EFGH ABCD- )AQ AP( |)AQ||AP(| ∙ - ∙ = S 2 2 2 2 + - = h h 1 0 ≤ ≤ h

第
1
問
xyz 座標空間内に点 A(0,0,0) 、B(1,0,0) 、C(1,1,0) 、D(0,1,0) 、E(0,0,1) 、
F(1,0,1) 、G(1,1,1) 、H(0,1,1) を頂点とする立方体 ABCD  EFGH がある。
対角線 AG を含む平面でこの立方体を切断するとき、その断面積 S のとり
うる値の範囲を求めよ。
断面は必ず、2 点 A 、G を含まないいずれかの辺上もしくはその端点と
共有点 P を持つ。図形の対称性よりこれが辺 BF 上にあるとして一般性を
失わない。この図形は線分 AG に対して線対称だから、このとき辺 BF に
対称な辺 DH とも共有点を持つ。これを Q とする。
このとき点 P(1,0, h) (0  h  1) とおくと、対称性より Q(0,1,1  h) である。
よって断面積 S は次のように表すことができる。
S  (| AP |  | AQ |) 2  (AP  AQ) 2
 ( 1  0  h 2  0  1  (1  h) 2 ) 2  (0  0  h(1  h)) 2
 (h 2  1)(h 2  2h  2)  (h 4  2h 3  h 2 )
2
1
3

 2h  2h  2  2 h   
2
2

2
したがって 0  h  1 の範囲では
第
3
 S  2 となる。
2
2
問
座標平面において x 座標と y 座標がともに整数である点を格子点とい
う。また、2 つの格子点を結ぶ長さ 1 の線分から両端を除いたものを格子
辺という。
(1) 点 P(360,2010) を通る直線 l : y  ax ( a は定数)が 0  x  360 の範囲
で交わる格子辺の数を求めよ。
n を 2 以上の整数とする。点 P(360,2010) を通る曲線 C : y  bx n ( b
は n により定まる定数)が 0  x  360 の範囲で交わる格子辺の数を求め
(2)
よ。
（１）１０点
l が通過する格子辺のうち、 y 軸に平行なものの数をまず数える。基本
的には l が直線 x  k (k  1,2,,359) と交わる度にこのような格子辺を
通過すると考えるが、その交点が格子点であるときは例外である。ゆえに
l が 0  x  360 の範囲で通過する格子点の数を m とすれば、l が通過する
y 軸と平行な格子辺の数は 359  m 個。
まったく同様に l が通過する x 軸と平行な格子辺の数は 2009  m 個で
ある。すなわち、求める格子辺の数は 2368  2m 個。
2010 67
なので、 l 上の点

360 12
( x, ax) は x が 12 の倍数のとき格子点となる。このような x は 0  x  360
次いで、 m の値を求める。条件より、 a 
の範囲には 29 個あるから m  29 である。これを先の式に代入したものが
交わる格子辺の数である。
2368  2  29  2310 本
（２）１０点
(1)と同様に、C が 0  x  360 の範囲で通過する格子点の数を m 個とす
るれば、 C が通過する格子辺の数は 2368  2m 個。以下 m を求める。
まず b を求める。C は (360,2010) を通るから、 y  bx に代入した等式
n
が成り立つ。これより b を得る。
2010  b  360 n  2  3  5  67  b(23  32  5) n
67
2
 32 n 1  5 n 1
3
2
n
よって、C 上の点 ( x, bx ) は x が 2  3  5  360 の倍数のとき格子点とな
るが、このような x は 0  x  360 には存在しないから m  0 である。これ
b
3 n 1
を先の式に代入したものが交わる格子辺の数である。
2368  2  0  2368 本
3
第
問
A と B の 2 人があるゲームを複数回行う。このゲームにおいて A の勝
つ確率は p (0  p  1) であり、B の勝つ確率は 1  p である。すなわち引
き分けはない。毎回ゲームの勝者に 1 点ずつ与えていき、点差が 2 点にな
った時点でゲームを終了する。 n 回以内にゲームが終了し、かつ終了した
時点で A の方が点数が高い確率を P(n) とする。ただし n を自然数とする。
(1)
P(n) を求めよ。
(2) 極限値 lim P(n) を計算せよ。
n 
（１）１４点
まずは n 回目にゲームが終了し、かつ終了した時点で A の方が点数が高
い確率 p(n) を求める。このときの点差の推移は次のようになる。
0
1
0


0

1

0

1
2


1
0

n回
ここで点差の推移に伴う確率を求めておく。
1° 0  1  0 と推移する確率について
A、B の順に勝つか、B、A の順に勝つかの 2 通りなので、確率は次の
ようになる。
p(1  p)  (1  p) p  2 p(1  p)
2° 0  1  2 と推移する確率について
2
A が 2 連勝すればよく、確率は p となる。
以上より p(n) は次のようになる。
ⅰ) n  2m と表せるとき
p(n)  {2 p(1  p)} p  {2 p(1  p)}
n  2m  1 と表せるとき
p(n)  0
m1
ⅱ)
2
n
1
2
p2
これより P(n) が計算できる。
ⅰ)
n  2m  1 と表せるとき
P(n)  p(2)  p(4)    p(2m  2)
 {2 p(1  p)}0 p 2  {2 p(1  p)}1 p 2    {2 p(1  p)}m2 p 2
p 2  {2 p(1  p)}m1 p 2
p 2  {2 p(1  p)}( n1) / 2 p 2

