4STEP 数学 B（新課程）を解いてみた
空間のベクトル 6
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ベクトルと図形
120

a

b
Q
O
B
P
T

c
D
A
F
C
S
E
G
R
(1)
PQ = OQ - OP
1 1
= b - a
2
2
RS = OS - OR
1
1
æ
ö æ
ö
= ç OC + CF + FG ÷ - ç OC + CE + EG ÷
2
2
è
ø è
ø
1
1
æ
ö æ
ö
= ç OC + OB + OA ÷ - ç OC + OA + OB ÷
2
2
è
ø è
ø


1 ö æ   1 ö
æ
= çc + b + a ÷ - çc + a + b ÷
2 ø è
2 ø
è

1
1
= b- a
2
2
より， PQ = RS
よって，PQ//RS
(2)
TH = OH - OT
  
a+b +c 1 
- c
=
3
2
1 æ   1 ö
= ç a + b - c ÷
3è
2 ø
1
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TD = OD - OT
  1
= a + b - c
2
よって， TD = 3TH
ゆえに，3 点 T, D, H は一直線上にあり，TH：HD＝1：2 である。
121
O
M
L

a

c

b
A
C
S
R
B
N
2
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(1)
O
L

a

b
A
R
B
N
△OAB と線分 LN について，メネラウスの定理より，
条件より，
OL
BN 1
AR
=1，
= だから，
=2
LA
NO 2
RB
よって，点 R は AB を 2：1 に内分する点である。
ゆえに， OR =
1 2
a+ b
3
3
・・・①
3
OL AR BN
×
×
=1
LA RB NO
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O
M

c

b
C
S
B
N
△OBC と線分 NM について，メネラウスの定理より，
条件より，
ON
CM
BS 1
=2，
= 1 だから，
=
NB
MO
SR 2
よって，点 S は BC を 1：2 に内分する点である。
ゆえに， OS =
2 1
b+ c
3
3
4
ON BS CM
×
×
=1
NB SR MO
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(2)
1 1
c- a
2
2
1  
= (c - a )
2
LM =
æ 2  1 ö æ 1  2 ö
RS = ç b + c ÷ - ç a + b ÷
3 ø è3
3 ø
è3
1  
= (c - a )
3
よって， LM =
3
RS
2
ゆえに，RS//LM
122
(
)
1
OM + OQ
2
1 æ 1  1  2 ö
= ç a + b + c ÷
2è2
3
3 ø

1 1
1
= a + b + c
4
6
3
点 P は平面 ABC 上の点だから，適当な実数を s,t とすると，
OR =
OP = OA + AP
= OA + s AB + t AC
(
) (
= OA + s OB - OA + t OC - OA
)
= (1 - s - t )OA + s OB + t OC
 

= (1 - s - t )a + sb + tb
また，適当な実数を k とすると， OP = k OR より，
k  k  k 
OP = a + b + c ・・・①
4
6
3
よって，
1- s - t =
k
4
・・・②，
s=
k
6
・・・③， t =
②＋③＋④より， 1 =
3
k
4
これと①より， OR =
1 2 4
a+ b+ c
3
9
9
\k =
4
3
5
k
3
・・・④
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O
M
R
C
Q
A
P
B
6
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123



OA = a ， OB = b ， OC = c とすると，
1 1 1
OG = a + b + c
3
3
3
点 H は平面 MBC 上の点だから，適当な実数を s,t とすると，
OH = OM + s MB + t MC
 
= (1 - s - t )OM + sb + tc
 
1- s - t 
a + sb + tc
=
2
また，適当な実数を k とすると， OH = k OG より， OH =
よって，
1- s - t k
=
2
3
①×2＋②＋③＝1 より， 1 =
ゆえに， OH =
s=
k
3
\k =
3
4
・・・①，
4
k
3
・・・②，
k  k  k
a+ b+ c
3
3
3
t=
3
OG
4
すなわち OH：OG＝3：4
O
M
C
H
A
G
B
7
k
3
・・・③
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124

OC = c とすると，
CG = OG - OC
1
= OP + OQ + OR - OC
3
1 æ 1  2  3 ö 
= ç a + b + c ÷ - c
3è2
3
4 ø

1 2
3
= a + b - c
6
9
4
(
)
また，適当な実数を k とすると， CH = k CG より，
OH = OC + k CG

æ 1  2  3 ö
= c + k ç a + b - c ÷
9
4 ø
è6

3 ö
k  2k
æ
b + ç1 - k ÷c
= a +
4 ø
6
9
è
また，点 H は平面 OAB 上の点だから，適当な実数を s,t とすると，
OH = s OA + t OB
 
