2010 近畿大学医学部（推薦）解答 20121114

近畿大学医学数学（推薦）2010 を解いてみた
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１
(1)
赤色である確率 =
x 1
=
72 9
黄色である確率 =
y 1
=
72 4
より， x = 8 ， y = 18
これと x + y + z = 36 より， z = 10
よって，白色である確率 =
10 5
=
72 36
・・・ア
(2)
a+b+c+d +e+ f =
ウ
1
9
エ
1
4
1+ 6
´ 6 = 21
2
・・・イ
5
36
オ
a + b = P ， c + d = Q ， e + f = R とおくと，
P + Q + R = 21
・・・①
4 P + 9Q + 5R = 144
3 £ P, Q, R £ 11
・・・②
・・・③
1
5
æ 1
ö
R = 4÷
ç P + Q +
4
36
è 9
ø
(1 + 2 £ P, Q, R £ 5 + 6)
①より，
P = 21 - R - Q
これを②に代入すると，
4(21 - R - Q ) + 9Q + 5 R = 144
R = 60 - 5Q
③より，
3 £ R £ 11 だから，
3 £ 60 - 5Q £ 11
よって，
(Q, R ) = (10,10 ), (11,5)
(Q, R ) = (10,10 ) のとき，
P = 21 - 10 - 10 = 1 より不適
(Q, R ) = (11,5) のとき，
P = 21 - 11 - 5 = 5
1
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よって，
P=a+b=5
・・・カ
Q = c + d = 11
・・・キ
R=e+ f =5
・・・ク
(3)
c + d = 11 ， c < d より， c = 5 ， d = 6
a < b ， a < e < f より， a = 1
a + b = 5 より， b = 4
e < f ， e + f = 5 より， e = 2 ， f = 3
よって，
(a, b, c, d , e, f ) = (1,4,5,6,2,3)
・・・ケ
(4)
すべてのカードを区別すると，
取り出したカードの全組み合わせの場合の数は， 72 C 2 = 36 × 71
数字の和が 10 となる組み合わせは， (5,5) と (4,6 ) の場合があり，
(5,5) の場合の数＝ c 18 枚のうちから 2 枚を選ぶ場合の数＝ 18 C 2 = 9 × 17
(4,6 ) の場合の数＝ b 8 枚，d 18 枚のうちからそれぞれ 1 枚を選ぶ場合の数＝ 8 C1 ×18 C1 = 8 × 18
よって，
数字の和が 10 となる場合の数＝ 9 × 17 + 8 × 18 = 9(17 + 16 ) = 9 × 33
よって，
求める確率＝
9 × 33
33
=
36 × 71 284
・・・コ
2
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２
(1)
正三角形 OAC について，
OA = a 2 cos 2 a + a 2 sin 2 a + p 2 = a 2 + p 2
これと OA = OC = 2 より，
a2 + p2 = 4
・・・①
また，
p
=2
3
・・・②
æ a cos a ö æ 0 ö
ç
÷ ç ÷
OA × OC = ç a sin a ÷ × ç 0 ÷ = 2 p
ç
÷ ç ÷
èp
ø è 2ø
・・・③
OA × OC = OA × OC cos
②，③より， p = 1
①および a > 0 より， a = 3
正三角形 OBC についても同様にして，
q = 1， b = 3
以上より， (a, b, p, q ) =
(2)
(
( 3,
)
)
3 ,1,1
・・・（答）
(
)
A 3 cos a , 3 sin a ,1 ， B 3 cos b , 3 sin b ,1 より，
æ 3 (cos b - cos a )ö
÷
ç
AB = ç 3 (sin b - sin a ) ÷
÷
ç
0
÷
ç
ø
è
・・・
（答）
æ 3 cos a ö æ 3 cos b ö
÷
ç
÷ ç
OA × OB = ç 3 sin a ÷ × ç 3 sin b ÷
÷
ç
÷ ç
1
1
÷
ç
÷ ç
ø
è
ø è
= 3 cos a × cos b + 3 sin a × sin b + 1
= 3 cos(b - a ) + 1
これと OA × OB = OA × OB cos
p
1
= 2 より， cos(b - a ) =
3
3
3
・・・（答）
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別解
2
AB =
( 3 cos a -
3 cos b
) + ( 3 sin a 2
3 sin b
)
2
+ (1 - 1)2
= 6 - 6(cos a cos b + sin a sin b )
= 6 - 6 cos(b - a )
AB = 2 より， 6 - 6 cos(b - a ) = 4
よって， cos(b - a ) =
1
3
(3)
P は三角形 OAC の重心だから，
æ 0 + 3 cos a + 0 0 + 3 sin a + 0 0 + 1 + 2 ö æ 3 cos a 3 sin a
÷=ç
Pç
,
,
,
ç
÷ ç
3
3
3
3
3
è
ø è
æ1 3 ö
3
1
p
・・・（答）
Pç ,
,1÷ より， cos a =
， sin a = ， a =
ç2 6 ÷
2
2
6
è
ø
補足
ö
,1÷
÷
ø
P が重心であることの証明
△BOP，△BAP，△BCP について，
BP 共通，BO＝BA＝BC，∠BPO＝∠BPA＝∠BPC＝90°より，△BOP≡△BAP≡△BCP
