2年数学演習問題(離散数学の基礎) 数列の漸化式と数学的帰納法 74. ある等差数列の初項から第 n 項までの和を Sn とする. S10 = 100 , S20 = 400 のとき, S30 を求めよ. 75. 第 5 項が 100, 第 10 項が 85 の等差数列がある. (1) 第何項が初めて負の数となるか. (2) 初項から第 n 項までの和を Sn とする. Sn < 0 となる最初の n の値を求めよ. (3) Sn の最大値とそのときの n の値を求めよ. 76. 2 と 54 の間に 2 個の実数を入れて, それらが等比数列となるようにしたい. 間に入れる実数を求めよ. 77. 1 から 100 までの自然数のうち (1) 5 の倍数の和及び 7 の倍数の和を求めよ. (2) 5 または 7 の倍数の和を求めよ. (3) 5 でも 7 でも割り切れない数の和を求めよ. 78. 初項から 3 項までの和が 26, 初項から 6 項までの和が 728 である等比数列 {an } について (1) 初項 a , 公比 r を求めよ. ただし, 実数の数列とする. (2) n ∑ a2k−1 を求めよ. k=1 79. 初項が 3, 公比が 2 の等比数列において, (1) 初めて 1000 より大きくなるのは第何項か. (2) 初項から第 n 項までの和が 10000 を越えるのは第何項からか. 80. {an } , {bn } が等差数列ならば, {2an − 3bn } も等差数列であることを示せ. 81. 正の数の数列 {an } が等比数列のとき, {log10 an } はどんな数列となるか. 82. 数列 8 , a , b が等差数列をなし, 数列 a , b , 36 が等比数列をなす. このとき, a , b の値を求めよ. 83. a , b , c が等差数列をなし, a + b + c = 6 , abc = 2 であるとき, a , b , c の値を求めよ. 84. 直角三角形の3辺の長さを a , b , c とおく (ただし, a < b < c). これが等差数列をなしているとき, a : b : c を求めよ. 85. 各位の数が1である n 桁の数は, 第 n 項) を求めよ. 1 n (10 − 1) となる. これを利用して 1 + 11 + 111 + 1111 + · · · + ( 9 86. 次の問に答えよ. (1) 2進法で4桁の数「1111」を 10 進法で表せ. (2) 3進法で8桁の数「21212121」を 10 進法で表せ. 87. 自然数 n を 2 進法で表現したとき,その各位の数の積を f (n) とする.このとき, 1000 ∑ n=1 求めよ. 11 f (n) の値を 88. 次の問に答えよ. (1) 3 + 33 + 333 + 3333 + · · · + (第 n 項) の値を求めよ. (2) 上の各数が5進法表示であるときの和を求めよ. (10 進法で表す) 89. 次の和を求めよ. (1) (4) n ∑ 4k k=1 100 ∑ k=1 cos (2) kπ 2 (5) 10 ∑ k=4 n ∑ 3k (3) n ∑ (3k + 1)(2k − 3) k=1 ( k ∑ 2l−1 ) k=1 l=1 90. 次の数列の和を求めよ. (1) 12 + 42 + 72 + 102 + · · · + 282 (2) 1 · 3 + 3 · 5 + 5 · 7 + · · · + (2n − 3)(2n − 1) 91. 次の和を求めよ. (1) 1 · 3 + 3 · 4 + 5 · 5 + 7 · 6 + · · · + (第 n 項) (2) (1 + 2) + (1 + 2 + 22 ) + (1 + 2 + 22 + 23 ) + · · · + (第 n 項) 92. x = 1 とする. 等比数列の和の公式の導き方を参考にして, 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + · · · + nxn−1 を求 めよ. 93. 数列 1 1 1 1 , , , , · · · について 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 (1) 一般項 ak を k を使って表せ. (2) 初項から第 n 項までの和 Sn を求めよ. 94. 次の和を求めよ. 1 1 1 √ +√ √ +√ √ + · · · + (第 n 項) (1) 1+ 3 3+ 5 5+ 7 2 4 6 (2) 2 2 + 2 2 + 2 2 + · · · + (第 n 項) 1 ·3 3 ·5 5 ·7 95. x = 1 とする. Sn (x) = n ∑ (2k − 1)xk−1 を求めよ. k=1 96. a1 = 1 , ak+1 = ak + (k + 1) (k = 1 , 2 , 3 , · · ·) で定義される数列 {an } について (1) 一般項 an を帰納的に推測せよ. (2) 初項から第 n 項までの和を求めよ. 97. 次のように定義された数列の第 n 項 an を帰納的に推測せよ. (1) a1 = 1 , ak+1 = ak + 3k (k ≧ 1) (2) a1 = 1 , ak+1 = ak + 2 (k ≧ 1) 3 98. 初項から第 n 項までの和が Sn = n2 + 2n である数列 {an } がある. (1) 一般項 an を求めよ. (2) n ∑ (a2k )2 を求めよ. k=1 99. a1 = 1 , ak+1 = 2ak − 3 (k = 1 , 2 , 3 , · · ·) で定義される数列 {an } について, 12 (1) ak+1 − p = 2(ak − p) と変形するとき,p の値はいくらか. (2) (1) より数列 {an − p} は等比数列である.