= sa + tb
よって，
k
=s
6
・・・①
①，②，③より， k =
ゆえに， OH =
2
k =t
9
・・・②
4
2
8
, s= , t=
3
9
27
2
8
OA +
OB
9
27
8
1-
3
k =0
4
・・・③
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O
P
R
H
G
C
Q
A
B
9
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125
A
N
K
P
D
Q
B
M
L
C
(1)



AB = b ， AC = c ， AD = d とすると，
(
1
1
1
1  
AC = c ・・・① KN = BD = d - b
2
2
2
2


c+d 1  1 1  
- b = c + b -d
また， KM = AM - AK =
・・・③
2
2
2
2
中点連結定理より， KL =
(
)
①，②，③より， KM = KL - KN
よって，M は点 K, L, N で定められる平面上の点である。
すなわち 4 点 K, L, N, N は同じ平面上にある。
10
)
・・・②
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(2)
BQ = BA + AQ
= -AB + AQ
BQ = k BD
= k AD - k AB
より，
AQ = (1 - k )AB + k AD
あるいは，
条件より，点 Q は辺 BD を k ： 1 - k に内分する点であるから，
AQ = (1 - k )AB + k AD
(3)
KR =
=
=
=
=
(
(
(
)
1
KP + KQ
2
1
AP - AK + AQ - AK
2
1
AP + AQ - 2AK
2
1
1ì
ü
íh AC + (1 - k )AB + k AD - 2 × ABý
2
2î
þ
1
hAC + k AD - AB
2
)
)
{
= h ×
(
)}
AC
BD
+k×
2
2
= h KL + k KN
よって，点 R は点 K, L, N で定められる平面上，すなわち(1)で決まる平面上にある。
11
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126
(
)
PA × BC = HA - HP × BC
= HA × BC - HP × BC
条件より，HA⊥BC，HP⊥BC だから， HA × BC = 0 ， HP × BC = 0
よって， PA × BC = 0
すなわち PA⊥BC
127
(1)
各面は互いに合同かつ正三角形だから， AB = AC = AD = l とすると，
AB × AC = l 2 cos 60° ， AC × AD = l 2 cos 60° ， AD × AB = l 2 cos 60°
よって，与式が成り立つ。
(2)
(
AB × CD = AB × AD - AC
)
= AB × AD - AB × AC
(1)より， AB × AD = AB × AC だから， AB × CD = 0 すなわち AB⊥CD
128
(1)
OH = OA + t AB
(
= OA + t OB - OA
)
æ 5 ö ìæ 8 ö æ 5 öü
ç ÷ ïç ÷ ç ÷ï
= ç - 2 ÷ + t íç 0 ÷ - ç - 2 ÷ý
ç - 3 ÷ ïç - 4 ÷ ç - 3 ÷ï
è ø îè ø è øþ
æ 5 ö æ 3ö
ç ÷ ç ÷
= ç - 2 ÷ + t ç 2 ÷
ç - 3 ÷ ç - 1÷
è ø è ø
æ 3t + 5 ö
ç
÷
= ç 2t - 2 ÷
ç- t - 3 ÷
è
ø
æ 3t + 5 ö æ 3 ö
ç
÷ ç ÷
\ OH × AB = ç 2t - 2 ÷ × ç 2 ÷
ç
÷ ç ÷
è - t - 3 ø è - 1ø
= 14t + 14
これと OH⊥AB，すなわち OH × AB = 0 より， t = -1
12
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æ 2 ö
÷
ç
よって， OH = ç - 4 ÷
÷
ç
è - 2ø
ゆえに， H = (2, - 4, - 2 ) ， OH = 2 2 + (- 4 )2 + (- 2 )2 = 2 6
(2)
PH = PA + AH
= PA + t AB
(
= OA - OP + t OB - OA
)
æ 0 ö æ 3 ö ìæ 8 ö æ 0 öü
ç ÷ ç ÷ ïç ÷ ç ÷ï
= ç - 2 ÷ - ç - 1÷ + t íç 4 ÷ - ç - 2 ÷ý
ç - 3 ÷ ç 4 ÷ ïç 7 ÷ ç - 3 ÷ï
è ø è ø îè ø è øþ
æ 8t - 3 ö
÷
ç
= ç 6t - 1 ÷
ç10t - 7 ÷
ø
è
æ 8t - 3 ö æ 8 ö
ç
÷ ç ÷
\ PH × AB = ç 6t - 1 ÷ × ç 6 ÷
ç
÷ ç ÷
è10t - 7 ø è10 ø
= 200t - 100
これと PH⊥AB，すなわち PH × AB = 0 より， t =
æ 1 ö
ç ÷
\ PH = ç 2 ÷
ç ÷
è - 2ø
・・・①
ゆえに， PH = PH = 12 + 2 2 + (- 2) = 3
2
また， PH = OH - OP より，
OH = PH + OP
æ 1 ö æ 3ö
ç ÷ ç ÷
= ç 2 ÷ + ç - 1÷
ç - 2÷ ç 4 ÷
è ø è ø
æ4ö
ç ÷
= ç1 ÷
ç2÷
è ø
よって， H (4, 1, 2 )
13
1
2
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例題 13
別解
xyz 直交座標系において，3 点 A,B,C はそれぞれ x, y, z 軸の切片だから，
平面 ABC の方程式は
x y
z
+ +
=1
2 1 -2
\ x + 2y - z = 2
・・・①
æ 1ö
ç ÷
これより，ベクトル ç 2 ÷ は平面 ABC の法線ベクトルである。
ç ÷
è - 1ø
æ 1ö
ç ÷
したがって，適当な実数 k を用いると， OH = k ç 2 ÷
ç ÷
è - 1ø
よって， H (k , 2k , - k )
点 H は平面 ABC 上の点だから，①を満たす。
すなわち k + 2 × 2k - (- k ) = 2
\k =
1
3
1ö
æ1 2
ゆえに， Hç , , - ÷
3ø
è3 3
2
2
2
6
æ1ö
æ2ö
æ 1ö
また， OH = ç ÷ + ç ÷ + ç - ÷ =
3
è3ø
è3ø
è 3ø
補足
æaö
æxö
ç ÷
 ç ÷
点 A (x1 , y1 , z1 ) を含み n = ç b ÷ に垂直な平面上の A でない任意の点を P ç y ÷ とすると，
ç ÷
ç ÷
èc ø
èz ø
æ x - x1 ö æ a ö
ç
÷ ç ÷

