微分積分学 (2) 講義メモ(pdf file)

微分積分学（２）講義メモ
2014 年
iii
目次
第 1 章偏微分法
1.1 多変数関数の極限と連続 . . . .
1.1.1 ベクトルの内積，ノルム
1.2 ２変数関数の極限と連続性 . . .
1.2.1 ２変数関数のグラフ . .
1.2.2 関数の極限 . . . . . . .
1.2.3 連続関数，合成関数 . .
1.3 いろいろな部分集合 . . . . . .
1.4 偏微分と全微分 . . . . . . . . .
1.4.1 偏導関数 . . . . . . . . .
1.4.2 方向微分，全微分 . . . .
1.4.3 接平面 . . . . . . . . . .
1.4.4 勾配ベクトル場 . . . . .
1.4.5 合成関数の微分 . . . . .
1.4.6 ヤコビアン . . . . . . .
1.4.7 逆写像のヤコビアン . .
1.5 陰関数の定理 . . . . . . . . . .
1.6 一般の陰関数の定理 . . . . . .
1.7 2 変数関数のテーラーの定理 . .
1.8 極値問題 . . . . . . . . . . . . .
1.9 条件付き極値問題 . . . . . . . .
1.10 ラグランジュ乗数の活用 . . . .
第2章
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
重積分法
重責分 . . . . .
連続関数の積分
累次積分 . . . .
面積条件 . . . .
積分変数の変換
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1
1
1
4
4
5
9
12
19
19
22
28
31
32
38
45
50
60
64
70
85
90
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95
95
106
112
120
134
iv
2.6
2.7
2.8
グリーンの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
グリーンの定理の幾何学的意味 . . . . . . . . . . . . . . . 149
重積分の変数変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
1
第1章
偏微分法
多変数関数の極限と連続
1.1
1.1.1
ベクトルの内積，ノルム
d 個の実数 x1 , x2 , · · · , xd の組 (x1 , x2 , · · · , xd ) を一つの文字 x で表
し，このような x 全体の集合を Rd で表す．x は線形代数で扱う d 次の
実ベクトルである．列ベクトルと行ベクトルを区別する必要があるとき


x1
 x 
 2 
は，行ベクトル x = (x1 , x2 , · · · , xd ) と表し，列ベクトルは x = 

 ··· 
xd
のように表す．ノートの紙面節約上，ベクトルは通常行ベクトルを用い
る．いくつかのベクトルを添え字を用いてあらわすときは，その成分は
xi = (xi1 , xi2 , · · · , xid ) i = 1, 2, · · ·


x1j
 x 
 2j 
xj = 
 , j = 1, 2, · · ·
 ··· 
xdj
のようにあらわす．
列ベクトルの記号は行列とベクトルの積を考えるとき必要になる．
ベクトル x, y ∈ Rd の和は成分毎の和であり，ベクトル x の実数 α 倍
は各成分の α 倍である．
(x1 , x2 , · · · , xd ) + (y1 , y2 , · · · , yd ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , · · · , xd + yd )
α(x1 , x2 , · · · , xd ) = (αx1 , αx2 , · · · , αxd )
またベクトル x の成分がすべて 0 のとき x = 0 とあらわす．すなわち
x = 0 ⇐⇒ (x1 , x2 , · · · , xd ) = (0, 0, · · · , 0)
第1章
2
偏微分法
数の積に対応してベクトルベクトル x, y の内積 x · y ，数の絶対値に対
応してベクトル x のノルム ∥x∥ を次のように定義する．
x·y =
d
∑
xi yi , ∥x∥ =
√
(
)1/2
x · x = x21 + x22 + · · · + x2d
i=1
補題 1.1.1 内積の性質：
(i) x · x ≥ 0,
x · x = 0 ⇐⇒ x = 0,
(ii) x · y = y · x,
(iii) (αx + βy) · z = α(x · z) + β(y · z)
証明何れも内積の定義から明らかである．たとえば (iii) を証明すると
(αx + βy) · z =
d
∑
(αxi + βyi )zi =
i=1
= α
d
∑
d
∑
(αxi zi + βyi zi )
i=1
x i zi + β
i=1
d
∑
y i zi
i=1
= α(x · z) + β(y · z)
✷
補題 1.1.1 の (2),(3) により，次の系も成り立つ．
系 1.1.2
x, y, z, xi , yj ∈ Rd , α, β, αi , βj ∈ R
に対して
(i) x · (αy + βz) = α(x · y) + β(x · z)
(ii) (
m
∑
n
m ∑
n
∑
∑
αi xi ) · (
βj y j ) =
αj βj (xi · yj )
i=1
j=1
i=1 j=1
補題 1.1.3 (コーシー・シュワルツ（Cauchy-Schwarz）の不等式)
|x · y| ≤ ∥x∥∥y∥
(x, y ∈ Rd )
x, y の成分を用いて表すと
|x1 y1 + x2 y2 + · · · xd yd | ≤ (x21 + x22 + · · · + x2d )1/2 (y12 + y22 + · · · + yd2 )1/2
1.1. 多変数関数の極限と連続
3
証明 x = 0 のときは， x · y = 0, ∥x∥ = 0 であるから，Cauchy-Schwarz
の不等式は等式として成り立つ．x ̸= 0 とする．すべての実数 t に対し
て，∥tx + y∥2 を計算すると
∥tx + y∥2 = (tx + y) · (tx + y)
= (tx · tx) + (tx · y) + (y · tx) + y · y
= t2 (x · x) + t(x · y) + t(y · x) + y · y
= t2 (x · x) + t(x · y) + t(x · y) + y · y
= t2 ∥x∥2 + 2t(x · y) + ∥y∥2
a = ∥x∥2 , b = x · y, c = ∥y∥2 とおく．x ̸= 0 であるから，a = ∥x∥2 > 0 で
ある．ゆえに
∥tx + y∥2 = at2 + 2tb + c
と表され，右辺は t の２次式である．左辺はすべての実数 t に対して正ま
たは零であるから，すべての t に対して，at2 + 2tb + c ≥ 0 である．２次
式の判別式を考えて b2 −ac ≤ 0 が成り立つ．すなわち (x·y)2 ≤ ∥x∥2 ∥y∥2
であるから，|x · y| ≤ ∥x∥∥y∥ がなりたつ，
✷
補題 1.1.4 (ノルムの性質) x, y ∈ Rd , α ∈ R とする．
(i) ∥x∥ ≥ 0, ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = 0,
(ii) ∥αx∥ = |α|∥x∥.
(iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥
(三角不等式)
(iv) |∥x∥ − ∥y∥| ≤ ∥x − y∥
証明 (i),(ii) の証明は簡単であるから，省略する．
(iii)
∥x + y∥2 = (x + y) · (x + y)
= x·x+x·y+y·x+y·y
= ∥x∥2 + 2(x · y) + ∥y∥2
のように計算される．コーシー・シュワルツの不等式により
x · y ≤ |x · y| ≤ ∥x∥∥y∥
第1章
4
偏微分法
であるから，
∥x∥2 + 2(x · y) + ∥y∥2 ≤ ∥x∥2 + 2∥x∥∥y∥ + ∥y∥2 = (∥x∥ + ∥y∥)2 .
ゆえに ∥x + y∥2 ≤ (∥x∥ + ∥y∥)2 であり，∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.
(iv) (iii) を用いて
∥x∥ = ∥(x − y) + y∥ ≤ ∥x − y∥ + ∥y∥
が成り立つから，
∥x∥ − ∥y∥ ≤ ∥x − y∥
(1.1)
である．同様に ∥y∥ − ∥x∥ ≤ ∥y − x∥ であり，
∥y − x∥ = ∥ − (x − y)∥ = | − 1| × ∥x − y∥ = ∥x − y∥
であるから， ∥y∥ − ∥x∥ ≤ ∥x − y∥. したがって −∥x − y∥ ≤ ∥x∥ − ∥y∥.
∥x−y∥ = a とおくと，a ≥ 0 であり，(1.1) と併せて，−a ≤ ∥x∥−∥y∥ ≤ a
が成り立つ．ゆえに |∥x∥ − ∥y∥| ≤ a = ∥x − y∥.
✷
２変数関数の極限と連続性
1.2
1.2.1
２変数関数のグラフ
実数 x1 , x2 , · · · , xd , (d ≥ 2) の値に応じて定まる実数関数
z = f (x1 , x2 , · · · , xd )
の極限と連続性を考える．簡単のため d = 2 とし，変数を x, y で表し，
関数 z = f (x, y) を考える．
３次元空間のある点 O で互いに直交する３直線 ℓ, m, n をとる．O を原
点といい，ℓ, m, n には目盛をつけ，それぞれ x-軸，y-軸，z-軸という．こ
の空間の各点には一つの座標 (x, y, z) が対応し，３次元空間と R3 が対応
する．点 P が， x-軸と y-軸を含む平面 ( これを xy-平面という）内にあ
るときは，z 座標が 0 であるから，その点の座標は (x, y, 0) のようになり，
この点 P を P (x, y) で表す．xy-平面は R2 に対応する．関数 z = f (x, y)
により，xy-平面の点 P (x, y) に応じて値 z = f (x, y) が決まるとみて，
z = f (P ) とかくこともある．点 P の上に高さ z = f (P ) = f (x, y) の点
1.2. ２変数関数の極限と連続性
5
Q(x, y, f (x, y)) をとる．P が xy-平面内を動くと，点 Q(x, y, f (x, y)) は
３次元空間内に曲面 S を描く，この曲面を関数 z = f (x, y) のグラフと
いう．
例 1.2.1
(1) z = f (x, y) = 2x + 3y, (2) z = f (x, y) = x2 − xy + y 2 ,
(3) z = f (x, y) =
√
3x − y
(4) z = f (x, y) = 1 − x2 − y 2
2x + y
ほとんどの１変数関数は区間で定義されていたが，２変数 z = f (x, y) が
定義される (x, y) の範囲（定義域) D はいろいろになる．例 1.2.1 の関数
の場合，x, y の範囲は次のようになる．(1),(2) の関数は全ての (x, y) に
対し定義され，D = R2 ．(3) の関数は 2x + y ̸= 0 であるような (x, y) に
対して定義され，D = {(x, y) : 2x + y ̸= 0} と表される．xy-平面から直
線 2x + y = 0 を除いた範囲である．(4) の関数は平方根の中が正または
零の (x, y) の範囲 1 − x2 − y 2 ≥ 0 で定義され，D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}
と表される．原点を中心とする半径 1 の円（これを単位円という）の内
部あるいはその円上である．
1.2.2
関数の極限
点 P (x, y) と点 A(a, b) の距離 P A は
[ ] [ ]
√
x
a
P A = (x − a)2 + (y − b)2 =
−
y
b
で与えられる．P A が 0 に近づくとき，P が A に近づくという．
定義 1.2.2 n = 1, 2, · · · に対して点 Pn = (xn , yn ) が定まるとき，点列
{Pn } が定まるという．
√
lim (xn − a)2 + (yn − b)2 = 0
n→∞
である点 A = (a, b) があるとき，点列 {Pn } は点 A に収束するといい，
lim Pn = A
n→∞
とかく．
第1章
6
偏微分法
P が A に限りなく近づくとき，f (x, y) の値がある値 α に限りなく近
づくならば，α を A における f (P ) の極限といい，
lim f (P ) = α,
P →A
または
lim
f (x, y) = α
(x,y)→(a,b)
と書く．xy-平面の P が A に近づく場合，いろいろな方向から近づくこ
とが考えられるが，関数の極限を考える場合，距離 P A が小さくなれば
近づく方向によらず f (x, y) が α に近づくという意味である．正確には次
のように定義する．
定義 1.2.3 f (x, y) の定義域を D とする．任意の ϵ > 0 に対して，次の条
件 (∗) を満たす δ > 0 が存在するとき．lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = α と書く：
{
(∗)
√
0 < (x − a)2 + (y − b)2 < δ
=⇒ |f (x, y) − α| < ϵ
(x, y) ∈ D
１変数関数と同様に次の極限定理が成り立つ．
定理 1.2.4
lim
f (x, y) = α.
(x.y)→(a,b)
lim
g(x, y) = β
(x.y)→(a,b)
であるとする．このとき
(i)
lim
(f (x, y) ± g(x, y)) = α ± β.
(x.y)→(a,b)
(ii)
lim
kf (x, y) = kα
(x.y)→(a,b)
(iii)
lim
(k は定数)
f (x, y)g(x, y) = αβ
(x.y)→(a,b)
(iv) g(x, y) ̸= 0, β ̸= 0 ならば
α
f (x, y)
=
(x.y)→(a,b) g(x, y)
β
lim
例 1.2.5 (1)
f0 (x, y) = c (定数) =⇒
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) = x(= x + 0y) =⇒
f0 (x, y) = c.
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) = a.
1.2. ２変数関数の極限と連続性
7
g(x, y) = y(= 0x + y) =⇒
lim
f (x, y) = b.
(x,y)→(a,b)
(2)
lim
(2x + 3y) =
(x,y)→(a,b)
lim
(2f (x, y) + 3g(x, y))
(x,y)→(a,b)
=2
lim
f (x, y) + 3
(x,y)→(a,b)
lim
g(x, y)
(x,y)→(a,b)
= 2a + 3b
lim
(x2 − xy + y 2 )
(x,y)→(a,b)
(f (x, y)2 − 2f (x, y)g(x, y) + g(x, y)2 )
(x,y)→(a,b)
(
)2
=
lim (f (x, y) − 2 lim f (x, y) lim g(x, y)
(x,y)→(a,b)
(x,y)→(a,b)
(x,y)→(a,b)
(
)2
+
lim g(x, y) = a2 − 2ab + b2
=
lim
(x,y)→(a,b)
lim
(x,y)→(a,b) 2x2
x − 4y
a − 4b
= 2
.
2
+ 3y + 1
2a + 3b2 + 1
xy-平面の P (x, y) が A(a, b) に近づく場合，いろいろな方向から近づく
ことが考えられるが，関数の極限を考える場合，距離 P A が小さくなれ
ば近づく方向によらず f (x, y) が α に近づくという意味である．もう少し
詳しく説明する．２点 A(a, b), P (x, y) の距離を r とおく．
√
r = (x − a)2 + (y − b)2 .
−→
有向線分 AP が x 軸の正の方向となす角を θ とおくと，
x − a = r cos θ, y − b = r sin θ
であるから，
x = a + r cos θ, y = b + r sin θ
と表される．このとき条件 (*) は次のようにかける


