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アドバンスト・マスマティクスコース
フーリエ解析コース
演習問題
田
創平
平成 24 年 6 月 8 日
第 1 回（平成 24 年 5 月 8 日）
1. テイラー展開
問題 1 以下の関数 f (x) を x = 0 においてテイラー展開せよ.
(1) f (x) = ex ,
(2) f (x) = sin x,
(3) f (x) = cos x,
(4) f (x) = xex .
問題 2 関数 ex , cos x, sin x の x = 0 におけるテイラー展開を用いて, オイラーの
公式
eiθ = cos θ + i sin θ
が成り立つことを確かめよ.
2. 三角関数の直交性
問題 3 n, m を自然数とする. 以下の定積分を求めよ.
∫ π
∫ π
∫
(1)
sin nx sin mxdx, (2)
cos nx cos mxdx, (3)
−π
−π
π
sin nx cos mxdx.
−π
問題 4 a を 0 でない実数とする. 以下の定積分を求めよ.
∫ π
∫ π
ax
(1)
e sin xdx, (2)
eax cos xdx.
−π
−π
3. 偶関数と奇関数
問題 5 f (x), g(x) をそれぞれ, 区間 [−π, π] 上の偶関数, 奇関数とする. このとき,
関数
h(x) = f (x)g(x)
は [−π, π] 上の奇関数であることを示せ.
問題 6 f (x), g(x) をそれぞれ, 区間 [−π, π] 上の偶関数, 奇関数とする. このとき,
次が成り立つことを示せ.
∫ π
∫ π
∫ π
(1)
f (x)dx = 2
f (x)dx, (2)
g(x)dx = 0.
−π
−π
0
–
1
–
第 2 回（平成 24 年 5 月 15 日）
4. フーリエ級数
問題 7 以下の関数 f (x) の区間 [−π, π] でのフーリエ級数展開を求めよ（フーリ
エ係数 an , bn (n = 0, 1, 2, · · · ) を求めよ）.
(1) f (x) = 1, (2) f (x) = x, (3) f (x) = |x|, (4) f (x) = | sin x|,
{
{
[
]
1,
x ∈ [0, π],
1,
x ∈ π2 , π ,
(5) f (x) =
(6) f (x) =
[
)
−1, x ∈ [−π, 0),
−1, x ∈ −π, π2 .
ここで, フーリエ係数は次で与えられる.
∫
∫
1 π
1 π
an =
f (x) cos nxdx, bn =
f (x) sin nxdx.
π −π
π −π
問題 8 f (x), g(x) をそれぞれ, [−π, π] 上のフーリエ級数展開できる偶関数, 奇関
数とする. このとき, f (x), g(x) はそれぞれ, フーリエ余弦級数, フーリエ正弦級数
で表されることを示せ. ここで, フーリエ余弦級数, フーリエ正弦級数はそれぞれ
次の形式のことである.
a0 ∑
+
an cos nx,
2
n=1
∞
f (x) =
g(x) =
∞
∑
bn sin nx.
n=1
問題 9 区間 [0, π] で定義された以下の関数 f (x) の（半区間）フーリエ正弦級数
と余弦級数を求めよ.
{
[
)
2
x,
x ∈ 0, π2 ,
2
π
(1) f (x) = x, (2) f (x) = x , (3) f (x) =
[
]
2
(π − x) , x ∈ π2 , π .
π
問題 10 関数
a0 ∑
+
(an cos nx + bn sin nx)
f (x) =
2
n=1
∞
は, ある複素数 cn (n = 0, ±1, ±2, · · · ) を用いて,
f (x) =
∞
∑
cn einx
n=−∞
と表せることを示せ. また, cn を求めよ.
–
2
–
第 3 回（平成 24 年 5 月 22 日）
5. リーマン・ルベーグの定理
問題 11 f (x) を区間 [−π, π] 上の連続関数とする. このとき,
∫ π
∫ π
lim
f (x) cos nxdx = 0, lim
f (x) sin nxdx = 0
n→∞
n→∞
−π
−π
が成り立つことを示せ.
注意
この定理は, 関数 f (x) が区分的に連続であれば成り立つ.
6. ベッセルの不等式
∞
∞
∞
問題 12 任意の数列 {ck }k=0 , {dk }k=0 に対して, 関数列 {gn (x)}n=1 を
c0 ∑
(ck cos kx + dk sin kx) ,
gn (x) =
+
2
k=1
n
で定義する.
(1) 等式
1
π
∫
n = 1, 2, · · · ,
)
c2 ∑ ( 2
ck + d2k
|gn (x)| dx = 0 +
2
−π
k=1
n
π
2
が成り立つことを示せ.
∫π
(2) f (x) を区間 [−π, π] 上の関数で, −π |f (x)|2 dx < ∞ を満たすものとし,
∫
∫
1 π
1 π
ak =
f (x) cos kxdx, bk =
f (x) sin kxdx
π −π
π −π
とする. このとき, 等式
∫
∫
n
)
1 π
a20 ∑ ( 2
1 π
2
2
|f (x) − gn (x)| dx =
|f (x)| dx −
−
ak + b2k
π −π
π −π
2
k=1
n
∑
{
}
(a0 − c0 )
+
(ak − ck )2 + (bk − dk )2
2
k=1
2
+
が成り立つことを示せ. これを用いて, ベッセルの不等式
∫
n
)
1 π
a20 ∑ ( 2
2
|f (x)| dx ≥
+
ak + b2k
π −π
2
k=1
が成り立つことを示せ.