1  {2 p(1  p)}
1  {2 p(1  p)}
この議論は n  3 のときに限った話だが、上式に n  1を代入したものは
P(1)  0 と一致するので、まとめてこれを答えとしてよい。
ⅱ) n  2m と表せるとき
P(n)  p(2)  p(4)    p(2m)
 {2 p(1  p)}0 p 2  {2 p(1  p)}1 p 2    {2 p(1  p)}m1 p 2


p 2  {2 p(1  p)}m p 2
p 2  {2 p(1  p)}n / 2 p 2

1  {2 p(1  p)}
1  {2 p(1  p)}
（２）６点
まず 0  2 p(1  p)  1 であることを示す。
2
1
1

2 p(1  p)  2 p  2 p  2 p   
2
2

2
よって 0  p  1 の範囲では確かに 0  2 p(1  p)  1 である。これに注意す
れば、 P(2m  1) 、 P(2m) の極限が求まる。
P(2m  1) 
p 2  {2 p(1  p)}m1 p 2
p2
n



1  {2 p(1  p)}
1  {2 p(1  p)}
m 
p 2  {2 p(1  p)}m p 2
p2
n



1  {2 p(1  p)}
1  {2 p(1  p)}
m 
両者の極限が一致したので、 P(n) は n   で収束し、その値は次のよう
P(2m) 
になる。
p2
lim P(n) 
n 
1  {2 p(1  p)}
第
4
問
xyz 座標空間内に母線の長さが 2、底面が半径 1 の円である円錐を、頂
点が原点と重なるように xy 平面上に置く。この円錐を頂点が原点から動か
ないように xy 平面上を転がすとき、円錐が通過し得る領域を D とする。
この領域 D の体積を求めよ。
まず平面 z  k (0  k  3 ) で領域 D を切断したときの断面積 S (k ) を
求める。上図のように y 軸が母線と一致するときを考え、各点を図中のよ
うに名前を付ける。このとき回転体の断面は次図のようになる。
すなわち内径を FG 、外径を CG とするドーナツ型である。以下、FG 、CG
の長さを求めるため、 F 、 C の座標を求めていく。
1° C について
x 軸正方向から見た図を考えれば、 C の y 、 z 座標は E のそれに等し
い。したがってまず E の座標を求める。 E は線分 OA を内分する点であ
る。そこで A の座標が必要。三角形 OABは一辺の長さが 2 の正三角形
であることに注意すれば A(0,1, 3 ) である。 E は OB を k : 3  k に内


, k  である。
3 

次に C の x 座標を求める。これを c (c  0) とおけば CI  1 なる条件か
らこれが求まる。したがって I の座標が必要。これは線分 AB の中点だ
 3 3

から I 0, ,
 2 2  となる。これより c および C の座標が求まる。


分するから E の座標は E 0,2 
k
2


k
3  3
c   2 
   
 k   1  c 
3 2  2


 4

k
 C
( 3k  k 2 ) ,2 
, k 
3 
 3
2
2
2°
4
( 3k  k 2 )
3
F について
 k

, k  と
E と同様に、線分 OA を k : 3  k に内分する点なので F 0,
3 

なる。
以上 1°2°より S (k ) が求まる。
2
2
S (k )   (CG  FG )
2
2


k   k  
4 
 4


2 
   ( 3k  k )    2 
  
     4  k 2 
3 
3  3 
 


 3

これを区間 [0, 3 ] で積分すれば求める答えとなる。
3
4 2
4 3



   4  3 k dk   4k  9 k 
0 


0
3
4  8 3


 4 3 
3 
3
3 

第
5
問
4 点 A(1,1) 、 B(1,1) 、 C(1,1) 、 D(1,1) を頂点とする正方形 T に対
し、次の性質(A)を持つ点全体のなす領域を求め、図示せよ。
性質(A)：
その点を中心とする円で、T の辺と 8 つの共有点を持つ
円が存在する。
性質(A)が 3 つの直線 x  0 、 y  0 および y  x に対して線対称な条件
であるから、求める領域も両軸に対して線対称となる。よってこの領域の
うち 0  x  y を満たす部分を W とすると、W を先の 3 つの直線に対して
折り返すことで領域全体が得られる。そこでまず W を求める。
円の中心を P( x, y ) (0  x  y) とおき円の半径を r とする。この円が正
方形 T と 8 点で交わるためには半径 r が、4 辺 AB 、 BC 、 CD 、 DA と
点 P の距離のどれよりも大きく、かつ 4 つの頂点 A 、B 、C 、D と点 P の
距離のどれよりも小さければよい。点 P が領域 0  x  y に含まれている
ならば、4 辺 AB 、BC 、CD 、DA と点 P の距離のうち最大のものは辺 CD
との距離である。4 つの頂点 A 、 B 、 C 、 D と点 P の距離のうち最小の
ものは点 A との距離である。これに注意して条件を数式化すれば、次のよ
うになる。

r  y  1
0 x  y

2
2

r  ( x  1)  ( y  1)
r は適当な正の実数としてよいから、領域 W の方程式は上の条件式を満た
す正の実数 r が存在することである。

r  y  1
r , 
0 x  yr  0
2
2
r

(
x

1
)