 0<r<δ
0 ≤ θ ≤ 2π =⇒ |f (a + r cos θ, b + r sin θ) − α| < ϵ.

 (x, y) ∈ D
第1章
8
偏微分法
lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = α ならば，(x, y) が x 軸に平行な方向から (a, b)
に近づくとき，f (x, y) は α に収束する．また y 軸に平行な方向から近
づくときも α に収束する．
lim
f (x, y) = α =⇒ lim f (x, b) = α, lim f (a, y) = α,
x→a
(x,y)→(a,b)
y→b
一般的に, 任意の θ に対して
lim
f (x, y) = α =⇒ lim f (a + r cos θ, b + r sin θ)) = α.
r→0
(x,y)→(a,b)
例 1.2.6
(4)
x3
f (x, y) = 2
x + y2
((x, y) ̸= (0, 0))
とする．このとき lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = 0 である．実際 x = r cos θ, y =
r sin θ とおくと，
r3 cos3 θ
f (x, y) = 2
= r cos3 θ
2
2
r (cos θ + sin θ)
であるから，|f (x, y) − 0| ≤ r| cos3 θ| ≤ r が成り立つ．ゆえに
limr→0 f (x, y) = 0 である．
(5)
f (x.y) =
xy
x2 + y 2
((x, y) ̸= (0, 0))
とする．このとき， f (x, 0) = 0, f (0, y) = 0, (x, y ̸= 0) であるから
lim f (x, 0) = 0, lim f (0, y) = 0.
x→0
y→0
しかし，x = r cos θ, y = r sin θ のとき
f (x, y) =
r2 cos θ sin θ
1
sin 2θ
=
cos
θ
sin
θ
=
2
2
r2 (cos2 θ + sin θ)
であるから，
lim f (r cos θ, r sin θ) =
r→0
1
sin 2θ.
2
したがって θ に応じてこの極限はことなり，(x, y) → (0, 0) のとき
f (x, y) の一定の極限は存在しない．
1.2. ２変数関数の極限と連続性
1.2.3
9
連続関数，合成関数
定義 1.2.7 lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = f (a, b) であるとき，関数 f (x, y) は
(a, b) で連続であるという．すなわち，任意の正数 ϵ に対して次の条件を
満たす正数 δ が存在するとき，f (x, y) は (a, b) で連続であるという．
{ √
(x − a)2 + (y − b)2 < δ
(∗)
=⇒ |f (x, y) − f (a, b)| < ϵ.
(x, y) ∈ D
ただし D は f (x, y) の定義域である．
定義域のすべての点で連続ならば，f (x, y) は連続関数であるという．
定理 1.2.8
(i) f (x, y), g(x, y) が点 (a, b) で連続ならば，
cf (x, y), f (x, y) ± g(x, y), f (x, y)g(x, y)
(x,y)
は (a, b) で連続である．また g(a, b) ̸= 0 ならば fg(x,y)
は (a, b) で連
続である．
(ii) u = g(x, y) が (a, b) で連続で，１変数関数 z = ϕ(u) が u = g(a, b)
で連続ならば，合成関数 z = f (x, y) = ϕ(g(x, y)) は (a, b) で連続
である．
(iii) z = f (x, y) が D において連続で，１変数関数 x = ϕ(t), y = ψ(t)
が区間 I において連続で
t ∈ I =⇒ (ϕ(t), ψ(t)) ∈ D
であるならば，合成関数 z = f (ϕ(t), ψ(t)) は I において連続である．
例 1.2.9 (1) ajk xj y k (j, k ≥ 0) の形の有限個の項の和で表される x, y
の多項式 P (x, y) は連続関数である．また Q(x, y) も多項式である
P (x,y)
は分母が 0 でない点で連続である．
とき，有理関数 Q(x,y)
√
(2) f (x, y) が連続関数であるとき， f (x, y) は f (x, y) ≥ 0 であるよ
うな (x, y) の範囲において連続である．
また関数 √
1
f (x,y)
て連続である．
は f (x, y) > 0 であるような (x, y) の範囲におい
第1章
10
偏微分法
(3) f (x, y) が連続ならば，関数 sin(f (x, y)), cos(f (x, y)), tan(f (x, y)) は
連続である．
(4) f (x, y) が連続ならば，ef (x,y) は連続である．
また log f (x, y) は f (x, y) > 0 である (x, y) の範囲において連続で
ある．
２変数関数 z = f (x, y) において，x, y に u, v の２変数関数 x =
x(u, v), y = y(u, y) を代入してできる関数 z = f (x(u, v), y(u, v)) を
z = f (x, y) と x = x(u, v), y = y(u, v) の合成関数という．たとえば
z = f (u, v) = (u + v)2 (2u − 3v)3
は z = f (x, y) = x2 y 3 と x = u + v, y = 2u − 3v の合成関数である．
合成関数 f (x(u, v), y(u, v)) を考えるとき，代入する (x(u, v), y(u, v)) が
f (x, y) の定義域に入っているときに代入可能である．f (x, y) の定義域 D
と，x(u, v), y(u, v) がともに定義されている定義域 E の間に次の関係が
成り立つことが必要である．
(u, v) ∈ E =⇒ (x(u, v), y(u, v)) ∈ D.
(1.2)
x [= x(u, v),]y = y(u, v) があるとき，２次ベクトル
[ 二つの２変数関数
]
u
x(u, v)
を２次ベクトル
に移す写像ができる．この写像を一つ
v
y(u, v)
の文字 Φ で表す：
([ ]) [
]
[
]
u
x(u, v)
x(u, v)
Φ
=
あるいは Φ(u, v) =
(1.3)
v
y(u, v)
y(u, v)
たとえば
([
Φ
])
u
v
[
=
]
au + bv
cu + dv
[
=
][
a b
c d
]
u
v
Φ(u, v) の定義域 E は x(u, v), y(u, v) がともに定義されている (u, v) の
範囲である．(u, v) が E の範囲で変化したときの Φ(u, v) の範囲を Φ(E)
で表し，Φ による E の像という．すなわち
Φ(E) = {Φ(u, v) : (u, v) ∈ E}.
1.2. ２変数関数の極限と連続性
11
このとき条件 (1.2) は次のように表される．
Φ(E) ⊂ D.
しかし合成関数 f (x(u, v), y(u, v)) は，E のすべての点 (u, v) に対して
Φ(u, v) ∈ D でなくても，Φ(u, v) ∈ D となるような E の点 (u, v) のみに
おいて考えることができる．このような点 (u, v) の集合を Φ−1 (D) であ
らわし，Φ による D の原像または逆像という:
Φ−1 (D) = {(u, v) ∈ E : Φ(u, v) ∈ D}.
つまり，一般的に次のように合成関数が定義される．
定義 1.2.10 xy 平面のある集合 D で定義された関数 f (x, y) と uv 平面
のある集合 E で定義された関数 Φ(x, y) = (x(u, v), y(u, v)) があるとき，
合成関数 f (Φ(u, v))) = f (x(u, v), y(u, v)) が E の部分集合 E = Φ−1 (D)
で定義される．この合成関数を f ◦ Φ で表す．
(1.3) のように定義される関数を２変数の (２次元）ベクトル値関数と
いう．ベクトル値関数 Φ(u, v) は lim(u,v)→(c,d) Φ(u, v) = Φ(c, d) すなわち，
{
lim(u,v)→(c,d) x(u, v) = x(c, d)
lim ∥Φ(u, v) − Φ(c, d)∥ = 0 ⇐⇒
(u,v)→(c,d)
lim(u,v)→(c,d) y(u, v) = y(c, d)
であるとき， (c, d) で連続であるという．
定理 1.2.11 f (x, y) が D で連続，Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) が E で連
続ならば，合成関数 f (Φ(u, v)) は E = Φ−1 (D) で連続である．
さらにベクトル値関数とベクトル値関数の合成関数も同様に定義され
る．すなわち
[
]
[
]
f1 (x, y)
g1 (u, v)
F (x, y) =
, G(u, v) =
f1 (x, y)
g2 (u, v)
の合成関数 H = F ◦ G を
H(u, v) = F (G(u, v)) =
により定義する．
[
]
f1 (g1 (u, v), g2 (u, v))
f2 (g1 (u, v), g2 (u, v))
第1章
12
偏微分法
いろいろな部分集合
1.3
定義 1.2.7 における条件 (*) は，次に掲げる近傍を使って，図形的に言
い換えることができる．
定義 1.3.1 (a, b) を中心とする半径 ϵ > 0 の円の内部を
√
Uϵ (a, b) = {(x, y) ∈ R2 : (x − a)2 + (y − b)2 < ϵ}
のように表し (a, b) の ϵ 近傍という．
また実数 α に対して，α からの距離が ϵ より小さい数 x の集合を
Uϵ (α) = {x ∈ R : |x − α| < ϵ}
のように表し， α の ϵ 近傍という．Uϵ (α) = (α − ϵ, α + ϵ) である.
一般的に a = (a1 , · · · , ad ) ∈ Rd , ϵ > 0 に対して