よって，OP＝AP＝CP
これと△OAC が正三角形であることより，その性質から，P は△OAC の重心である。
(4)
1
p
3
1
1
cos(b - a ) = ， a = より，
cos b + sin b =
3
6
2
2
3
\ cos 2 b =
4 4
1
- sin b + sin 2 b
27 9
3
\ 36 sin 2 b - 12 sin b - 23 = 0
ここで， a =
\1 - sin 2 b =
\ sin b =
4 4
1
- sin b + sin 2 b
27 9
3
6 ± 12 6 1 ± 2 6
=
36
6
p
< b < p より， sin b > 0
6
したがって，
2
2
æ 3
ö
æ1 1
ö
\ç
cos b ÷ = ç - sin b ÷
ç
÷
è3 2
ø
è 2
ø
よって， sin b =
1+ 2 6
6
3
1 1
1 1+ 2 6 3- 2 6
cos b = - sin b = =
2
3 2
3
12
12
以上より，
æ3-2 6 3 + 6 2 ö
Bç
,1÷
,
ç
÷
6
6
è
ø
・・・
（答）
4
\ cos b =
3-2 2
6
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３
(1)
f (x ) =
ò
x -2
2
x -2
(- t + 1)dt = éê- 1 t 2 + t ùú
ë 2
û2
=-
1
(x - 2 )2 + x - 2
2
x ³ 2 のとき，
f (x ) = -
1
(x - 2 )2 + x - 2 = - 1 x 2 + 3 x - 4
2
2
x £ 2 のとき，
f (x ) = -
1
( x - 2 )2 - x + 2 = - 1 x 2 + x
2
2
(2)
ì
ïïf (x ) = í
ïîï
1 2
ì
x + 3x - 4　(2 £ x )
ïï2
より， f (x ) = í
1 2
ïx + x　(x £ 2)
ïî
2
1
(x - 3)2 + 1 (2 £ x )
2
2
1
(x - 1)2 + 1 (x £ 2 )
2
2
これを図示すると，次のページのグラフとなる。
よって，
x = 1 ，3 のとき f (x ) は最大値
1
をとる。
2
(3)
グラフより， x 軸との共有点は 3 個あり，その x 座標は， x = 0 ，2，4
(4)
次のページ
5
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y
1
2
O
2
1
6
3
4
x
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(5)
y = a (x + 1) より， y = ax + a は定点 (- 1,0 ) を通る傾き a の直線である。
y = ax + a が f (x ) = -
このとき， -
1 2
x +x
2
(x £ 2) と接するとき，曲線 C との共有点の数は 1
1 2
x + x = ax + a は重解をもつから， x 2 + 2(a - 1)x + 2a = 0 より，
2
判別式を D とすると，
D
= (a - 1)2 - 2a = a 2 - 4 a + 1 = 0
4
\a = 2 ± 3
また，曲線 C との共有点の数が 0 となるのは，この判別式の値が負のときだから，
2- 3<a<2+ 3
さらに， a > 2 + 3 のとき判別式と解と係数の関係より，
y = ax + a と f (x ) = -
1 2
x + x は， x < 0 を満たす異なる 2 点で交わる。
2
よって，このとき曲線 C との共有点の数は 2
y
a=2+ 3
2- 3<a<2+ 3
a=2- 3
-1
O
2
7
x
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y = ax + a が f (x ) = -
このとき， -
1 2
x + 3x - 4
2
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(x ³ 2) と接するとき，曲線 C との共有点の数は 3
1 2
x + 3 x - 4 = ax + a (x ³ 2 ) は重解をもつから，
2
x 2 + 2(a - 3)x + 2a + 8 = 0 の判別式を D ' とすると，
D'
= (a - 3)2 - 2a - 8 = a 2 - 8a + 1 = 0
4
\a = 4 ± 15
・・・①
一方， x 2 + 2(a - 3)x + 2a + 8 = 0 の重解を a とすると，
解と係数の関係より 2a = -2(a - 3) a = - a + 3
a > 2 より， -a + 3 > 2
\a <1
・・・②
①，②より， a = 4 - 15
また， 4 - 15 < a < 2 - 3 のとき，曲線 C との共有点の数は 2
y
-1
a = 4 - 15
O
2
8
x
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0 < a < 4 - 15 のとき，
曲線 C との共有点の数は 4
a = 0 のとき，
曲線 C との共有点の数は 3
a < 0 のとき，
曲線 C との共有点の数は 2
y
-1
O
2
以上より，
共有点の数＝0： 2 - 3 < a < 2 + 3
共有点の数＝1： a = 2 ± 3
共有点の数＝2： 4 - 15 < a < 2 - 3 ， a < 0 ， a > 2 + 3
共有点の数＝3： a = 4 - 15 ， a = 0
共有点の数＝4： 0 < a < 4 - 15
9
x

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