 ( )  



P(  i d
e
パーシバルの定理
実空間でのエネルギーと周波数空間でのエネルギーは等しい。



| f ( x)|2 dx  21  |F ( |2 d

27
畳込み積分と線形システム
関数f(x)とh(x)との畳込み積分(convolution)

f ( x)  h( x)   f ( )h( x   )d

τ：ｘ方向の移動量
線形システムの条件
線形システム
g ( x)  L[ f ( x)]
加法性：L[a1 f 1( x)  a2 f 2( x)]  a1g1( x)  a2 g 2( x)
定常性：L[ f ( x   )]  g ( x   )
f(x)
PSF
g(x)
h(x)
線形システム応答を畳込み積分で表現
g ( x)  f ( x)  h( x)
FT
G()  F () H ()
ここで、f(x)としてインパルス（δ関数）を入力すると、出力はG(ω)=H(ω）となり、
システム伝達関数（周波数応答関数） H(ω）が求められる。画像の分野では、
H(ωはMTF(modulation transfer function)と呼ばれ、h(x)は点広がり関数
(point spread function)と呼ばれる。
28
畳みこみ積分の例
MTFの概念
画像処理におけるフィルタ処理（畳込み積分）
出力画像g
h1
h2
h3
h4
h5
h6
h7
h8
h9
フィルタh
9
f  h   fih10  i  g
g
i 1
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
f9
Prewittフィルタ（ｘ方向）
平均化フィルタ
入力画像f
1/9
1/9
1/9
-1
0
1
1/9
1/9
1/9
-1
0
1
1/9
1/9
1/9
-1
0
1
Laplacianフィルタ（二階微
分;second order differential）
Sobelフィルタ（ｘ方向）
1
1
1
0
1
0
-1
0
1
1
-8
1
1
-4
1
-2
0
2
1
1
1
0
1
0
-1
0
1
８近傍
４近傍
31
実空間
エリアシングエラー
周波数空間
Δxでサンプリングすると，サンプリング周波
数は１／Δx＝fs．
標本化関数
ナイキスト周波数：fsでサンプリングしたとき
の再現される最高周波数
１／（２Δx）=fs/2
信号の最高周波数U ＜１／（２Δx）ならば
エリアシングエラーは起こらない．
重なったところでエ
リアシングエラーが
起こる
練習問題
（問１）下の信号をサンプリングする場合、サンプリング間隔を幾らより小さくするべきか？
振
４
幅
２
0
20 40
60
80
(msec)
(問2）信号の周波数域20Hz～80ｋHz → サンプリング間隔は？
(問3）２進数１１１１１１１１をD / A変換したところ2.55Vになった。
このD / A変換器で00000010を変換すると何Vが出力されるか？
（問４）人間の耳は２０ｋＨｚの音が可聴域の上限（最高周波数）だと言われています。
ここで、ある歌手（アーティスト？）の４分間の曲を適切にサンプリングし、それぞれのサンプリング点
を１６ビットで量子化したディジタルの曲をＣＤに記録することを考えます。この曲には最低何キロバイト必
要でしょうか?
解答
1
1
=
T
40
（問１）
U=
（問２）
△ｘ＜
1
２u
△ｘ＜
１
＝　２０（ｍｓ）
１
２・
４０
より
1
1
6
x 