( d
)1/2


∑
Uϵ (a) = x = (x1 , · · · , xd ) ∈ Rd : ∥x − a∥ =
|xi − ai |2
<ϵ


i=1
とおき， a の ϵ 近傍という．
関数
f (x, y) =
√
1 − x2 − y 2
の定義域 D は
D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}
である．一方関数
g(x, y) = √
1
1 − x2 − y 2
は分母が 0 でない範囲で定義されるから，その定義域は
E = {(x, y) : x2 + y 2 < 1}
である．f (x, y) は D で連続であり．すべての (x, y) ∈ D に対して 0 ≤
f (x, y) ≤ 1 である．一方 g(x, y) も E で連続であるが， (x, y) が単位円
S = {(x, y) : x2 + y 2 = 1}
1.3. いろいろな部分集合
13
に近づくと，g(x, y) の値はいくらでも大きくなる．S は D, E 両方の境
界であるが，
S ⊂ D 他方 S ∩ E = ∅
である．
ここで部分集合 X ⊂ R2 の境界を定義しておこう．X にたいして X に
属さない点の集合を X の補集合 (complement) といって X c であらわす．
X c = {(x, y) ∈ R2 : (x, y) ̸∈ X}
このとき
(a, b) ̸∈ X ⇐⇒ (a, b) ∈ X c
である．また (X c )c = X であるから，
(a, b) ∈ X ⇐⇒ (a, b) ̸∈ X c
である．
他の部分集合 Y があるとき，Y のすべての点が，X の点でもあると
き，Y は X の部分集合 (subset) であるといって Y ⊂ X と書く．Y が
X の部分集合でないのは Y に属するが X には属さない（すなわち X c
に属する) 点があるときである．そのような点は Y ∩ X c の点として表さ
れるから，
Y が X の部分集合でない ⇐⇒ Y ∩ X c ̸= ∅.
定義 1.3.2 R2 の部分集合 X があるとき，R2 の点 (a, b) は X および X
の補集合 X c との関わり具合に応じて次の３種類に分類される．
(i) ある (小さい) ϵ > 0 をとると，Uϵ (a, b) ⊂ X. このとき (a, b) は X
の内点 (inner point) であるという．
(i) ある (小さい) ϵ > 0 をとると，Uϵ (a, b) ⊂ X c . このとき (a, b) は X
の外点 (outer point) であるという．
(iii) 上の (i) も (ii) も成り立たない，すなわちどのような ϵ > 0 に対し
ても Uϵ (a, b) が X に含まれることもなく，X c に含まれることもな
い, すなわち
Uϵ (a, b) ∩ X c ̸= ∅, Uϵ (a, b) ∩ X ̸= ∅.
このとき (a, b) は X の境界点 (boundary point) であるという．
第1章
14
偏微分法
補題 1.3.3
(a, b) が X の内点 ⇐⇒ (a, b) が X c の外点
(a, b) が X の外点 ⇐⇒ (a, b) が X c の内点
(a, b) が X の境界点 ⇐⇒ (a, b) が X c の境界点
定義 1.3.4 R2 の部分集合 X があるとき，
(i) X の内点を全部集めてできる集合を X i で表し，X の内部という．
(ii) X の外点を全部集めてできる集合を X o で表し，X の外部という．
(iii) X の境界点を全部集めてできる集合を X b で表し，X の境界という．
(iv) X i ∪ X b = X と表し，これを X の閉包 (closure) という．
補題 1.3.5 (a, b) ∈ X である条件は
任意の ϵ > 0 に対して Uϵ (a, b) ∩ X ̸= ∅.
(1.4)
証明 (X)c = X o であるから，(a, b) ∈ X であることは (a, b) が X の外
点でないことである．(a, b) が X の外点でないことは (1.4) が成り立つ
ことである．
✷
例 1.3.6
√
√
x2 + y 2 ≤ 1}, E = {(x, y) : x2 + y 2 < 1},
√
√
F = {(x, y) : x2 + y 2 > 1}, S = {(x, y) : x2 + y 2 = 1}
D = {(x, y) :
とおく．このとき
Di = E, Db = S, Do = F, D = D.
E i = E, E b = S, E o = F, E = D.
X の内点はもちろん X の点である．また X の外点は X c の点である．
X b の点は X に属する場合もあり，X c に属することもある．一般的に
次の包含関係が成り立つ．
Xi ⊂ X ⊂ X
1.3. いろいろな部分集合
15
定義 1.3.7 X i = X のとき，X は開集合 (open set) であるという．X = X
のとき，X は閉集合 (closed set) であるという．
例 1.3.8
(1)
√
x2 + y 2 ≤ 1}
√
E = {(x, y) : x2 + y 2 < 1}
√
E \ {0} = E = {(x, y) : 0 < x2 + y 2 ≤ 1}
D = {(x, y) :
とおく． D は閉集合であり，E は開集合である．E \ {0} は開集
合でもなく，閉集合でもない．
(2)
F = {(x, y) :
√
(x − a)2 + (y − b)2 > 1},
√
G = {(x, y) : (x − a)2 + (y − b)2 ≥ 1},
√
H = {(x, y) : 1 < (x − a)2 + (y − b)2 ≤ 2}
とおく． F は開集合であり， G は閉集合である．H は開集合でも
なく，閉集合でもない．
(3)
A = {(x, y) : −1 < 2x−3y < 1}, B = {(x, y) : −1 ≤ 2x−3y ≤ 1},
C = {(x, y) : −1 < 2x − 3y ≤ 1}
とおく．A は開集合，B は閉集合，C は開集合でも閉集合でもない．
(4) 空集合 ∅ と R2 は開集合でもあり，閉集合でもある．
次の命題を容易に確かめることができる．
命題 1.3.9 (i) X が開集合 ⇐⇒ X ⊂ X i ⇐⇒ X の任意の点 (a, b) に
対して，Uϵ (a, b) ⊂ X であるような ϵ > 0 がある．
(ii) X が閉集合 ⇐⇒ X b ⊂ X ⇐⇒ 全ての ϵ > 0 に対して，Uϵ (a, b) ∩
X ̸= ∅ であるような点 (a, b) は X の点である．
(iii) X が開集合 ⇐⇒ X c が閉集合，X が閉集合 ⇐⇒ X c が開集合．
第1章
16
偏微分法
定義 1.3.10 R2 の部分集合 X が，ある矩形
K = [a, b] × [c, d] = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
(1.5)
に含まれるとき，すなわち X ⊂ K であるような K があるとき，X は
有界 (bounded) である，あるいは有界集合であるという．
n = 1, 2, · · · に対して R2 の点 Pn = (xn , yn ) が定まっているとき，点
2
∞
列 {Pn }∞
n=1 があるという．R の点列 {Pn }n=1 は Pn ∈ K, n = 1, 2, · · ·
であるような矩形 K があるとき，有界な点列であるという．
Rn の点列 {Pn }∞
n=1 に対して，limn→∞ ∥Pn − A∥ = 0 である点 A があ
るとき，limn→∞ Pn = A と書き，{Pn } が A に収束する，あるいは A は
{Pn } の極限点であるという．Pn = (xn , yn ), A = (a, b) とすると
√
∥Pn − A∥ = (xn − a)2 + (yn − b)2
であるから，
lim Pn = A ⇐⇒ lim xn = a,
n→∞
n→∞
lim yn = b
n→∞
である．
補題 1.3.11 limP →A f (P ) = α, limn→∞ Pn = A ならば，
lim f (Pn ) = α
n→∞
である．
補題 1.3.12 閉集合 X に含まれる点列が収束するならば，その極限点
は X に含まれる．
証明 Pn ∈ X, n = 1, 2, · · · , であり，limn→∞ Pn = A とする．limn→∞ ∥Pn −
A∥ であるから，任意の ϵ > 0 にたいして，
n > n0 =⇒ ∥Pn − A∥ < ϵ
であるような n0 がある．したがって特に n1 = n0 +1 とおくと ∥Pn1 −A∥ <
ϵ である．つまり Pn1 ∈ Uϵ (A) ∩ X となり，Uϵ (A) ∩ X ̸= ∅ が任意の ϵ > 0
に対して成り立つ．ゆえに命題 1.3.9 により A ∈ X である．
✷
1.3. いろいろな部分集合
17
補題 1.3.13 有界な点列は収束する部分列を含む．
証明 Pn = (xn , yn ), n = 1, 2, · · · が有界な点列であり，Pn ∈ K = [a, b]×
[c, d], n = 1, 2, · · · とする．a ≤ xn ≤ b であるから，数列 {xn } は有界な
数列である．したがって {xn }∞
n=1 は収束する部分列
{xn(j) }∞
j=1 , (n(1) < n(2) < n(3) < · · · < n(j) < · · · )
を含む．
lim xn(j) = ξ
j→∞
とおく．Qj = (xn(j) , yn(j) ) = Pn(j) , j = 1, 2, · · · とおくと，点列 {Qj }∞
j=1
は点列 {Pn }∞
の部分列である．
n=1
∞
このとき {yn(j) }∞
j=1 は数列 {yn }n=1 の部分列である．c ≤ yn ≤ d であ
るから，c ≤ yn(j) ≤ d であり，数列 {yn(j) }∞
j=1 は有界な数列である．し
たがって {yn(j) }∞
j=1 は収束する部分列
{yn(j(k)) }∞
k=1 , (j(1) < j(2) < j(3) < · · · < j(k) < · · · )
を含む．
lim yn(j(k)) = η
k→∞
とおく．このとき limk→∞ j(k) = ∞ であるから
lim xn(j(k)) = lim xn(j) = ξ.
k→∞
j→∞
ゆえに Rk = Qk(j) = Pn(j(k)) = (xn(j(k)) , yn(j(k)) ), k = 1, 2, · · · とおくと，
∞
点列 {Rk }∞
k=1 は点列 {Qj }j=1 の部分列であり，limk→∞ Rk = (ξ, η) であ
∞
∞
∞
る．{Qj }∞
j=1 は {Pn }n=1 の部分列であるから， {Qj }j=1 の部分列 {Rk }k=1
は点列 {Pn }∞
n=1 の部分列である（部分列の部分列は部分列）．ゆえに点
∞
✷
列 {Pn }n=1 は (ξ, η) に収束する部分列 {Rk }∞
k=1 を含む．
１変数関数に関する定理：
「有界な閉区間で連続な１変数関数はその区
間で最大値最小値をとる」は２変数関数の場合，次のようになる．
定理 1.3.14 R2 の有界な閉集合 D で連続な実数関数 f (x, y) は D にお
いて，最大値と最小値をとる．
第1章
18
偏微分法
証明 K を (1.5) のような矩形とし，D ⊂ K とする．K を縦横に n 等分
して n2 個の小矩形に分ける．その結果できる矩形を Kijn , i, j = 1, · · · , n
と書く．ai = a + i b−a
, cj = c + j d−c
とおくと
n
n
Kij (n) = {(x, y) : ai−1 ≤ x ≤ ai , bj−1 ≤ y ≤ bj }
である．D ⊂ K = ∪ni,j=1 Kij (n) であるから，
D =D∩K =D∩
n
∪
Kij (n) =
i,j=1
n
∪
(D ∩ Kij (n))
(1.6)
i,j=1
Dij (n) = D ∩ Kij (n) とおく． Dij (n) = ∅ である場合もあるが，そのよ
うなものは除いて Dij (n) ̸= ∅ であるものを Eij (n) とおく．Eij (n) から
１点ずつ点を取り出し，その点を Pij (n) = (xij (n), yij (n)) ∈ Eij (n) とす
る．このようにしてできる点 Pij (n) の個数は高々 n2 である．このとき
f (Pij (n)) の値も高々 n2 個であるから，その中で最大であるものがある．
この最大値をとる点を M (n) = (un , vn ) とおくと，
f (Pij (n)) ≤ f (M (n)), i, j = 1, 2, · · · , n.
(1.7)
点列 {M (n)}∞
n=1 は K に含まれる点列であるから，有界である．ゆえ
に補題 1.3.13 により，{M (n)}∞
n=1 は収束する部分列を含む．したがって
1 ≤ n(1) < n(2) < · · · < n(k) < · · · である自然数の列 {n(k)}∞
k=1 によ
n
n
り，その部分列は {M (n(k))}k=1 = {(un(k) , vn(k) )}k=1 と表され，極限
lim un(k) = ξ,
k→∞
lim vn(k) = η
k→∞
が存在する．(ξ, η) = M とおくと，補題 1.3.12 により，M ∈ D である．
f (x, y) は D のすべての点において連続であるから，点 M ∈ D におい
て連続である．したがって
lim f (M (n(k))) = lim f (un(k) , vn(k) ) = f (ξ, η) = f (M ).
k→∞
k→∞
(1.8)
D の点 P = (x, y) ∈ D を任意に一つとり，以下固定する．D =
∪ij Eij (n) であるから，n = 1, 2, · · · に対して
P ∈ Ei(n),j(n) (n)
(1.9)
であるような (i(n), j(n)) がある．このとき Ei(n),j(n) (n) = F (n) とおく．
Q(n) = Pi(n),j(n) (n) n = 1, 2, · · ·
1.4. 偏微分と全微分
19
とおくと, P, Q(n) はともに F (n) の点である．その２点間の距離 ∥P −
√
Q(n)∥ は矩形 F (n) の対角線の長さ (a − b)2 + (c − d)2 /n 以下である：
√
(a − b)2 + (c − d)2
∥P − Q(n)∥ ≤
n
したがって点列 {Q(n)}∞
n=1 は P に収束する．f (x, y) は D のすべての
点において連続であるから，limn→∞ f (Q(n)) = f (P ) であり，部分列を
とって
lim f (Q(n(k))) = f (P ).
(1.10)
k→∞
(1.7) より
f (Q(n)) = f (Pi(n),j(n) (n)) ≤ f (M (n)), n = 1, 2, · · ·
であるから，
f (Q(n(k))) ≤ f (M (n(k))), k = 1, 2, · · ·
(1.11)
も成り立つ．ゆえに (1.8),(1.10), (1.11) により，
f (P ) = lim f (Q(n(k))) ≤ lim f (M (n(k))) ≤ f (M ).
k→∞
k→∞
P は D の任意の点であるから，f (M ) は D における f (P ) の最大値で
ある．
最小値の存在も同様に証明できる．
✷
1.4
偏微分と全微分
多変数関数の変化の様子を調べるために，偏導関数を用いる．しかし，
偏導関数のみでは変化を十分にとらえきれず，全微分の考え方を導入す
る必要がある．
1.4.1
偏導関数
関数 z = f (x, y) において，y の値を一定とした場合できる関数は x の
１変数関数である．たとえば y = 1 とすれば，z = f (x, 1) は x のみの関
数である．また x = 1 とすれば，z = f (1, y) は y のみの関数である．
第1章
20
偏微分法
例 1.4.1 z = f (x, y) = 2x − 3y + 1 のとき，
z = f (x, 1) = 2x − 2, z = f (1, y) = −3y + 3
z = f (x, y) = sin(x − y) のとき，
z = f (x, π) = sin(x − π) = − sin x, z = f (π, y) = sin(π − y) = cos y.
関数 z = f (x, y) において，y を定数とみなして，z = f (x, y) を x の
みの関数として微分することを z = f (x, y) を x に関して偏微分すると
いう．その結果できる関数を
∂z ∂f
,
(x, y), zx , fx (x, y)
∂x ∂x
等と表す．同様に x を定数とみなして，z = f (x, y) を y のみの関数とし
て微分することを z = f (x, y) を y に関して偏微分するという．その結果
できる関数を
∂z ∂f
,
(x, y), zy , fy (x, y)
∂y ∂y
等と表す．
1 変数関数の微分公式と同様の公式がなりたつ．
∂f ∂g
,
が存在するならば，
∂x ∂x
∂
∂f
∂g
∂
∂f
(f ± g) =
±
,
(cf ) = c
(c は定数)
∂x
∂x ∂x ∂x
∂x
∂f
g − f ∂g
∂
∂f
∂g
∂ f
(f g) =
g+f ,
= ∂x 2 ∂x (g ̸= 0)
∂x
∂x
∂x ∂x g
g
∂f ∂g
,
∂y ∂y
が存在するならば，
∂
∂f
∂g
∂
∂f
(f ± g) =
±
,
(cf ) = c
(c は定数)
∂y
∂y ∂y ∂y
∂y
∂f
∂g
g − f ∂y
∂
∂f
∂g
∂ f
∂y
(f g) =
g+f ,
=
(g ̸= 0)
∂y
∂y
∂y ∂y g
g2
例 1.4.2 z = f (x, y) = 2x − 3y + 1 のとき，
zx = 2, zy = −3.
1.4. 偏微分と全微分
21
z = f (x, y) = x2 − 2xy + 3y 2 − 4x + 5y のとき，
zx = 2x − 2y − 4, zy = −2x + 6y + 5
z = f (x, y) = sin(x − y) のとき，
zx = cos(x − y), zy = − cos(x − y)
計算上はこのように考えて偏微分すればよいのであるが，偏導関数の意
味を正確にとらえるために微分の定義に立ち返って，偏導関数を定義す
ると次のようになる．
定義 1.4.3 極限値
lim
h→0
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
h
が存在するとき，f (x, y) は (x0 , y0 ) において x に関して偏微分可能である
といい，この極限値を ∂f
(x0 , y0 ) であらわし，f (x, y) の (x, y) = (x0 , y0 )
∂x
における x に関する偏微分係数という．
極限値
f (x0 , y0 + k) − f (x0 , y0 )
k→0
k
lim
が存在するとき，f (x, y) は (x0 , y0 ) において y に関して偏微分可能である
といい，この極限値を ∂f
(x0 , y0 ) であらわし，f (x, y) の (x, y) = (x0 , y0 )
∂y
における y に関する偏微分係数という．
関数 z = f (x, y) の偏微分係数の表し方は，次のようにいろいろある．
∂f
∂z
(x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ) = zx (x0 , y0 ).
∂x
∂x
∂z
∂f
(x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ) = zy (x0 , y0 ).
∂y
∂y
f (x, y) の定義域 D の各点で偏微分可能であるとき，D で定義される関
(x, y), ∂f
(x, y) ができるが，それらを f (x, y) の偏導関数という．
数 ∂f
∂x
∂y
∂f ∂f
偏導関数 ∂x , ∂y がさらに偏微分可能な場合，それらの偏導関数として
２次の偏導関数が考えられる．それらを次のように表す．
∂ ∂f
∂2f
∂ ∂f
∂ 2f
=
=
f
,
=
= fxy ,
xx
∂x ∂x
∂x2
∂y ∂x
∂y∂x
第1章
22
偏微分法
∂ ∂f
∂ 2f
∂ ∂f
∂ 2f
=
= fyx ,
=
= fyy ,
∂x ∂y
∂x∂y
∂y ∂y
∂y 2
微分の順序により，上のように４種類の２次偏導関数ができる．∂ 記号
を使う場合と，下付き添え字で表すとで，文字の順序が異なることに注
意を要する. 関数を z = f (x, y) と表したときは
∂ ∂f
∂ 2z
∂ ∂f
∂2z
=
=
z
,
=
= zxy
xx
∂x ∂x
∂x2
∂y ∂x
∂y∂x
∂ ∂f
∂ 2z
∂ ∂f
∂ 2z
=
= zyx ,
= 2 = zyy
∂x ∂y
∂x∂y
∂y ∂y
∂y
である．
例 1.4.4 z = f (x, y) = x3 − 2x2 y − y 3 + 4x2 + xy − 5y 2 の場合には
zx = 3x2 − 4xy + 8x + y, zy = −2x2 − 3y 2 + x − 10y
∂
∂
zx = 6x − 4y + 8, zxy =
zx = −4x + 1,
∂x
∂y
∂
∂
=
zy = −4x + 1, zyy =
zy = −6y − 10,
∂x
∂y
zxx =
zyx
1.4.2
方向微分，全微分
１変数関数 y = f (x) が x = a で微分可能ならば，x = a で連続，つま
り，limx→a f (x) = f (a) であった．実際 x ̸= a のとき
f (x) − f (a) =
f (x) − f (a)
(x − a)
x−a
と変形できるから，
f (x) − f (a)
lim (x − a) = f ′ (a) × 0 = 0.
x→a
x→a
x−a
lim (f (x) − f (a)) = lim
x→a
ゆえに limx→a f (x) = f (a) が成り立つ．同様に fx (a, b) が存在するならば，
limx→a f (x, b) = f (a, b) であり，fy (a, b) が存在するならば，limy→b f (a, y) =
f (a, b) である．すなわち (x, y) が x 軸に平行な方向, あるいは y 軸に
平行な方向から (a, b) に近づくとき関数値 f (x, y) は f (a, b) に収束する．
しかしそうでない方向から (x, y) が (a, b) に近づくとき，このような収
束性が成り立たない場合がある．
1.4. 偏微分と全微分
例 1.4.5
f (x, y) =
{
xy
x2 +y 2
0
23
(x, y) ̸= (0, 0) のとき
(x, y) = (0, 0) のとき
の場合，f (x, 0) = f (0, y) = 0 であるから，これらの１変数関数は連続で，
fx (x, 0) = fy (0, 0) = 0, とくに fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0 である．しかし
lim(x,y)→(0,0) f (x, y) は存在しないから，f (x, y) は (0, 0) で連続ではない．
偏微分係数は x 軸あるいは y 軸に平行な直線上での関数値の変化を調べ
ているだけである．その他の方向での変化を調べるために，(h, k) ̸= (0, 0)
に対して
(x, y) = (a, b) + t(h, k) = (a + th, b + tk)
により定義される t をパラメタとする直線をとる．これは t = 0 のとき，
(x, y) = (a, b) であり，ベクトル (h, k) に沿って (a, b) から延びる直線で
ある．この直線上の f (x, y) の値は f (a + th, b + tk) のようにかける．今
f (a + th, b + tk) − f (a, b)
= Ah,k
t→0
t
lim
が存在するとき，この値をベクトル X = (h, k) に沿った f (x, y) の微分
係数といい，Ah,k = (DX f )(a, b) のようにかく．X = (cos θ, sin θ) の場合
には
f (a + t cos θ, b + t sin θ) − f (a, b)
t→0
t
DX (a, b) = lim
であり，θ 方向の方向微分係数という．X = (1, 0) の場合には DX f (a, b) =
fx (a, b) であり，X = (0, 1) の場合には DX f (a, b) = fy (a, b) である．
DX (a, b) が存在するならば，
lim f (a + th, b + tk) = f (a, b)
t→0
である．
例 1.4.5 の関数の場合，
D(1,0) f (0, 0) = f(0,1) f (0, 0) = 0
である，X = (h, k) の場合，t ̸= 0 のとき
)
(
1
1 hk
t2 hk
f (0 + th, 0 + tk) − f (0, 0)
=
−0 =
．
2
2
2
t
t t (h + k )
t h2 + k 2
第1章
24
偏微分法
h ̸= 0, k ̸= 0 ならば，t → 0 のとき，この値は収束しない．すなわち，
(h, k) に沿った微分係数は (0, 0) で存在しない．
それでは，あらゆる X に沿った微分係数が存在するならば，連続であ
るかと言えば，そうでない場合がある．
例 1.4.6 次のような関数を考える。