(
y

1
)


 r , y  1  r  ( x  1) 2  ( y  1) 2  0  x  y  r  0
 y  1  ( x  1) 2  ( y  1) 2  0  x  y
 ( y  1) 2  ( x  1) 2  ( y  1) 2  0  x  y
 y
1
( x  1) 2  0  x  y
4
これを xy 平面に図示すると次図斜線部のようになる。
よってこれを両軸に対して折り返せば求める領域となる。
6
第
問
a を実数とし、 x の 3 次方程式 9 x  9ax 2  7 x  2a  0 を考える。
(1) この 3 次方程式が異なる実数解を 3 つもつための a の条件を求めよ。
(2) (1)の条件のもと、3 つの実数解を  、  、  と名付ける。このとき
3
無限級数



n 1
n 1
n 1
  n 、   n 、   n が全て収束するための a の条件を求め
よ。
(3) (1)の条件のもと、(2)と同様に  、  、  を定めるとき、無限級数

S   ( n   n   n ) が収束するための a の条件と、そのときの収束
n 1
値を求めよ。
（１）６点
9 x 2  2  0 に注意して 3 次方程式を変形すると以下のようになる。
9 x 3  9ax 2  7 x  2a  0  a 
9x 3  7x
9x 2  2
これより題の実数解は、2 つのグラフ y 
9x3  7x
(  f (x) とおく)と
9x 2  2
y  a の交点の x 座標とみなせる。したがってこの 2 つが共有点を 3 つ持
つ a の条件を求めればよい。そこで f (x) の増減を調べる。
f ( x) 

(27 x 2  7)(9 x 2  2)  (9 x 3  7 x)  18 x
(9 x 2  2) 2
(3x  1)(3x  1)(9 x 2  14)
(9 x 2  2) 2
これより増減表は以下のようになる。
x

f (x)


0

f (x)
1
3
2
3

1
3


0

2
3
よって y  f (x) のグラフは次図のようになる。
したがって 2 つのグラフ y  f (x) 、 y  a が共有点を 3 つもつためには
y  a が図の網かけ部に含まれればよい。以上より求める条件は

2
2
 a  である。
3
3
（２）４点



n 1
n 1
n 1
  n 、  n 、   n はそれぞれ公比  、  、 の無限等比数列であ
るので、これらが収束する必要十分条件は  、  、 の絶対値が 1 未満と
なることである。つまり、 y  f (x) のグラフと y  a のグラフが
 1  x  1 の範囲で 3 つの交点を持てばよい。f (1) 
2
2
、f (1)   に
11
11
注意すると、下図の網かけ部に y  a のグラフが含まれることが求める条
件である。
これより求める条件は 
2
2
 a  となる。
11
11
（３）１０点
まず、無限級数 S が収束するための条件は 
示す。(2)より 

2
2
 a  のとき S が収束することは明らかなので、
11
11
2
2 2
2
 a   ,  a  のときに S が収束しないことを示せばよい。背
3
11 11
3
2
2 2
2
 a   ,  a  のときに S が収束すると仮定する。
3
11 11
3
理法で示す。

2
2
 a  であることを
11
11
2
2 2
2
 a   ,  a  であることから、(2)より  、  、  のいずれ
3
11 11
3
かの絶対値が 1 以上である。
いずれの場合も 
2n
  2n   2n は n   で 0
に収束しえない。
|  | 1 のとき  2n   2n   2n  ( 2 ) n  1n  1
|  | 1 のとき  2n   2n   2n  ( 2 ) n  1n  1
|  | 1のとき  2n   2n   2n  ( 2 ) n  1n  1

一方、
 (
n
  n   n ) が S に収束することより、以下が成り立つ。
n 1
2n
2 n 1
k 1
k 1
 2n   2n   2n   ( k   k   k )   ( k   k   k )
n
 S  S  0

これらは矛盾している。よって示された。
この条件が満たされるとき、無限級数の公式を用いると S は  、  、
を用いて以下のように表される。





1 1  1 
n 1
(     )  2(     )  3

1  (     )  (     )  

 (
n
  n  n) 
ここで 9 x  9ax  7 x  2a  0 の解と係数の関係より、以下が成り立つ。
3
2
7
9
2
9
      a            a
これらを代入すれば、 S の具体値が求まる。

S   ( n   n   n ) 
n 1
15a  14
 11a  2

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