§6. 正則函数

§6. 正則函数
f (z)：変数 z = x + iy ∈ C (x, y ∈ R) の複素数値函数．
f (x + iy) の値の方で実部と虚部を分けて，次の様に表す：
f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) （ u, v は実数値函数）．
例 6.1
f (z) = z 2 のとき，(x + iy)2 = x2 − y 2 + 2ixy より
u(x, y) = x2 − y 2 , v(x, y) = 2xy.
• f (z) の x に関する偏微分，y に関する偏微分は，実部・虚部ごとに定義する：
∂ (f (z)) := ∂ u(x, y) + i ∂ v(x, y),
∂ (f (z)) := ∂ u(x, y) + i ∂ v(x, y).
∂x
∂x
∂x
∂y
∂y
∂y
記号の定義
z と z をあたかも独立変数のようにみなして1
≥
¥
≥
¥
∂ := 1 ∂ − i ∂ ,
∂ := 1 ∂ + i ∂ .
∂z
2 ∂x
∂y
∂z
2 ∂x
∂y
注意 6.3
z + z ，y = z − z と連鎖律より
記憶法として2，x =
2
2i
eeeeeee
≥
¥
∂ = ∂x ∂ + ∂y ∂ = 1 ∂ + 1 ∂ ,
∂z
∂z ∂x
∂z ∂y
2 ∂x
i ∂y
≥
¥
∂y
∂ = ∂x ∂ +
∂ = 1 ∂ − 1 ∂ .
∂z
∂z ∂x
∂z ∂y
2 ∂x
i ∂y
例 6.4
f (z) = u(x, y) + iv(x, y) のとき
≥
¥
≥
¥
∂ f (z) = 1 ∂ − i ∂ u(x, y) + i ∂ − i ∂ v(x, y)
∂z
2 ∂x
∂y
2 ∂x
∂y
= 1 (ux + vy ) + i (−uy + vx ),
2
2
≥
¥
≥
¥
∂ f (z) = 1 ∂ + i ∂ u(x, y) + i ∂ + i ∂ v(x, y)
∂z
2 ∂x
∂y
2 ∂x
∂y
1
i
= (ux − vy ) + (uy + vx ).
2
2
∂z = 1, ∂z = 0．
とくに f (z) = z のとき，u(x, y) = x, v(x, y) = y より，
∂z
∂z
∂z = 0, ∂z = 1．
また f (z) = z のとき，u(x, y) = x, v(x, y) = −y より，
∂z
∂z
∂
∂
これらは，記号としての
,
の妥当性を示している．
∂z ∂z
1すなわち．z
2ここでは
は z の共役複素数であることを忘れる．
z が z の共役複素数であることを思い出す．
1
補題 6.5
≥
¥
∂ f (z) = ∂ f (z)．
∂z
∂z
証明例 6.4 より左辺 = 12 (ux + vy ) + 2i (uy − vx )．一方 f = u − iv と例 6.4 より，
1
i
右辺 = (ux + vy ) + (uy − vx ).
§
2
2
定義 6.6
f (z0 + h) − f (z0 )
が存在するとき，f (z) は z = z0 で複素微分可能で
h→0
h
あるといい，その極限値を f 0 (z0 ) で表す．
極限値 lim
例 6.7
f (z) := z = x − iy は実 2 変数函数としては明らかになめらかであるが
f (z + h) − f (z)
(z + h) − z
lim
= lim
= lim h .
h→0
h→0
h→0 h
h
h
実軸上で h → 0 とするとき (h = h) と，虚軸上で h → 0 とするとき (h = −h) とで
極限値が異なるので，上の右端の項の極限はない．ゆえに f (z) = z は，どの点でも
複素微分可能ではない．
例 6.7 によって，複素微分可能であることは，単に実 2 変数 x, y の函数としての
なめらかさとは別の要求があるようである．この辺をもう少し詳しく見てみよう．
f (z) − f (z0 )
• z0 = x0 + iy0 において， lim
が存在する
z→z0
z − z0
≥ f (z) − f (z )
¥
0
⇐⇒ ∃α ∈ C s.t. lim
−α =0
z→z0
z − z0
°
¢
⇐⇒ ∃α ∈ C s.t. f (z) = f (z0 ) + α(z − z0 ) + o z − z0
(z → z0 )．
最後の条件を，f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), α = a + ib とおいて書き直すと
(
°p
¢
u(x, y) = u(x0 , y0 ) + a(x − x0 ) − b(y − y0 ) + o (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ,
°p
¢
v(x, y) = v(x0 , y0 ) + b(x − x0 ) + a(y − y0 ) + o (x − x0 )2 + (y − y0 )2 .
ゆえに u, v は点 (x0 , y0 ) において全微分可能であって
ux (x0 , y0 ) = vy (x0 , y0 ),
uy (x0 , y0 ) = −vx (x0 , y0 ).
Ø
∂ f (z)Ø
例 6.4 より，これは
= 0 と同値である．
Ø
∂z
z=z0
定義 6.8 （Cauchy–Riemann の関係式）
≥
ux = vy , uy = −vx
または
2
¥
∂ f (z) = 0 .