x8

(x, y) ̸= (0, 0)
f (x, y) =
(y − x2 )2 + x8

0
(x, y) = (0, 0)
(x, y) ̸= (0, 0) において分母は 0 でないから，この関数は定義できてい
る．直線 (x, y) = t(h, k) に沿った f (x, y) の値は
f (th, tk) =
t8 h8
t6 h8
=
.
t2 (k − th2 )2 + t8 h8
(k − th2 )2 + t6 h8
であるから、limt→0 f (th, tk) = 0. しかし放物線 y = x2 のうえで
f (x, x2 ) =
x8
=1
x8
であるから、原点でこの関数は原点で連続ではない。一方ベクトル X =
(h, k) ̸= (0, 0) に沿った (x, y) = (0, 0) における微分は
1
t 8 h8
t 5 h8
=
lim
t→0 t t2 (k − th2 )2 + t8 h8
t→0 (k − th2 )2 + t6 h8
DX f (0, 0) = lim
最後の極限は k ̸= 0 のとき
t 5 h8
0
=
= 0,
t→0 (k − th2 )2 + t6 h8
k2
lim
k = 0 のときは h ̸= 0 であるから
t5 h8
t 5 h8
t3 h8
0
=
lim
=
lim
= 4 =0
2
2
6
8
2
2
6
8
4
4
8
t→0 (k − th ) + t h
t→0 (−th ) + t h
t→0 h + t h
h
lim
ゆえに関数 f (x, y) はあらゆるベクトル X = (h, k) ̸= (0, 0) に沿って原
点で微分可能で DX f (0, 0) = 0 であるが，原点で連続ではない。
1.4. 偏微分と全微分
25
微分可能性から連続性が導かれるようにするには，微分の意味をさら
に考えなおす必要がある．
1 変数関数 f (x) が x = a で微分可能であるとき、α = f ′ (a) とおき