これを利用して an を求めよ. (3) 初項から第 n 項までの和 Sn = n ∑ ak を求めよ. k=1 100. 自然数 n と関数 f (x) = 2x + 4 に対して,g1 (x) = f (x) , gk+1 (x) = f (gk (x)) (k ≧ 1) として関数 g1 (x) , g2 (x) , · · · , gn (x) , · · · を作る. (1) gn (x) を帰納的に推測し,gn (x) = 2n (x + 4) − 4 となることを導け. { (2) n > 1 のとき,領域 x ≦ 0, y ≧ 0 に含まれる整数を成分とする座標 (x , y) の個数を求めよ. y ≦ gn (x) 101. 平面上に, どの2つの円をとっても互いに交わり, また, 3つ以上の円は同一の点では交わらないよ うな n 個の円がある. この n 個の円によって, 平面が an 個の部分に分割されているとする. (1) a1 , a2 , a3 を求めよ. (2) an+1 と an との間の関係式を書け. (3) an を帰納的に推測せよ. 102. 数列 3 , 5 , 9 , 17 , 33 , · · · の一般項を an ,前後の差で出来る数列(階差数列と呼ぶ)を,b1 , b2 , · · · とする. (1) bn を推測せよ. (2) an を求めよ. (3) 初項から第 n 項までの和 Sn を求めよ. 103. 任意の自然数 n に対して, n3 + 5n は 6 で割り切れることを数学的帰納法で証明せよ. 104. n を 2 以上の自然数とする. 次の等式が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ. ( )( )( ) ( ) 1 1 1 1 n+1 1− 2 1− 2 1 − 2 ··· 1 − 2 = 2 3 4 n 2n 1 k 1 , ak+1 = ak (k = 1 , 2 , 3 , · · ·) で定義される数列 {an } の一般項が an = で 2 k+2 n(n + 1) 与えられることを数学的帰納法で証明せよ. 105. a1 = 106. n を自然数, i を虚数単位とする. 次の等式が成り立つことを, 数学的帰納法によって証明せよ. (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ 107. n が 2 以上の整数のとき, x の整式 xn − nx + (n − 1) は (x − 1)2 で割り切れることを, 数学的帰納 法によって証明せよ. 108. 公比が 1 でない等比数列の初項から第 n 項までの和を S, 各項の逆数の和を T, 初項から第 n 項まで の積を P とする. このとき, 次が成り立つことを示せ. ( )n S 2 P = T 109. h を正の定数とする. 全ての自然数 n について (1 + h)n ≧ 1 + nh が成り立つことを示せ. 110. n を自然数とする. 次の不等式が成り立つことを, 数学的帰納法によって証明せよ. n √ ∑ k > n (n ≧ 2) (1) 3n+2 > 10n + 12 (2) k=1 13 ***************************** 74. 900 75. (1) 39 (2) 76 (3) 2147 , n = 38 (2) 1680 (3) 3370 88. (1) (3) 9n − 1 79. (1) 10 (2) 12 4 √ √ √ √ 83. (a , b , c) = (2 + 3 , 2 , 2 − 3) , (2 − 3 , 2 , 2 + 3) 85. 10(10n − 1) n − 92 9 10(10n − 1) n 15(5n − 1) 3n − (2) − 27 3 16 4 89. (1) √ 94. (1) (2n − 1)xn+1 − (2n + 1)xn + x + 1 (1 − x)2 97. (1) 92. 2 3n − 1 (2) 3 − n−1 2 3 102. (1) bn = 2n n(n + 1) 2n + 1 − 1 (2) 2 (2n + 1)2 96. (1) an = n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) (2) 2 6 98. (1) an = 2n + 1 (2) n(16n2 + 36n + 23) 3 100. (2) 10 · 2n − 12 (2) an+1 = an + 2n (2) an = 2n + 1 (n − 1)(4n2 − 2n − 3) 3 nxn+1 − (n + 1)xn + 1 (1 − x)2 99. (1) p = 3 (2) an = 3 − 2n (3) 3n − 2n+1 + 2 101. (1) a1 = 2 , a2 = 4 , a3 = 8 87. 9 4(4n − 1) 311 − 34 (2) 3 2 90. (1) 2845 (2) n(4n2 + 15n − 1) (2) 2n+2 − n − 4 6 2n 2 (2) 93. (1) ak = k(k + 1) n+1 95. 86. (1) 15 (2) 5740 n(4n2 − n − 11) (4) 0 (5) 2n+1 − n − 2 2 91. (1) 77. (1) 1050 , 735 78. (1) a = 2 , r = 3 (2) 82. (a , b) = (16 , 24) , (1 , −6) 84. 3 : 4 : 5 76. 6 , 18 (3) an = n2 − n + 2 (3) Sn = 2n+1 + n − 2 14
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