AP × n = 0 より， ç y - y1 ÷ × ç b ÷ = 0
ç
÷ ç ÷
è z - z1 ø è c ø
\ a (x - x1 ) + b( y - y1 ) + c(z - z1 ) = 0
ゆえに， ax + by + cz - (ax1 + by1 + cz1 ) = 0
これは A (x1 , y1 , z1 ) についても成り立つ。
これより， ax + by + cz + d = 0 で表される平面の方程式において，
æaö
ç ÷
ベクトル ç b ÷ はその平面の法線ベクトルである。
ç ÷
èc ø
14
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切片と直線の方程式・平面の方程式
x 切片を a ， y 切片を b とする直線の方程式
x y
+ = 1 （ a, b は 0 でない実数）
a b
y
B
b
x y
a + b = 1
A
O
a
証明
A (a ,0 ) ，B (0.b ) を通る直線の方程式は， y = -
15
b
x+b
a
\
x y
+ =1
a b
x
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x 切片を a ， y 切片を b ， z 切片を c とする平面の方程式
x y z
+ + = 1 （ a, b, c は 0 でない実数）
a b c
z
z
x y
a + b + c = 1
c
C
O
B
b
A
a
y
x
証明
A (a,0,0 ) ，B (0.b,0 ) ，C (0,0, c ) を通る平面の方程式を px + qy + rz = s とすると，
pa = qb = rc = s より， p =
s
s
s
,q = ,r =
a
b
c
16
\
x y z
+ + =1
a b c
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129
PH = PA + s AB + t AC
(
) (
= OA - OP + s OB - OA + t OC - OA
)
æ 3 ö æ 3 ö ìæ1 ö æ 3 öü ìæ 0 ö æ 3 öü
ç ÷ ç ÷ ïç ÷ ç ÷ï ïç ÷ ç ÷ï
= ç 6 ÷ - ç 4 ÷ + s íç 4 ÷ - ç 6 ÷ý + t íç 5 ÷ - ç 6 ÷ý
ç 0 ÷ ç 5 ÷ ïç 0 ÷ ç 0 ÷ï ïç 4 ÷ ç 0 ÷ï
è ø è ø îè ø è øþ îè ø è øþ
æ - 2s - 3t ö
÷
ç
= ç - 2s - t + 2 ÷
ç 4t - 5 ÷
ø
è
PH × AB = 0 ， PH × AC = 0 より，
æ - 2s - 3t ö æ - 2 ö
ç
÷ ç ÷
ç - 2 s - t + 2 ÷ × ç - 2 ÷ = 8s + 8t - 4 = 0
ç 4t - 5 ÷ ç 0 ÷
è
ø è ø
æ - 2 s - 3t ö æ - 3 ö
ç
÷ ç ÷
ç - 2s - t + 2 ÷ × ç - 1 ÷ = 8s + 26t - 22 = 0
ç 4t - 5 ÷ ç 4 ÷
è
ø è ø
\ 2 s + 2t = 1
・・・①
\ 4 s + 13t = 11
1
①，②より， s = - , t = 1
2
æ - 2ö
ç ÷
\ PH = ç 2 ÷
ç ÷
è-1 ø
ゆえに， PH = PH =
(- 2)2 + 2 2 + 12
=3
別解
æaö
 ç ÷
平面 ABC の法線ベクトルの 1 つを n = ç b ÷ とすると，
ç ÷
èc ø