 f (a + t) − f (a)
− α (t ̸= 0)
ϕ(t) =
t
 0
(t = 0)
とおく。このとき微分の定義から
lim ϕ(t) = 0
(1.12)
t→0
であり、
f (a + t) = f (a) + αt + ϕ(t)t
(1.13)
と表される。逆にこの二つの関係 (1.12), (1.13) が成り立つような定数 α
と t = 0 の近くで定義された関数 ϕ(t) が存在すれば、f (x) は x = a で
微分可能で f ′ (a) = α である。微分可能性がこの二つの関係式で定義で
きるのである。このことから、f (x) が x = a で微分可能ならば、x = a
で連続であることが直ちに導かれる。
この考え方を２変数関数の場合に拡張する。まず点 (a, b) は f (x, y) の
定義域 D の内点であるとする．ゆえに (a, b) を中心とするある半径 r > 0
の円 Ur (a, b) をとると
Ur (a, b) = {(x, y) :
√
(x − a)2 + (y − b)2 < r} ⊂ D
√
h2 + k 2 < r に対して, (a + h, b + k) ∈ Ur (a, b) であり，
√
(1.14)
f (a + h, b + k) − f (a, b) = mh + nk + ϕ(h, k) h2 + k 2
とする. このとき
lim
ϕ(h, k) = 0
(1.15)
(h,k)→(0,0)
であるような定数 m, n と， (h, k) ∈ Ur (0, 0) で定義された関数 ϕ(h, k)
が存在するとき、f (x, y) は (a, b) で全微分可能であるといい、行ベクト
ル (m, n) を f (x, y) の (a, b) における全微分といって
Df (a, b) = [m, n] (２次行ベクトル)
とかく。
第1章
26
偏微分法
補題 1.4.7 f (x, y) が (a, b) で全微分可能であるとする。このとき
(i) f (x, y) は (a, b) で連続である。
(ii) f (x, y) は (a, b) であらゆるベクトル X = (h, k) ̸= (0, 0) にそって
微分可能で
DX f (a, b) = mh + nk.
(1.16)
とくに
fx (a, b) = m, fy (a, b) = n
(1.17)
であるから，(1.16) は次のように表される．
DX f (a, b) = fx (a, b)h + fy (a, b)k.
証明 (i) (1.14) が成り立てば，
lim
f (a + h, b + k) = f (a, b)
(h,k)→(0,0)
である．
√
(ii) (1.14) において x = a+th, y = b+tk と代入すると, (th)2 + (tk)2 <
r のとき
√
f (a + th, b + tk) − f (a, b) = m(th) + n(tk) + ϕ(th, tk) (th)2 + (tk)2
√
√
(th)2 + (tk)2 = |t| h2 + k 2 であるから，
=
f (a + th, b + tk) − f (a, b)
− (mh + nk)
t
√
√
ϕ(th, tk)|t| h2 + k 2
= |ϕ(th, tk)| h2 + k 2 → 0 (t → 0)
t
ゆえに (1.16) が成り立つ．
X = (1, 0) のとき DX f (a, b) = fx (a, b), Y = (0, 1) のとき DY f (a, b) =
fy (a, b) であるから，(1.17) が成り立つ．
✷
定義 1.4.8 ベクトル (fx (a, b), fy (a, b)) を f (x, y) の (a, b) における勾配
ベクトル (gradient vector) といい、∇f (a, b) と表すこともある:
∇f = (fx , fy )
1.4. 偏微分と全微分
27
定理 1.4.9 f (x, y) が (a, b) のある近傍 Ur (a, b) の各点で偏微分可能で、
fx , fy が連続ならば、f (x, y) は (a, b) で全微分可能である。
証明
∥(h, k)∥ < r とする。平均値の定理により
f (a + h, b + k) − f (a, b)
= f (a + h, b + k) − f (a, b + k) + f (a, b + k) − f (a, b)
= fx (a + σh, b + k)h + fy (a, b + θk)k
= fx (a, b)h + (fx (a + σh, b + k) − fx (a, b))h
+fy (a, b)k + (fy (a, b + θk) − fy (a, b))k
であるような σ, θ ∈ (0, 1) が存在する。したがって
∆fx (h, k) = fx (a + σh, b + k) − fx (a, b),
∆fh (h, k) = fy (a, b + θk) − fy (a, b)
とおくと
f (a+h, b+k)−f (a, b) = fx (a, b)h+fy (a, b)k +∆fx (h, k)h+∆fy (h, k)k
と表される．右辺の第 3,4 項をまとめて
ψ(h, k) = ∆fx (h, k)h + ∆fy (h, k)k.
とおくと Cauchy-Schwarz の不等式により
√
√
|ψ(h, k)| ≤ (∆fx (h, k))2 + (∆fy (h, k))2 h2 + k 2 .
であるから、
|ψ(h, k)|
√
≤
h2 + k 2
√
(∆fx (h, k))2 + (∆fy (h, k))2
fx , fy が (a, b) で連続ならば、(h, k) → (0, 0) のときこの右辺は 0 に収束
する。ゆえに
ψ(h, k)
√
= 0.
(h,k)→(0,0)
h2 + k 2
lim
第1章
28
偏微分法
以上により，
m = fx (a, b), n = fy (a, b)
{
ψ(h,k)
√
(h, k) ̸= (0, 0) のとき
h2 +k2
ϕ(h, k) =
0
(h, k) ̸= (0, 0) のとき
とおくと，(1.14), (1.15) が成り立つ．
✷
(a, b) における f (x, y) の全微分を考えるとき， f (x, y) は (a, b) のあ
る近傍全体で定義されている必要がある．f (x, y) の定義域が開集合なら
ばこの条件が成り立つ．
定義 1.4.10 関数 f (x, y) の偏導関数 fx (x, y), fy (x, y) が開集合 D の各
点で存在して連続であるとき，f (x, y) は D において連続微分可能であ
る，あるいは C 1 級の関数であるという．f (x, y) の n 次までの偏導関数
が存在して連続であるときは，n 回連続微分可能である，あるいは C n 級
の関数であるという．C n 級の関数の集合を C n (D) とあらわす． C ∞ (D)
は全ての次数の偏導関数が存在して連続である関数の集合を表す．
系 1.4.11 f (x, y) が開集合 D において連続微分可能ならば，D におい
て全微分可能で連続である．
1.4.3
接平面
f (x, y) は (a, b) で全微分可能であるとする．全微分可能条件 (1.14),(1.15)
は，x − a = h, y − b = k とおくと，
f (x, y) − f (a, b) = fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)
√
+ ϕ(x − a, y − b) (x − a)2 + (y − b)2
lim
(x,y)→(a,b)
(1.18)
ϕ(x − a, y − b) = 0
と表される．そのグラフの上の点 (a, b, f (a, b)) を含む平面
π : z = f (a, b) + fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)
を考える。右辺は全微分の定義の右辺 (1.18) から
√
ϕ(x − a, y − b) (x − a)2 + (y − b)2
(1.19)
1.4. 偏微分と全微分
29
を除いた１次式である。y = b とおくと、
z = f (a, b) + fx (a, b)(x − a)
であり、これは 1 変数関数 z = f (x, b) の x = a における接線 L の方程
式である。x = a とおくと、
z = f (a, b) + fy (a, b)(y − b)
であり、これは 1 変数関数 z = f (a, y) の y = b における接線 M の方程
式である。また (a, b) を通り (h, k) 方向の直線 x = a + th, y = b + tk の
うえで z = f (x, y) の値は
z = f (a + th, b + tk)
(1.20)
と表される．
dz
(0) = fx (a, b)h + fy (a, b)k
dt
であるから (1.20) のグラフの t = 0 における接線 N は
z = z(0) + z ′ (0)(t − 0) = f (a, b) + (fx (a, b)h + fy (a, b)k)t
= f (a, b) + fx (a, b)(th) + fy (a, b)(tk)
いま th = x − a, tk = y − b であるから，この接線上 N の点 (x, y, z) は
(1.19) で定義される平面 π 上にある．
ゆえに π はこの接線 L, M, N を含む平面である。平面 π を, z =
f (x, y) のグラフの点 (x, y) = (a, b) における接平面という．
接平面 π が S に接する様子をみる．そのために補題を一つ用意しよう．
補題 1.4.12 点 P (x0 , y0 , z0 ) から平面 z = ax + by + c に下ろした垂線
P H の長さは
PH =
|z0 − ax0 − by0 − c|
√
a2 + b2 + 1
証明 (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) を平面上の異なる２点とすると、
z1 = ax1 + by1 + c,
z2 = ax2 + by2 + c
第1章
30
偏微分法
であるから、
a(x1 − x2 ) + b(y1 − y2 ) − (z1 − z2 ) = 0
であるから、ベクトル (a, b, −1) はベクトル (x1 , y1 , z1 ) − (x2 , y2 , z2 ) に直
交する。ゆえに P から平面 z = ax + by + c に引く垂線はパラメタ t を
用いて
(x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + t(a, b, −1) = (x0 + at, y0 + bt, z0 − t)
と表される。したがって H(x, y, z) が平面 z = ax + by + c 上にある条件
は，t が
z0 − t = a(x0 + ta) + b(y0 + tb) + c
を満たすこととなる．これをとくと
t=
z0 − ax0 − by0 − c
.
a2 + b2 + 1
ゆえに
√
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2
√
|z0 − ax0 − by0 − c|
√
= |t a2 + b2 + 1| =
a2 + b2 + 1
PH =
✷.
定理 1.4.13 関数 z = f (x, y) が (a, b) で全微分可能であるとし、この関
数のグラフ S 上に点
P (a, b, f (a, b)) と、他の点 Q(x, y, f (x, y)), ((x, y) ̸= (a, b))
をとり、Q から接平面 π に垂線 QH をひく。線分 P Q と接平面 π のな
であるが，このとき
す角を θ とすると，sin θ = QH
PQ
QH
= 0.
(x,y)→(a,b) P Q
lim
したがって Q が P に近づくとき θ → 0 である．
(1.21)
1.4. 偏微分と全微分
31
証明 (1.21) を示せば十分である．補題 1.4.12 により
|f (x, y) − f (a, b) − fx (a, b)(x − a) − fy (a, b)(y − b)|
√
fx (a, b)2 + fy (a, b)2 + 1
≤ |f (x, y) − f (a, b) − fx (a, b)(x − a) − fy (a, b)(y − b)|.
QH =
また
PQ =
√
√
(x − a)2 + (y − b)2 + (f (x, y) − f (a, b))2 ≥ (x − a)2 + (y − b)2 .
ゆえに
QH
|f (x, y) − f (a, b) − fx (a, b)(x − a) − fy (a, b)(y − b)|
√
≤
PQ
(x − a)2 + (y − b)2
= |ϕ(x − a, y − b)|
であるから、定理を得る。
1.4.4
✷
勾配ベクトル場
z = f (x, y) が連続微分可能ならば，ベクトル X = (h, k) に対して方向
微分は DX f (a, b) = fx (a, b)h + fy (a, b)k であった．したがって方向微分
の定義により，
f (a + th, b + tk) − f (a, b)
= fx (a, b)h + fy (a, b)k
t→0
t
lim
である．この右辺は勾配ベクトル ∇f = (fx (a, b), fy (a, b)) とベクトル
X = (h, k) の内積である．したがって，この二つのベクトルの間の角を
θ とすると，
√
f (a + th, b + tk) − f (a, b)
= ∥∇f (a, b)∥ h2 + k 2 cos θ
t→0
t
lim
(a, b) を通る直線
x = a + th, y = b + tk
(1.22)
上での z = f (x, y) の値は，z(t) = f (a + th, b + tk) のように表される．
z ′ (0) が f (x, y) の X = (h, k) における方向微分である．したがって次の
定理が成り立つ．
第1章
32
偏微分法
定理 1.4.14 f (x, y) が連続微分可能であり，
∇f (a, b) = (fx (a, b), fy (a, b)) ̸= (0, 0), X = (h, k) ̸= (0, 0)