∂z
定理 6.9
f (z) = u(x, y) + iv(x, y) (z = x + iy) が z = z0 = x0 + iy0 で複素微分可能
⇐⇒ u, v が (x0 , y0 ) で全微分可能であって，かつ点 (x0 , y0 ) において，
eeeeeeeeeeee
Cauchy–Riemann の関係式が成り立つ．
Ø
∂ f (z)Ø
このとき，
= ux (x0 , y0 ) + ivx (x0 , y0 ) = f 0 (z0 ) となる．
Ø
∂z
z=z0
注意 6.10
最後の主張は，例 6.4 と，f 0 (z0 ) = lim
h→0
h ∈ R で h → 0 とすることで得られる．
f (z0 + h) − f (z0 )
において，
h
定義 6.11
f (z)：領域 D で定義された函数．
def
f (z) が D で正則 (holomorphic) ⇐⇒ f (z) は D の各点で複素微分可能．
• 収束ベキ級数は収束円の内部で微分できるから，領域 D で解析的な函数は正則である．
逆に，領域 D で正則な函数が，D の各点の近傍で収束ベキ級数で表されることを後で示す．
定理 6.12
f (z)：領域 D で定義された函数．
f (z) = u(x, y) + iv(x, y) (z = x + iy) が D で正則
⇐⇒ u, v が D で全微分可能であって，Cauchy–Riemann の関係式が成り立つ．
def
注意 6.13 (1) 教科書では，f (z) が正則であることの定義に，最初から f (z) が C 1 級（ ⇐⇒
u, v が C 1 級）であるとの要請が入っている．一般に u, v が全微分可能であっても C 1 級と
は限らないが，この講義のあとの方で，f が正則ならば何回でも複素微分可能になることが
示される．ゆえに，f が正則ならば，u, v はなめらかである．
(2) 定理 6.12 の ⇐= では，u, v が単に D で偏微分可能で Cauchy–Riemann をみたすとい
うだけでは反例がある（演習問題参照）．また，Looman–Menchof の定理というのがあって，
f (z) が D で連続であって，さらに u, v が D で偏微分可能で Cauchy–Riemann の関係式を
みたせば，f (z) が D で正則になることがわかっている3．
例題 6.14
領域 D で正則な f (z) が f 0 (z) ≡ 0（恒等的に 0 ） =⇒ f (z) は定数．
解
f 0 (z) = ux (x, y) + ivx (x, y) と仮定より，ux = vx ≡ 0．Cauchy–Riemann の関
係式より，uy = −vx ≡ 0, vy = ux ≡ 0．よって u, v は定数．なぜなら，D のどの 2
点も座標軸に平行な線分からなる折れ線で結べるから（演習問題参照）．
3Looman–Menchof の定理はとても delicate である．たとえば，f
§
が 1 点 z0 ∈ D で連続で，z0 で
Cauchy–Riemann の関係式をみたしても，f は z0 で複素微分可能でない例がある（演習問題参照）．
3
例題 6.15
f (z)：領域 D で正則， f (z) = C （定数） =⇒ f = const．
解 C = 0 のときは明らかだから，C 6= 0 の時を考える．
≥
¥
°
¢
0 = ∂ f (z) 2 = ∂ f (z)f (z) = f (z) ∂ f (z) = f (z) ∂ f (z) .
∂z
∂z
∂z
∂z
最後の等号は補題 6.5 より従う．C 6= 0 なので f (z) は決して 0 にならない．ゆえに
∂ f (z) ≡ 0．定理 6.9 より f 0 (z) ≡ 0．よって例題 6.14 より f (z) は定数である．
∂z
定理 6.16
f (z) が領域 D で正則 =⇒ uxx + uyy = 0（同様に vxx + vyy = 0）．
注意 6.17
この定理では，f が正則ならば，u, v がなめらかであることを認める（現
時点では未学習であるが）．
証明 ux = vy の両辺を x で偏微分して，uxx = vyx ．同様に uy = −vx の両辺を y で偏
微分して，uyy = −vxy = −vyx ．ゆえに uxx +uyy = 0．同様にして，vxx +vyy = 0． §
定義 6.18
2
2
∆ := ∂ 2 + ∂ 2 ：Laplacian
∂x
∂y
∆g = 0 をみたす函数 g(x, y) のことを調和函数という．
• 定理 6.16 より，正則函数の実部と虚部は調和函数である．
例題 6.19
(1) u = x2 − y 2 − y は調和函数であることを示せ．
(2) u を実部に持つ正則函数 f (z) を求めよ．結果は z の函数として表すこと．
解 (1) uxx = 2，uyy = −2 より，uxx + uyy = 2 − 2 = 0．
(2) f (z) = u(x, y) + iv(x, y) (z = x + iy) とする．Cauchy–Riemann の関係式より
vx = −uy = 2y + 1, · · · · · · 1
vy = ux = 2x. · · · · · · 2
より v = (2y+1)x+C(y)（C(y) は y のみの函数）．両辺を y で偏微分して，vy = 2x+C 0 (y)．
これと 2 を比較して C 0 (y) = 0，ゆえに C(y) = C （実定数）．
これより v = (2y + 1)x + C となるから
f (z) = x2 − y 2 − y + i(2xy + x + C) = z 2 + iz + iC · · · · · · (∗)
1
（上式 (∗) において，z が現れないことに注意4）．
4(∗)
§
1
の最後の式変形が難しいという人は，x = 12 (z + z)，y = 2i
(z − z) を代入して，z のみが現
れる所だけ計算すればよい．正則函数ゆえ，z を含む項は打ち消し合って結果の式には現れないはず
だから．そしてまた，(∗) の右端の項から中辺の項へ変形して検算するのは容易である．
4

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