n × AB = 0, n × BC = 0 より，
æ a ö æ - 2ö
ç ÷ ç ÷
ç b ÷ × ç - 2 ÷ = -2a - 2b = 0
çc ÷ ç 0 ÷
è ø è ø
æ a ö æ - 1ö
ç ÷ ç ÷
ç b ÷ × ç 1 ÷ = - a + b + 4c = 0
çc ÷ ç 4 ÷
è ø è ø
\a + b = 0
\ a - b = 4c
したがって， c = 1 とすると， a = 2, b = -2
17
・・・②
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これより，平面 ABC の方程式は 2 x - 2 y + z + d = 0 と表される。
これと平面 ABC が点 A を含むことから， 2 × 3 - 2 × 6 + 0 + d = 0 より d = 6
よって，平面 ABC の方程式は 2 x - 2 y + z + 6 = 0
ゆえに，点 P と平面 ABC の距離，すなわち線分 PH の長さは
130
△ABC の面積
S=
1
AB AC sin ÐBAC
2
=
AB AC 1 - cos 2 ÐBAC
2
2
=
(
2
AB AC - AB × AC
)
2
2
æ 0 ö æ1 ö æ - 1ö
æ 0 ö æ1 ö æ - 1ö
ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷
ここで， AB = ç1 ÷ - ç 0 ÷ = ç 1 ÷ ， AC = ç 0 ÷ - ç 0 ÷ = ç 0 ÷ より，
ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è 0ø è 0ø è 0 ø
è 2ø è 0ø è 2 ø
AB = 2 ， AC = 5 AB × AC = 1
\S =
2 ×5 -1 3
=
2
2
四面体 ABCD の体積
点 D から底面 ABC に下ろした垂線の足を H とすると，
V=
1
1
S DH = DH
3
2
ここで，
DH = DA + s AB + t AC
(
) (
= OA - OD + s OB - OA + t OC - OA
)
æ1 ö æ1 ö ìæ 0 ö æ1 öü ìæ 0 ö æ1 öü
ç ÷ ç ÷ ïç ÷ ç ÷ï ïç ÷ ç ÷ï
= ç 0 ÷ - ç 2 ÷ + s íç1 ÷ - ç 0 ÷ý + t íç 0 ÷ - ç 0 ÷ý
ç ÷ ç ÷ ïç ÷ ç ÷ï ïç ÷ ç ÷ï
è 0 ø è 3 ø îè 0 ø è 0 øþ îè 2 ø è 0 øþ
æ- s - tö
ç
÷
= ç s - 2 ÷
ç
÷
è 2t - 3 ø
18
2×3- 2×4 + 5+ 6
2 2 + (- 2) + 12
2
=3
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DH × AB = 0, DH × AC = 0 より
æ - s - t ö æ - 1ö
÷ ç ÷
ç
ç s - 2 ÷ × ç 1 ÷ = 2s + t - 2 = 0
ç 2t - 3 ÷ ç 0 ÷
ø è ø
è
\ 2s + t = 2
・・・①
æ - s - t ö æ - 1ö
÷ ç ÷
ç
ç s - 2 ÷ × ç 0 ÷ = s + 5t - 6 = 0
ç 2t - 3 ÷ ç 2 ÷
ø è ø
è
\ s + 5t = 6
・・・②
①，②より， s =
4
10
,t=
9
9
æ 14 ö
ç- ÷
ç 9÷
ç 14 ÷
\ DH = ç - ÷
ç 9÷
ç 7 ÷
ç- ÷
è 9 ø
2
2
2
7
æ 14 ö
æ 14 ö
æ 7ö
ゆえに， DH = ç - ÷ + ç - ÷ + ç - ÷ =
3
è 9ø
è 9ø
è 9ø
\V =
7
6
別解
点 D から底面 ABC に下ろした垂線の足を H とすると，
V=
1
1
S DH = DH
3
2
ここで，
xyz 直交座標系において，3 点 A,B,C はそれぞれ x, y, z 軸の切片だから，
平面 ABC の方程式は
x y z
+ + =1
1 1 2
\ 2x + 2 y + z - 2 = 0
これより，点 D と平面 ABC の距離，すなわち DH =
\V =
7
6
19
2 ×1 + 2 × 2 + 3 - 2
2
2
2
2 + 2 +1
=
7
3