とし，この二つのベクトルの間の角を θ とする．
• 0 ≤ θ < π2 のとき直線 (1.22) に沿って f (x, y) の値は (x, y) = (a, b)
の近くで増加する．
•
< θ ≤ π のとき直線 (1.22) に沿って f (x, y) の値は (x, y) = (a, b)
の近くで減少する．
π
2
• 特に ∇f (a, b) は (a, b) において f (x, y) が一番増大する向きを表す．
定義 1.4.15 関数 f (x, y) があるとき．その定義域 D の各点 P (x, y) に
おいて，P を始点とするベクトル
−→
P Q = ∇f = (fx (x, y), fy (x, y))
を対応させるとき，この対応を f (x, y) の勾配ベクトル場という．
例 1.4.16 (1) f (x, y) = x2 + y 2 のとき，点 P (a, b) において，
∇f (a, b) = (2a, 2b)
である．原点を O とすると，このベクトルは 2OP であり，f (x, y) は原
点から遠ざかる方向で増大する．
(2) f (x, y) = x2 − y 2 のとき，点 P (a, b) において，
∇f (a, b) = (2a, −2b)
である，P が第１象限にあれば，∇f (a, b) は下右向き，P が第 2 象限に
あれば，∇f (a, b) は下左向き，P が第 3 象限にあれば，∇f (a, b) は下右
向き，P が第４象限にあれば，∇f (a, b) は上右向きである．
1.4.5
合成関数の微分
いま t をパラメタとする (a, b) を通る直線
x = ϕ(t) = a + th, y = ψ(t) = b + tk
1.4. 偏微分と全微分
33
をとると，z(t) = f (a + th, b + tk) = f (ϕ(t), ψ(t)) と表され，これは
f (x, y) に x = ϕ(t), y = ψ(t) を代入してできる１変数関数である. ϕ′ (0) =
h, ψ ′ (0) = k であるから，fX (a, b) = fx (a, b)h + fy (a, b)k は次のように書
き直せる．
z ′ (0) = fx (ϕ(0), ψ(0))ϕ′ (0) + fy (ϕ(0), ψ(0))ψ ′ (0).
x = ϕ(t), y = ψ(t) が直線でない場合にも同様の関係式が成り立つことを
以下で示す．
たとえば z が x, y の２変数関数により
z = f (x, y) = x4 − x2 y 3 − y 4
と表されるとき，x, y に微分可能な関数 x = ϕ(t), y = ψ(t) を代入すると
z = ϕ(t)4 − ϕ(t)2 ψ(t)3 − ψ(t)4
により z は１変数の関数になる．このとき合成関数の微分法により，次
の関係式が成り立つ．
=
=
=
=
=
dz
dt
4ϕ(t)3 ϕ′ (t) − 2ϕ(t)ϕ′ (t)ψ(t)3 − ϕ(t)2 (3ψ(t)2 )ψ ′ (t) − 4ψ(t)3 ψ ′ (t)
dx
dx
dy
dy
4x3
− 2x y 3 − x2 3y 2 − 4y 3
dt
dt
dt
dt
dy
dx
(4x3 − 2xy 3 ) + (−x2 3y 2 − 4y 3 )
dt
dt
dx
dy
fx (x, y) + fy (x, y)
dt
dt
∂z dx ∂z dy
+
∂x dt
∂y dt
このような合成関数の微分法則が一般的に成り立つ．
定理 1.4.17 z = f (x, y) が開集合 D で全微分可能で（たとえば D にお
いて偏導関数が連続ならば全微分可能）、x = ϕ(t), y = ψ(t) が t の区
間 I で微分可能で (ϕ(t), ψ(t)) ∈ D(t ∈ I) とする。このとき合成関数
z = f (ϕ(t), ψ(t)) は I で微分可能で
d
f (ϕ(t), ψ(t)) = fx (ϕ(t), ψ(t))ϕ′ (t) + fy (ϕ(t), ψ(t))ψ ′ (t)
dt
(1.23)
第1章
34
偏微分法
が成り立つ。この関係式を省略形でつぎのように表す。
dz
∂z dx ∂z dy
=
+
.
dt
∂x dt
∂y dt
証明 c ∈ I を固定し a = ϕ(c), b = ψ(c) とおく。t = c のとき (1.23)
式は
d
f (x(t), y(t))|t=c = fx (a, b)ϕ′ (c) + fy (a, b)ψ ′ (c)
dt
(1.24)
であるから，この式を証明する．(a, b) で f (x, y) は全微分可能であるから
lim
Φ(∆x, ∆y) = 0
(∆x,∆y)→(0,0)
である関数 Φ を用いて次のことがなりたつ：
f (a + ∆x, b + ∆y) = f (a, b) + fx (a, b)∆x + fy (a, b)∆y
√
+Φ(∆x, ∆y) (∆x)2 + (∆y)2
ここで
∆x = ϕ(c+h)−ϕ(c) = ϕ(c+h)−a, ∆y = ψ(c+h)−ψ(c) = ψ(c+h)−b
ととると、a + ∆x = ϕ(c + h),
のとき
b + ∆y = ψ(c + h) であるから、h ̸= 0
1
(f (ϕ(c + h), ψ(c + h)) − f (a, b))
h
ϕ(c + h) − ϕ(c)
ψ(c + h) − ψ(c)
= fx (a, b)
+ fy (a, b)
h
√h
2
2
(∆x) + (∆y)
+Φ(∆x, ∆y)
.
h
h > 0 ならば
√(
√
)2 (
)2
2
2
√
(∆x) + (∆y)
∆y
∆x
=
+
→ ϕ′ (c)2 + ψ ′ (c)2 (h → 0+)
h
h
h
である。また limh→0 ∆x = 0, limh→0 ∆y = 0 であるから、limh→0 Φ(∆x, ∆y) =
0 である。ゆえに
√
√
(∆x)2 + (∆y)2
= 0 × ϕ′ (c)2 + ψ ′ (c)2 = 0.
lim Φ(∆x, ∆y)
h→0+
h
1.4. 偏微分と全微分
35
同様に
√
lim Φ(∆x, ∆y)
h→0−
√
(∆x)2 + (∆y)2
= 0 × (− ϕ′ (c)2 + ψ ′ (c)2 ) = 0.
h
したがって
1
lim (f (ϕ(c + h), ψ(c + h)) − f (a, b))
h→0 h
ϕ(c + h) − ϕ(c)
ψ(c + h) − ψ(c)
= fx (a, b) lim
+ fy (a, b) lim
h→0
h→0
h
√h
2
2
(∆x) + (∆y)
+ lim Φ(∆x, ∆y)
h→0
h
′
′
= fx (a, b)ϕ (c) + fy (a, b)ψ (c)
✷
パラメタ t を用いて表される曲線
C : (x, y) = (ϕ(t), ψ(t))
(1.25)
は ϕ′ (t), ψ ′ (t) が存在して連続関数であるとき，滑らかな曲線であるとい
う．合成関数の微分公式 (1.23) の右辺は，z = f (x, y) の勾配ベクトル
∇f とパラメタ曲線 C の接ベクトル X = (ϕ′ (t), ψ ′ (t)) との内積である:
∇f · X = fx (ϕ(t), ψ(t))ϕ′ (t) + fy (ϕ(t), ψ(t))ψ ′ (t).
∇f ̸= (0, 0) と X ̸= (0, 0) とする，∇f と X の間の各を θ(t) とすると，
∇f · X = ∥∇f ∥∥X∥ cos θ(t)
が成り立つ．したがって
F (t) = f (ϕ(t), ψ(t))
(1.26)
とおくと，
F ′ (t) = ∥∇f ∥∥X∥ cos θ(t).
以上により，次の定理が成り立つ．
定理 1.4.18 滑らかな曲線 C (1.25) の上での f (x, y) の値 F (t) は ∇f と
C の接ベクトルの間の各 θ(t) が
第1章
36
(i) 0 ≤ θ(t) <
(ii)
π
2
π
2
偏微分法
である t の区間では増加する．
< θ(t) < π である t の区間では減少する．
曲線の接ベクトルの意味を明らかにしておこう．P = (ϕ(a), ψ(a)), Q =
(ϕ(t), ψ(t)) を C 上の点とする．このとき P を始点とし，Q を終点とす
−→
る有向線分は P Q = (ϕ(t) − ϕ(a), ψ(t) − ψ(a)) である．いま
(ϕ′ (a), ψ ′ (a)) ̸= (0, 0)
(1.27)
であるとき C は t = a において正則であるという．そうでないときは特
異であるという．
たとえば ϕ′ (a) ̸= 0 とすると，x = ϕ(t) の逆関数 t = t(x) が存在し連
続である．したがって点 Q が P に近づくことと，t → a とは同値にな
る．また曲線 C は x = ϕ(a) の近くで
y = ψ(ϕ−1 (x))
と表され，関数のグラフになる．１変数関数の逆関数微分の公式より，
dy
dy dt
ψ ′ (t)
=
= ′
dx
dt dx
ϕ (t)
である．同様に ψ ′ (a) ̸= 0 のときは y = ψ(a) の近くで
x = ϕ(ψ −1 (y))
のように表される．１変数関数の逆関数微分の公式より，
dx
dx dt
ϕ′ (t)
=
= ′
dy
dt dy
ψ (t)
である．
定義 1.4.19 ϕ(t), ψ(t) が連続微分可能で (1.27) が成り立つとする．ベ
クトル X = (h, k) が P (ϕ(a), ϕ(a)) における曲線 C の接ベクトルで
あるとは，P に収束する C 上の点列 {Qn (ϕ(tn ), ψ(tn ))} （ただし tn >
a, limn→∞ tn = a）と，正または零の実数の列 {λn } が存在し，
−−→
lim λn P Qn = X
(1.28)
n→∞
(⇐⇒ lim λn (ϕ(tn ) − ϕ(a), ψ(tn ) − ψ(a)) = (h, k))
n→∞
となることである．
(1.29)
1.4. 偏微分と全微分
37
定理 1.4.20 x = ϕ(t), y = ψ(t) が微分可能で (ϕ′ (a), ψ ′ (a)) ̸= (0, 0) であ
るとき，(1.25) で定義される曲線 C の P (a, b) における接ベクトル X は
X = λ(ϕ′ (a), ψ ′ (a))
(λ は任意の正または零の実数)
で与えられる．
証明 X = (h, k) が曲線 C の P (a, b) における接ベクトルとすると，
(1.29) が成り立つ．いまたとえば ϕ′ (a) ̸= 0 とすると，
h = lim λn (ϕ(tn ) − ϕ(a)) = lim λn (tn − a)
n→∞
n→∞
ϕ(tn ) − ϕ(a)
tn − a
より，limn→∞ λn (tn − a) = λ ≥ 0 が存在して,h = λϕ′ (a) である．した
がって
k = lim λn (tn − a)
n→∞
ψ(tn ) − ϕ(a)
= λψ ′ (a).
tn − a
もなりたち，X = λ(ϕ′ (a), ψ ′ (a)) である．
逆に λ ≥ 0 とし，limn→∞ tn = a である任意の数列 {tn } (ただし tn > a)
に対して λn = tnλ−a とおくと，λn ≥ 0 であり，
lim λn (ϕ(tn ) − ϕ(a)) = lim λ
n→∞
n→∞
ϕ(tn ) − ϕ(a)
= λϕ′ (a),
tn − a
lim λn (ψ(tn ) − ψ(a)) = lim λ
n→∞
n→∞
ψ(tn ) − ψ(a)
= λψ ′ (a).
tn − a
✷
例 1.4.21
C : x = cos θ, y = sin θ
で表される曲線は単位円（原点 O を中心とする半径 1 の円）である．そ
の上の点 P (cos θ, sin θ) における接ベクトル X は
X = λ(− sin θ, cos θ)
であり，半径 OP に直交する．
第1章
38
1.4.6
偏微分法
ヤコビアン
関数 z = f (x, y) の独立変数 x, y も２変数 u, v を用いて x = x(u, v), y =
y(u, v) と表されるとき，合成関数
z = f (x(u, v), y(u, v))
は２変数関数になる．この場合の微分法則は次のようになる．
定理 1.4.22 z = f (x, y) は xy 平面のある開集合 D で連続微分可能，
x = x(u, v), y = y(u, v) は uv 平面のある開集合 E で連続微分可能で，
(u, v) ∈ E =⇒ (x(u, v), y(u, v)) ∈ D
とする．このとき合成関数 z = f (x(u, v), y(u, v)) は E において連続微
分可能で，次の微分公式がなりたつ．
∂z
∂x
∂y
= fx (x(u, v), y(u, v)) (u, v) + fy (x(u, v), y(u, v)) (u, v) (1.30)
∂u
∂u
∂u
∂z
∂x
∂y
= fx (x(u, v), y(u, v)) (u, v) + fy (x(u, v), y(u, v)) (u, v) (1.31)
∂v
∂v
∂v
この式を次のような形式であらわす．
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
∂u
∂x ∂u ∂y ∂u
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
∂v
∂x ∂v ∂y ∂v
(1.32)
証明
F (u, v) = f (x(u, v), y(u, v))
∂z
とおくと， ∂u
は v を定数として，F (u, v) を u に関して微分したもので
ある．v = b を定数として仮に
x = ϕ(u) = x(u, b), y = ψ(u) = y(u, b)
とおく，z = F (u, b) = f (ϕ(u), ψ(u)) を u に関して微分する．定理 1.4.17
により，
dϕ
dψ
∂z
= fx (ϕ(u), ψ(u))
+ fy (ϕ(u), ψ(u))
∂u
du
du
∂x
∂y
= fx (x(u, b), y(u, b)) (u, b) + fy (x(u, b), y(u, b)) (u, b)
∂u
∂u
1.4. 偏微分と全微分
39
b はどのような定数でもよいから，b を v と書きかえると (1.30) になる．
同様に (1.31) も成り立つ．
✷
(1.32) 式は，ベクトル，行列の記号を用いて次のように表される．


