http://toitemita.sakura.ne.jp 木村の数学小ネタ三角形の内心のベクトルの求め方三角形 ABC の内心を I，辺 BC,CA,AB の長さを a, b, c とする。求め方 1：内角の 2 等分線の性質を利用 A b c I B C D a 直線 AI と辺 BC の交点を D とすると，AI は∠BAC の二等分線だから， BD：DC＝AB：AC＝c：b よって， AD = b c ca AB + AC ，BD＝ b+c b+c b+c BI は∠ABC の二等分線だから，AI：ID＝BA：BD これと BD＝ ca ca より，AI：ID＝c：＝ b + c ：a b+c b+c よって，AI＝これと AD = AI = b+c AD a+b+c \ AI = b+c AD a+b+c b c AB + AC より， b+c b+c b c AB + AC a+b+c a+b+c また，A,B,C とは異なる点 O を定点にとると， OI = a b c OA + OB + OC a+b+c a+b+c a+b+c 1 http://toitemita.sakura.ne.jp 木村の数学小ネタ求め方 2：2 等分線を単位ベクトルを用いて表すことを利用 A b c I B C a AB の単位ベクトルを AB' ， AC の単位ベクトルを AC' とすると， AB' ＝ AB AC ， AC ＝ c b ∠BAC の二等分線は線分 B’C’の中点 M を通るから， ∠BAC の二等分線のベクトル AI は正の実数 k を用いて， æ AB AC ö ÷ と表せる。 + AI ＝ 2k AM ＝ k ç ç c ÷ b è ø \ AI = k k AB + AC c b æ BA BC ö ÷ （ l は正の実数）より， + 同様にして， BI = l ç ç c ÷ a è ø AI = AB + BI æ AB BC ö ÷ = AB + l ç + ÷ ç c a ø è lö l æ = ç1 - ÷AB + BC cø a è æ = ç1 è ( ) lö l ÷AB + AC - AB cø a l lö l æ = ç1 - - ÷AB + AC a c a è ø ・・・② 2 ・・・① http://toitemita.sakura.ne.jp 木村の数学小ネタ l l ìk ïï c = 1 - a - c ①，②より， í ïk = l îï b a \k = bc a+b+c これを①に代入すると， AI = b c AB + AC a+b+c a+b+c また，A,B,C とは異なる点 O を定点にとると， OI = a b c OA + OB + OC a+b+c a+b+c a+b+c 3 http://toitemita.sakura.ne.jp 木村の数学小ネタ求め方 3：面積比を利用 A b c I B C D a 内接円の半径を r とすると，△IBC：△ICA：△IAB＝ ar br cr ：：＝a：b：c 2 2 2 \ △ABC：△IBC＝ a + b + c ：a ここで，辺 BC を共通底辺とすると，△ABC：△IBC＝AD：ID よって，AD：ID＝ a + b + c ：a これと AD = AI = \ AD：AI＝ a + b + c ： b + c b c AB + AC より， b+c b+c b c AB + AC a+b+c a+b+c また，A,B,C とは異なる点 O を定点にとると， OI = a b c OA + OB + OC a+b+c a+b+c a+b+c 4 \ AI = b+c AD a+b+c