( ) ( ) θ

単振動の合成を巡って
■ 数学の初任者がいて，研究授業を参観した．教材は「三角
関数の合成」
．合成の公式を導き，合成できるようにした後，方
程式・不等式の解法に利用するという流れだ．
研究授業にありがちなやや欲張った指導案で，時間が足りず
に少し内容を残したものの，それなりの授業である．
■ 一緒に参観した隣席の若い同僚が「先生（私のことだ）は，
合成で cos 表示の指導ってやりますか？」と聞いてきた．
私「公式を覚えさせる指導はやらないな．cos 表示ができること
は，どこかでは指導するけど」
同僚「でも，センター試験で出たことがあって，前の職場では
指導しなくちゃと言われたことがあって」
私「ああ，あったね．あれは受験生が困ったよね．でも，私は
cos 表示が必要になったら，  から角を引かせる指導をしてい
るよ．sin，cos を変えるには角を  から引けばよいということ
を教えて置いた方が，応用の範囲が広いからね」
■
センター試験での出題は，1998 年数学 II・B
において，
「 ( ) 
cos 
1 〔2〕(3)
□
sin に対して，
( ) 
cos( 
という出題があった．
) と表せる」
また，
「sin，cos を変えるには角を  から引けばよい」とは




sin     cos , cos     sin の公式のことを指す．
これによって，次のように解けばよい．
( ) 
sin( 
) 
cos{   ( 

cos(  ) 
cos( 
)}
)
■ 会話はまだ続く．
私「例えばさ，和積公式を使いたいと思っても，sin と cos では
使えないから，どちらかに揃えて使う必要があるよね．今年の
センター試験の sin  cos  の問題があったじゃない．あれも
関数を揃えて，和積を使えば，単位円を使わずに解けるんだよ．
簡単とはいえないけどね」
同僚「へー．そうなんですか」
私「それにさ，cos 表示ってベクトルの内積でしょ」
同僚「え？？？ベクトルですか？」


私「うん．  ( , ),  (cos , sin ) という 2 つのベクトルを
 
考えるとさ， sin  cos は  だろ．成分から」
同僚「はい，ああそうですね」

私「一方さ，（メモ用紙に図をかいて）



 
 
   cos(   ) だろ」




同僚「ああー．なるほど．そうですね」

 
  
私「こういったことを生徒全員に教えて
定着させるわけに行かないけど，こんな
見方ができれば，公式を知らなくても大丈夫だよね」
■ あれもこれも「公式」として教わったのでは，生徒は覚え
きれないし使えない．できるだけ汎用性のある事項を教えてい
くことが大切なのだと言うことを，改めて思った次第である．
2012 年 2 月 11 日

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