6
.
3

10
2  80 103 1.6 105
（問３）
6.3×10－6より小さい
２８―１＝255（10）
2.55
＝　0.01　0.01×２＝0.02（ｖ）
255
解答
（問４）人間の耳は２０ｋＨｚまでしか聞こえないので、曲の最高周波数を２０ｋＨｚ
とします。したがって、サンプリング間隔は、
1
2 * 20 *103
４分の曲をこのサンプリング間隔でサンプリングすると、サンプリング点数は
4 * 60
1
2 * 20 *103
１個のサンプリング点のデータ量は１６ビットなので、２バイト。したがって、全体のデータ量は
4 * 60
* 2  19200kB
1
2 * 20 *103
サンプリング定理の応用
ーSinc関数近似による補間法を用いた等方ボクセル変換
(isovoxel transformation)ー
f x0 , y0 , z0    f x, y, z sinc ( x0  x)sinc ( y0  y )sinc ( z0  z )
x
y
z
z4
z3
z1z2
y1
求めたい点：
y2
（ｘ０，ｙ０，ｚ０）
y3
y4
x1
x2
x3
x4
（H20年度卒研生中村君作成）
Sinc補間による等方ボクセル化
Sinc関数
sin 2Ux
sinc( x) 
2Ux
３次近似(third order approximation)
1  2 x 2  x 3
0  x 1

2
3
sinc( x)  4  8 x  5 x  x 1  x  2
0
2 x

（H20年度卒研生中村君作成）
Sinc補間と線形補間の結果
(a) Original
(c) Cubic Interpolation
(b) Cubic - Linear
(d) Linear Interpolation
（H20年度卒研生中村君作成）
ディジタル化（サンプリングと量子化）
ディジタル化
ディジタルとは、状態を示す量を数値化して処理（取得、蓄積、加工、伝送など）を
行う方式
アナログが「坂道」で、ディジタルが「階段」。
つまり、アナログはなめらかで、ディジタルはガタガタです。
アナログ写真の濃淡の種類は無限、しかし、ディジカメでは、たったの２５６種類！
だから、ＣＭで「ディジタルだから、画像がきれい」というのはおかしい。
ただし、劣化に強い。
ディジタル画像だと，思い出は色あせない．．．色あせた方が良い思い出もある？
ディジタルデータは、基本的には、０と１を使って表現されます。
たとえば、音楽ＣＤなら、「穴が有る」なら「１」で、「穴が無い」なら「０」という感じです。
ディジタル人間は白黒はっきりを好む。合理的、論理的。
アナログ人間はグレーなところ、曖昧さを好む。感覚的、感情的。
ディジタル画像
Ｘ線エネルギー
分布
FPD
Ｘ線光子－＞電子・正孔対－＞
ディジタル化
ディジタル画像
画像の標本化と画素
Ｘ線画像作成（撮影）
X
線
X
線
検
出
器
被
写
体
管
Ｘ線
骨
白
筋肉
白っぽい
血管
肺
灰色
空気
黒
Flat Panel Detector (医療用ディジタル画像検出器）
Flat Panel Detector (医療用ディジタル画像検出器）
Flat Panel Detector (医療用ディジタル画像検出器）
間接変換方式
間接変換方式と直接変換
方式とで、どちらがぼけの
少ない画像になるか？
直接変換方式
Ｘ線－＞光
ボケが
有る
間接変換方式
FT
低画質な画像
周波数
距離
高周波数成分が少ない
Ｘ線－＞電子
直接変換方式
δ(x)
ボケが
無い
FT
１
高画質な画像
高周波数成分が多い
サンプリングの効果
画像の場合、一定距離間隔をピクセルと言います。
どの程度まで細かいところが見えるか（空間の解像度）が決まります。
例えば、肋骨（１．６ｃｍくらい）が見えるかどうか。ピクセルサイズ８ｍｍでは
ぎりぎり見えるが、３２ｍｍでは見えなくなる。
256 ピクセル x 2 mm
64 ピクセル x 8 mm
256 x 256
64 x 64
細かい間隔
16ピクセル x 32 mm
16 x 16
粗い間隔
ディジタル画像（量子化）
量子化ビット数が多いほど、多くの階調数を表現できる
量子化の効果
量子化によって、濃淡の種類の数が決まります
例えば、低いコントラストの肋骨が見えるかどうか。２ビット画像では濃淡の種類が４
つしかないので、ほとんど見えなくなる。
濃淡の種類の数＝
濃淡の種類の数＝
濃淡の種類の数＝
２５６（８ビット）
１６（４ビット）
４（２ビット）
細かい濃淡
粗い濃淡

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