2年数学演習問題（離散数学の基礎）

２年数学演習問題（離散数学の基礎）
数列の漸化式と数学的帰納法
74. ある等差数列の初項から第 n 項までの和を Sn とする. S10 = 100 , S20 = 400 のとき, S30 を求めよ.
75. 第 5 項が 100, 第 10 項が 85 の等差数列がある.
(1) 第何項が初めて負の数となるか.
(2) 初項から第 n 項までの和を Sn とする. Sn < 0 となる最初の n の値を求めよ.
(3) Sn の最大値とそのときの n の値を求めよ.
76. 2 と 54 の間に 2 個の実数を入れて, それらが等比数列となるようにしたい. 間に入れる実数を求めよ.
77. 1 から 100 までの自然数のうち
(1) 5 の倍数の和及び 7 の倍数の和を求めよ.
(2) 5 または 7 の倍数の和を求めよ.
(3) 5 でも 7 でも割り切れない数の和を求めよ.
78. 初項から 3 項までの和が 26, 初項から 6 項までの和が 728 である等比数列 {an } について
(1) 初項 a , 公比 r を求めよ. ただし, 実数の数列とする.
(2)
n
∑
a2k−1 を求めよ.
k=1
79. 初項が 3, 公比が 2 の等比数列において,
(1) 初めて 1000 より大きくなるのは第何項か.
(2) 初項から第 n 項までの和が 10000 を越えるのは第何項からか.
80. {an } , {bn } が等差数列ならば, {2an − 3bn } も等差数列であることを示せ.
81. 正の数の数列 {an } が等比数列のとき, {log10 an } はどんな数列となるか.
82. 数列 8 , a , b が等差数列をなし, 数列 a , b , 36 が等比数列をなす. このとき, a , b の値を求めよ.
83. a , b , c が等差数列をなし, a + b + c = 6 , abc = 2 であるとき, a , b , c の値を求めよ.
84. 直角三角形の３辺の長さを a , b , c とおく (ただし, a < b < c). これが等差数列をなしているとき,
a : b : c を求めよ.
85. 各位の数が１である n 桁の数は,
第 n 項) を求めよ.
1 n
(10 − 1) となる. これを利用して 1 + 11 + 111 + 1111 + · · · + (
9
86. 次の問に答えよ．
(1) ２進法で４桁の数「1111」を 10 進法で表せ.
(2) ３進法で８桁の数「21212121」を 10 進法で表せ.
87. 自然数 n を 2 進法で表現したとき，その各位の数の積を f (n) とする．このとき，
1000
∑
n=1
求めよ．
11
f (n) の値を
88. 次の問に答えよ．
(1) 3 + 33 + 333 + 3333 + · · · + (第 n 項) の値を求めよ.
(2) 上の各数が５進法表示であるときの和を求めよ. （10 進法で表す）
89. 次の和を求めよ.
(1)
(4)
n
∑
4k
k=1
100
∑
k=1
cos
(2)
kπ
2
(5)
10
∑
k=4
n
∑
3k
(3)
n
∑
(3k + 1)(2k − 3)
k=1
(
k
∑
2l−1 )
k=1 l=1
90. 次の数列の和を求めよ.
(1) 12 + 42 + 72 + 102 + · · · + 282
(2) 1 · 3 + 3 · 5 + 5 · 7 + · · · + (2n − 3)(2n − 1)
91. 次の和を求めよ.
(1) 1 · 3 + 3 · 4 + 5 · 5 + 7 · 6 + · · · + (第 n 項)
(2) (1 + 2) + (1 + 2 + 22 ) + (1 + 2 + 22 + 23 ) + · · · + (第 n 項)
92. x = 1 とする. 等比数列の和の公式の導き方を参考にして, 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + · · · + nxn−1 を求
めよ.
93. 数列
1
1
1
1
,
,
,
, · · · について
1 1+2 1+2+3 1+2+3+4
(1) 一般項 ak を k を使って表せ.
(2) 初項から第 n 項までの和 Sn を求めよ.
94. 次の和を求めよ.
1
1
1
√ +√
√ +√
√ + · · · + (第 n 項)
(1)
1+ 3
3+ 5
5+ 7
2
4
6
(2) 2 2 + 2 2 + 2 2 + · · · + (第 n 項)
1 ·3
3 ·5
5 ·7
95. x = 1 とする. Sn (x) =
n
∑
(2k − 1)xk−1 を求めよ.
k=1
96. a1 = 1 , ak+1 = ak + (k + 1) (k = 1 , 2 , 3 , · · ·) で定義される数列 {an } について
(1) 一般項 an を帰納的に推測せよ.
(2) 初項から第 n 項までの和を求めよ.
97. 次のように定義された数列の第 n 項 an を帰納的に推測せよ.
(1) a1 = 1 , ak+1 = ak + 3k (k ≧ 1)
(2) a1 = 1 , ak+1 =
ak
+ 2 (k ≧ 1)
3
98. 初項から第 n 項までの和が Sn = n2 + 2n である数列 {an } がある.
(1) 一般項 an を求めよ.