[
] [
] ∂x ∂x
∂z ∂z
∂z ∂z  ∂u ∂v 
=
(1.33)
 ∂y ∂y 
∂u ∂v
∂x ∂y
∂u ∂v
uv 平面の開集合 E で定義された二つの関数 x = x(u, v), y = y(u, v) に
より，uv 平面の開集合 E の点 (u, v) を xy 平面の点 (x(u, v), y(u, v)) に
移す写像 Φ ができる．この写像を，点は列ベクトルと見なして
[ ]
[
]
u
x(u, v)
Φ:
→
(1.34)
v
y(u, v)
のように表す．x(u, v), y(u, v) が C 1 級の関数であるとき，写像 Φ は C 1
級であるという．
定義 1.4.23 (1.34) で定義される写像 Φ に対して，行列


∂x
∂x
(u, v)
(u, v) 
D(x, y)

∂v
(u, v) =  ∂u

∂y
∂y
D(u, v)
(u, v)
(u, v)
∂u
∂v
(1.35)
を Φ の (u, v) におけるヤコビ (Jacobi) 行列あるいは関数行列という．ま
たその行列式を
∂x
∂x
(u, v)
(u, v)
∂u
∂v
∂y
∂y
(u, v)
(u, v)
∂u
∂v
∂y
∂x
∂y
∂x
(u, v) (u, v) −
(u, v) (u, v)
=
∂u
∂v
∂v
∂u
のように表し，写像 Φ の (u, v) におけるヤコビアン (Jacobian) あるい
は関数行列式という．
∂(x, y)
(u, v) =
∂(u, v)
定義 1.4.24 (1.35) で定義される Φ の (u, v) におけるヤコビ行列を Φ′ (u, v)
のように表す場合がある:


∂x
∂x
(u, v)
(u, v) 

∂v
Φ′ (u, v) =  ∂u

∂y
∂y
(u, v)
(u, v)
∂u
∂v
第1章
40
偏微分法
例 1.4.25 (1) 線形写像
x = a11 u + a12 v
,
y = a21 u + a22 v
(1.36)
のとき，
D(x, y)
=
D(u, v)
[
]
a11 a12
a21 a22
,
写像 (1.45) を行列，ベクトルで表すと
[ ] [
][ ]
x
a11 a12
u
=
y
a21 a22
v
線形写像のヤコビ行列は，この右辺の係数行列である．
とくに x = u, y = v のとき，すなわち恒等写像
[ ] [
][ ]
x
1 0
u
=
y
0 1
v
[
]
1 0
のヤコビ行列は単位行列 I =
である．
0 1
(2) xy 平面の点 P (x, y) と原点 O(0, 0) の距離を r とおき（ただし，
P ̸= O), 半直線 OP が正の x 軸となす角を θ とおくと，
x = r cos θ
y = r sin θ
(1.37)
と表される．(r, θ) を P (x, y) の極座標という．この対応により D = {(x, y) :
(x, y) ̸= (0, 0)} と E = {(r, θ) : r > 0, −π < θ ≤ π} とが対応する．この
とき
[
]
D(x, y)
∂(x, y)
cos θ −r sin θ
cos θ −r sin θ
=r
=
,
=
D(r, θ)
∂(r, θ)
sin θ r cos θ
sin θ r cos θ
ヤコビ行列を用いると，(1.33) 式は
[
] [
]
∂z ∂z
∂z ∂z D(x, y)
=
∂u ∂v
∂x ∂y D(u, v)
(1.38)
1.4. 偏微分と全微分
41
のように表される．いま D で連続微分可能なもう一つの関数 w = g(x, y)
があるとすると，合成関数 w = g(x(u, v), y(u, v)) も E で連続微分可能で
[
] [
]
∂w ∂w
∂w ∂w D(x, y)
=
(1.39)
∂u ∂v
∂x ∂y D(u, v)
(1.38),(1.39)

