ベクトルを用いた解法とメネラウスの定理を用いた解法の比較 20150325

http://toitemita.sakura.ne.jp
木村の数学小ネタ
ベクトルを用いた解法とメネラウスの定理を用いた解法の比較
問題
平行四辺形 ABCD において，辺 AB を 1：1 に内分する点を E，辺 BC を 2：1 に内分する
点を F，辺 CD を 3：1 に内分する点を G とする。線分 CE と線分 FG の交点を P とし，線
分 AP を延長した直線と辺 BC の交点を Q とするとき，比 AP：PQ を求めよ。
（2013 京大文理共通）
1
http://toitemita.sakura.ne.jp
木村の数学小ネタ
ベクトルを用いた解法

d
A
D
G
E

b
P
B
Q
F
C


AB = b , AD = d とすると，
条件より， AE =
 2
 
1 
1
b , AF = b + c , AC = b + d , AG = b + d
4
3
2
よって，EP：PC＝ s ： 1 - s ，FP：PG＝ t ： 1 - t （ s, t は実数）とすると，
AP は，
(1 - s )AE + s AC = (1 - s ) × 1 b + s(b + d )



2

1+ s 
=
b + sd
2
または




(1 - t )AF + t AG = (1 - t )æç b + 2 d ö÷ + t æç 1 b + d ö÷
3 ø è4
è

4 - 3t
2+t 
b+
d
=
4
3
ø
と表される。


1 + s 4 - 3t
2+t
=
かつ s =
これと b と d は 1 次独立であることから，
2
4
3
これを解くと， s =
よって， s =
2
8
,t=
11
11

8
1+ s 
19  8 
b + sd に代入することにより， AP =
b+ d
を AP =
11
22
11
2
2
http://toitemita.sakura.ne.jp
木村の数学小ネタ
したがって， AQ = k AP （ k は実数）とすると，
19k  8k 
b+
d ・・・①
AQ =
22
11
また，Q は直線 BC 上の点だから，


AQ = AB + u BC = b + ud （ u は実数）・・・②
とも表せる。
①，②より，
8k
19k
= 1,
=u
11
22
これを解くと， k =
よって， AQ =
16
22
,u=
19
19
22
AP
19
ゆえに，AP：PQ＝19：3
3
http://toitemita.sakura.ne.jp
木村の数学小ネタ
メネラウスの定理を用いた解法
A
D
G
E
P
B
F Q
C
R
△ABQ と線分 EC について
メネラウスの定理より，
ここで，条件より
EB CQ PA
×
×
=1
AE BC QP
CQ PA
EB
×
=1
= 1 だから，
BQ QP
AE
\
AP BC
=
PQ QC
・・・①
△EBC と線分 AQ について
メネラウスの定理より，
ここで，条件より
AB QC PE
×
×
=1
EA BQ CP
QC PE 1
AB
×
=
= 2 だから，
BQ CP 2
EA
4
\
BQ
PE
= 2×
QC
CP
・・・②
http://toitemita.sakura.ne.jp
木村の数学小ネタ
直線 AB と直線 GF の交点を R とすると，
△EBC と線分 PR について
メネラウスの定理より，
RB FC PE
×
×
=1
ER BF CP
・・・③
ここで，
条件より，
FC 1
=
BF 2
・・・④
△GFC∽△RFB（証明略）で，
また，条件より，
よって，
GC 3
=
EB 2
RB RB GC
=
×
=3
EB GC EB
④と⑤を③に代入すると，
これと②より，
RB FB
=
=2
GC FC
\
RB 3
=
ER 4
・・・⑤
3 1 PE
PE 8
× ×
= 1 すなわち
=
4 2 CP
CP 3
BQ 16
BC 19
= すなわち
=
QC 3
QC 3
ゆえに，①より，
AP 19
=
すなわち AP：PQ＝19：3
PQ 3
5
http://toitemita.sakura.ne.jp
木村の数学小ネタ
三角形 ABC の辺を AB，BC，CA と表し，
それぞれの辺の内分点・外分点を P，Q，R とすると，
比の取り方は下表となる。
辺
内分点・外分点比の取り方
AB
P
AP/PB
BC
Q
BQ/QC
CA
R
CR/RA
すると，メネラウスの定理の式とチェバの定理の式は，
‫ ۾ۯ‬۰‫ ۿ‬۱‫܀‬
´
´
‫۾‬۰ ‫ۿ‬۱ ‫ۯ܀‬
=1
と統一できる。
後は，
外分点の数が偶数のときは，
「チェバの定理より～」
外分点の数が奇数のときは，
「メネラウスの定理より～」
とすればよい。
A
P
R
B
Q
C
6

Download Report