(2)
n
∑
(a2k )2 を求めよ.
k=1
99. a1 = 1 , ak+1 = 2ak − 3 (k = 1 , 2 , 3 , · · ·) で定義される数列 {an } について，
12
(1) ak+1 − p = 2(ak − p) と変形するとき，p の値はいくらか.
(2) (1) より数列 {an − p} は等比数列である．これを利用して an を求めよ．
(3) 初項から第 n 項までの和 Sn =
n
∑
ak を求めよ.
k=1
100. 自然数 n と関数 f (x) = 2x + 4 に対して，g1 (x) = f (x) , gk+1 (x) = f (gk (x)) (k ≧ 1)
として関数 g1 (x) , g2 (x) , · · · , gn (x) , · · · を作る．
(1) gn (x) を帰納的に推測し，gn (x) = 2n (x + 4) − 4 となることを導け．
{
(2) n > 1 のとき，領域
x ≦ 0, y ≧ 0
に含まれる整数を成分とする座標 (x , y) の個数を求めよ．
y ≦ gn (x)
101. 平面上に, どの２つの円をとっても互いに交わり, また, ３つ以上の円は同一の点では交わらないよ
うな n 個の円がある. この n 個の円によって, 平面が an 個の部分に分割されているとする.
(1) a1 , a2 , a3 を求めよ.
(2) an+1 と an との間の関係式を書け.
(3) an を帰納的に推測せよ.
102. 数列 3 , 5 , 9 , 17 , 33 , · · · の一般項を an ，前後の差で出来る数列（階差数列と呼ぶ）を，b1 , b2 , · · ·
とする．
(1) bn を推測せよ．
(2) an を求めよ．
(3) 初項から第 n 項までの和 Sn を求めよ.
103. 任意の自然数 n に対して, n3 + 5n は 6 で割り切れることを数学的帰納法で証明せよ.
104. n を 2 以上の自然数とする. 次の等式が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ.
(
)(
)(
)
(
)
1
1
1
1
n+1
1− 2
1− 2
1 − 2 ··· 1 − 2 =
2
3
4
n
2n
1
k
1
, ak+1 =
ak (k = 1 , 2 , 3 , · · ·) で定義される数列 {an } の一般項が an =
で
2
k+2
n(n + 1)
与えられることを数学的帰納法で証明せよ.
105. a1 =
106. n を自然数, i を虚数単位とする. 次の等式が成り立つことを, 数学的帰納法によって証明せよ.
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
107. n が 2 以上の整数のとき, x の整式 xn − nx + (n − 1) は (x − 1)2 で割り切れることを, 数学的帰納
法によって証明せよ.
108. 公比が 1 でない等比数列の初項から第 n 項までの和を S, 各項の逆数の和を T, 初項から第 n 項まで
の積を P とする. このとき, 次が成り立つことを示せ.
( )n
S
2
P =
T
109. h を正の定数とする. 全ての自然数 n について (1 + h)n ≧ 1 + nh が成り立つことを示せ.
110. n を自然数とする. 次の不等式が成り立つことを, 数学的帰納法によって証明せよ.
n √
∑
k > n (n ≧ 2)
(1) 3n+2 > 10n + 12
(2)
k=1
13
*****************************
74. 900
75. (1) 39 (2) 76 (3) 2147 , n = 38
(2) 1680 (3) 3370
88. (1)
(3)
9n − 1
79. (1) 10 (2) 12
4
√
√
√
√
83. (a , b , c) = (2 + 3 , 2 , 2 − 3) , (2 − 3 , 2 , 2 + 3)
85.
10(10n − 1) n
−
92
9
10(10n − 1) n
15(5n − 1) 3n
−
(2)
−
27
3
16
4
89. (1)
√
94. (1)
(2n − 1)xn+1 − (2n + 1)xn + x + 1
(1 − x)2
97. (1)
92.
2
3n − 1
(2) 3 − n−1
2
3
102. (1) bn = 2n
n(n + 1)
2n + 1 − 1
(2)
2
(2n + 1)2
96. (1) an =
n(n + 1)
n(n + 1)(n + 2)
(2)
2
6
98. (1) an = 2n + 1 (2)
n(16n2 + 36n + 23)
3
100. (2) 10 · 2n − 12
(2) an+1 = an + 2n
(2) an = 2n + 1
(n − 1)(4n2 − 2n − 3)
3
nxn+1 − (n + 1)xn + 1
(1 − x)2
99. (1) p = 3 (2) an = 3 − 2n (3) 3n − 2n+1 + 2
101. (1) a1 = 2 , a2 = 4 , a3 = 8
87. 9
4(4n − 1)
311 − 34
(2)
3
2
90. (1) 2845 (2)
n(4n2 + 15n − 1)
(2) 2n+2 − n − 4
6
2n
2
(2)
93. (1) ak =
k(k + 1)
n+1
95.
86. (1) 15 (2) 5740
n(4n2 − n − 11)
(4) 0 (5) 2n+1 − n − 2
2
91. (1)
77. (1) 1050 , 735
78. (1) a = 2 , r = 3 (2)
82. (a , b) = (16 , 24) , (1 , −6)
84. 3 : 4 : 5
76. 6 , 18
(3) an = n2 − n + 2
(3) Sn = 2n+1 + n − 2
14

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