–
3
–
注意関数 f (x) が連続で, 区分的に滑らかならば, ベッセルの不等式において
n → ∞ で等号が成り立つ. すなわち, パーセヴァルの等式
1
π
∫
)
a2 ∑ ( 2
ak + b2k
|f (x)| dx = 0 +
2
−π
k=1
∞
π
2
が成り立つ.
問題 13 関数 f (x) = x2 の区間 [−π, π] におけるフーリエ級数展開を用いて, 等式
∞
∑
1
π2
=
n2
6
n=1
を示せ. また, パーセヴァルの等式を用いて, 等式
∞
∑
1
π4
=
n4
90
n=1
を示せ.
–
4
–
第 4 回（平成 24 年 5 月 29 日）
7. シュワルツの不等式・三角不等式
問題 14 任意の z, w ∈ C に対して三角不等式
||z| − |w|| ≤ |z + w| ≤ |z| + |w|
が成り立つことを示せ.
問題 15 内積 (·, ·) : V × V → C の定義された複素ベクトル空間 V において, 任
意のベクトル u, v ∈ V に対してシュワルツの不等式
|(u, v)|2 ≤ (u, u) (v, v)
が成り立つことを示せ.
8. 数列と極限
∞
問題 16 以下で与えられる数列 {an }n=1 について, limn→∞ an の値を求めよ.
(1) an = n1/n ,
(3) an =
√
3n
,
n!
(2) an =
n+1−
√
n,
(4) an =
an − bn
,
an + b n
a, b > 0.
∞
問題 17 数列 {an }n=1 について,
lim an = a
n→∞
のとき, 次の値を求めよ.
a1 + a2 + · · · + an
.
n→∞
n
lim
∞
∞
問題 18 数列 {an }n=0 , {bn }n=0 を, a0 , b0 > 0,
an+1 =
an + bn
,
2
bn+1 =
√
an bn ,
で定める. このとき,
lim an = lim bn
n→∞
n→∞
を示せ.
–
5
–
n = 0, 1, · · ·
第 5 回（平成 24 年 6 月 5 日）
9. 級数の収束
問題 19 以下を示せ.
∞
∑
(1) 級数
an が収束すれば, lim an = 0.
(2) 級数
n=0
∞
∑
n→∞
∞
∑
|an | が収束すれば,
n=0
(3) k ≥ 1 のとき, 正項級数
∞
∑
an も収束する.
n=0
an が収束すれば,
n=0
∞
∑
akn も収束する.
n=0
問題 20 以下の級数の収束, 発散を調べよ. 収束する場合は値を求めよ.
(1)
∞
∑
an
(a ∈ R),
(2)
n=0
∞
∑
n=1
1
,
n(n + 5)
(3)
∞
∑
n=1
n
.
(n + 1)!
∞
∑
1
問題 21 s ∈ R に対して, 級数
の収束, 発散を調べよ.
s
n
n=1
10. 関数列の一様収束
∞
問題 22 以下で与えられる関数列 {fn }n=1 は, 区間 [0, 1] 上で各点収束するが, 一
様収束しないことを示せ.
2
fn (x) = nxe−nx .
11. 関数項級数の一様収束
問題 23 関数項級数
∞
∑
n=1
問題 24 数列
{an }∞
n=1 ,
n2
1
は, 区間 [−π, π] 上で一様収束することを示せ.
+ x2
{bn }∞
n=1
が
∞
∑
n (|an | + |bn |) < ∞ を満たすとき, 関数項
n=1
級数
∞
∑
(an cos nx + bn sin nx)
n=1
は区間 [−π, π] 上の連続微分可能関数に一様収束することを示せ.
–
6
–
第 6 回（平成 24 年 6 月 12 日）
12. 項別微分・積分
問題 25 f (x) を区間 [−π, π] 上の C 1 級関数で, f (−π) = f (π) をみたすものとす
る. n = 0, 1, 2, · · · に対して
∫
∫
1 π
1 π
an =
f (x) cos nxdx, bn =
f (x) sin nxdx,
π −π
π −π
∫
∫
1 π ′
1 π ′
αn =
f (x) cos nxdx, βn =
f (x) sin nxdx
π −π
π −π
とおくとき,
βn = −nan
αn = nbn ,
が成り立つことを示せ. また,
∫
x
(
F (x) =
f (t) −
0
に対して
1
An =
π
∫
π
a0 )
dt
2
1
Bn =
π
F (x) cos nxdx,
−π
∫
π
F (x) sin nxdx
−π
とおくとき,
A0 = 2
∞
∑
bn
n=1
An = −
bn
,
n
n
,
B0 = 0,
Bn =
an
,
n
n = 1, 2, · · ·
が成り立つことを示せ.
注意この事実は, 関数 f (x) が連続で, 区分的に滑らかならば成り立つ. 特に後
半（項別積分）は, 関数 f (x) が区分的に連続であれば成り立つ.
13. 離散フーリエ変換の基底
問題 26 N ∈ N とする.
√
(
)
2πink
1
exp
En [k] =
,
N
N
n, k = 0, 1, 2, · · · , N − 1
に対して
En = (En [0], En [1], · · · , En [N − 1]) ∈ CN
とおく. このとき, {E0 , E1 , · · · , EN −1 } は CN の正規直交系であることを示せ.
–
7
–

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