∂z
 ∂u
 ∂w
∂u
式はまとめて次のように行列の関係式として表される．
 


∂z ∂z
∂z
∂x ∂x
∂v   ∂x ∂y   ∂u ∂v 
(1.40)
∂w  =  ∂w ∂w   ∂y ∂y  .
∂v
∂x ∂y
∂u ∂v
つまり, z = f (x, y), w = g(x, y) により定義される写像を
[ ]
[
]
x
f (x, y)
Ψ:
→
y
g(x, y)
(1.41)
で表すと，
z = f (x(u, v), y(u, v)), w = g(x(u, v), y(u, v)) に
(1.42)
により定義される写像は
[ ]
[
]
[
]
u
x(u,
v)
f
(x(u,
v),
y(u,
v))
Φ
Ψ
→
→
v
y(u, v)
g(x(u, v), y(u, v))
のように，対応 Φ と Ψ を続けてできる写像である．この写像を Ψ ◦ Φ
と書き，Φ と Ψ の合成写像という．(1.40) は，合成写像 Ψ ◦ Φ のヤコビ
行列が Ψ, Φ のヤコビ行列の積である事を表す．
定理 1.4.26 xy 平面の開集合 D で (1.41) により定義される写像 Ψ と，
uv 平面の開集合 E で (1.34) により定義される写像 Φ がともに C 1 級で
あり，
(u, v) ∈ E =⇒ (x(u, v), y(y, v)) ∈ D
であるとする．このとき (1.42) により決まる合成写像 Ψ ◦ Φ に対して，
次が成り立つ
D(z, w)
D(x, y)
D(z, w)
(u, v) =
(x(u, v), y(u, v))
(u, v).
D(u, v)
D(x, y)
D(u, v)
(1.43)
またその行列式をとれば
∂(z, w)
∂(z, w)
∂(x, y)
(u, v) =
(x(u, v), y(u, v))
(u, v).
∂(u, v)
∂(x, y)
∂(u, v)
(1.44)
第1章
42
偏微分法
系 1.4.27 (1.43) 式は
(Ψ ◦ Φ)′ (u, v) = Ψ′ (Φ(u, v))Φ′ (u, v)
と表され，(1.44) 式は
det((Ψ ◦ Φ)′ (u, v)) = det(Ψ′ (Φ(u, v))) det(Φ′ (u, v))
と表される．
例 1.4.28 線形写像
z = a11 x + a12 y
,
w = a21 x + a22 y
x = b11 u + b12 v
y = b21 u + b22 v
(1.45)
のとき，
D(z, w)
=
D(x, y)
[
]
a11 a12
a21 a22
D(x, y)
,
=
D(u, v)
[
]
b11 b12
b21 b22
写像 (1.45) を行列，ベクトルで表すと
[
] [
][ ] [ ] [
][ ]
z
a11 a12
x
x
b11 b12
u
=
,
=
w
a21 a22
y
y
b21 b22
v
となり，合成写像は
[
] [
][
][ ]
z
a11 a12
b11 b12
u
=
.
w
a21 a22
b21 b22
v
ゆえに
D(z, w)
=
D(u, v)
]
][
[
a11 a12
a21 a22
b11 b12
b21 b22
=
D(z, w) D(x, y)
.
D(x, y) D(u, v)
aij を (i, j) 成分とする行列を A, bij を (i, j) 成分とする行列を B とお
くと，
∂(z, w)
∂(z, w) ∂(x, y)
= det(AB) = det(A) det(B) =
.
∂(u, v)
∂(x, y) ∂(u, v)
1.4. 偏微分と全微分
43
３変数関数 y = f (x1 , x2 , x3 ) の場合には，勾配ベクトル ∇f は
(
)
∂f
∂f
∂f
∇f (x1 , x2 , x3 ) =
(x1 , x2 , x3 ),
(x1 , x2 , x3 ),
(x1 , x2 , x3 )
∂x1
∂x2
∂x3
のように定義される．
x1 , x2 , x3 が t の関数として x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), x3 = x3 (t) のように
表されるときできる合成関数
F (t) = f (x1 (t), x2 (t), x3 (t))
の微分は
F ′ (t) = fx1 (x1 (t), x2 (t), x3 (t))x′1 (t)
+ fx2 (x1 (t), x2 (t), x3 (t))x′2 (t) + fx3 (x1 (t), x2 (t), x3 (t))x′3 (t)
= ∇f (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) · (x′1 (t), x′2 (t), x′3 (t))
この式を省略形で
∂y dx1
∂y dx2 ∂y dx3
dy
=
+
dt
∂x1 dt
∂x2 dt ∂x3 dt
のように表す．
x1 , x2 , x3 が t1 , t2 , t3 の関数として


 x1 = x1 (t1 , t2 , t3 )
x2 = x2 (t1 , t2 , t3 )

 x = x (t , t , t )
3
3 1 2 3
(1.46)
のように表されるときできる合成関数
F (t1 , t2 , t3 ) = f (x1 (t1 , t2 , t3 ), x2 (t1 , t2 , t3 ), x3 (t1 , t2 , t3 ))
の tk , k = 1, 2, 3 に関する偏微分は
∑ ∂f
∂xj
∂F
(t1 , t2 , t3 ) =
(x1 (t1 , t2 , t3 ), x2 (t1 , t2 , t3 ), x3 (t1 , t2 , t3 ))
(t1 , t2 , t3 ),
∂tk
∂xj
∂tk
j=1
3
あるいはこれを省略形で次のように表す．
∑ ∂y ∂xj
∂y
=
.
∂tk
∂xj ∂tk
j=1
3
第1章
44
ベクトル，行列を用いて表せば
[
]
[
]

∂y ∂y ∂y
∂y ∂y ∂y 
=

∂t1 ∂t2 ∂t3
∂x1 ∂x2 ∂x3
∂x1
∂t1
∂x2
∂t1
∂x3
∂t1
∂x1
∂t2
∂x2
∂t2
∂x3
∂t2
∂x1
∂t3
∂x2
∂t3
∂x3
∂t3
偏微分法



(1.46) により，R3 の点 (t1 , t2 , t3 ) から点 (x1 , x2 , x3 ) への写像 Φ が決ま
D(x1 , x2 , x3 )
∂x
る． ∂tkj を (j, k) 成分とする 3 × 3 行列を
で表し，Φ のヤ
D(t1 , t2 , t3 )
∂(x1 , x2 , x3 )
コビ行列あるいは関数行列という．その行列式は
で表し，Φ
∂(t1 , t2 , t3 )
のヤコビアンあるいは関数行列式という．
３個の３変数関数


 y1 = f1 (x1 , x2 , x3 )
y2 = f2 (x1 , x2 , x3 )

 y = f (x , x , x )
3
3 1
2
3
により，R3 の点 (x1 , x2 , x3 ) から点 (y1 , y2 , y3 ) への写像 Ψ が決まる．Φ
と Ψ の合成写像 Ψ ◦ Φ は


 y1 = f1 (x1 (t1 , t2 , t3 ), x2 (t1 , t2 , t3 ), x3 (t1 , t2 , t3 ))
y2 = f2 (x1 (t1 , t2 , t3 ), x2 (t1 , t2 , t3 ), x3 (t1 , t2 , t3 ))

 y = f (x (t , t , t ), x (t , t , t ), x (t , t , t ))
3
3 1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
により定められる．このとき
D(y1 , y2 , y3 )
D(y1 , y2 , y3 ) D(x1 , x2 , x3 )
=
,
D(t1 , t2 , t3 )
D(x1 , x2 , x3 ) D(t1 , t2 , t3 )
∂(y1 , y2 , y3 )
∂(y1 , y2 , y3 ) ∂(x1 , x2 , x3 )
=
∂(t1 , t2 , t3 )
∂(x1 , x2 , x3 ) ∂(t1 , t2 , t3 )
例 1.4.29 ３次元 xyz 空間の点 P (x, y, z) と原点 O(0, 0, 0) の距離を r と
し，OP と z 軸の正の部分との角を θ, (0 ≤ θ ≤ π) とする．P から xy 平
面に垂線 P Q を引く．Q の座標は Q(x, y, 0) である．OQ と x 軸の正の部
分との角を ϕ, (0 ≤ ϕ ≤ 2π) とおく．このとき P Q = OP cos θ であるか
ら，z = r cos θ. また OQ = OP sin θ であり，x = OQ cos ϕ, y = OQ sin ϕ
であるから，x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ. ゆえに


 x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ

 z = r cos θ
1.4. 偏微分と全微分
45
(r, θ, ϕ) を点 P (x, y, z) の３次元極座標という．このとき


sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ
D(x, y, z) 

=  sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ 
D(r, θ, ϕ)
cos θ
−r sin θ
0
またその行列式をサラスの公式により計算すると
∂(x, y, z)
= r2 sin θ cos2 θ cos2 ϕ + r2 sin3 θ sin2 ϕ
∂(r, θ, ϕ)
+ r2 sin θ cos2 θ sin2 ϕ + r2 sin3 θ cos2 ϕ
= r2 sin θ cos2 θ + r2 sin3 θ
= r2 sin θ(cos2 θ + sin2 θ)
= r2 sin θ
1.4.7
逆写像のヤコビアン
D, E を R2 の部分集合とする．写像 Φ : E → D に対して
Φ(E) = {Φ(u, v) : (u, v) ∈ E}
とおき，Φ による E の像という．E の点を Φ によって D の中に写した
点の全体であるから，Φ(E) ⊂ D である．Φ(E) = D となるとき．Φ は
全射，あるいは D の上への写像であるという．D の各点 (x, y) に対して
Φ(u, v) = (x, y) となる E の点 (u, v) があるときである．
一方 (u, v) ̸= (u′ , v ′ ) ならば， Φ(u, v) ̸= Φ(u′ , v ′ ) であるとき， Φ は単
射あるいは１対１の写像であるという．違う点は違う点に移る場合であ
る．Φ(u, v) = Φ(u′ , v ′ ) ならば，(u, v) = (u′ , v ′ ) である場合と言っても同
じである．
全射であり，しかも単射である写像は全単射であるという．Φ : E → D
が全単射であるとき，D の各点 (x, y) に対して Φ(u, v) = (x, y) であ
るような E の点 (u, v) がただ一つ定まる．(x, y) ∈ D にこのような点
(u, v) ∈ E を対応させる写像を Ψ : D → E とおく:
Ψ(x, y) = (u, v) ⇐⇒ Φ(u, v) = (x, y).
(1.47)
この式の右辺に左辺を代入して
Φ(Ψ(x, y)) = (x, y).
(1.48)
第1章
46
偏微分法
また左辺に右辺を代入して
Ψ(Φ(u, v)) = (u, v).
(1.49)
ゆえに D における恒等写像を ID と表し，E における恒等写像を IE と
表せば（ID (x, y) = (x, y), IE (u, v) = (u, v))，
Φ ◦ Ψ = ID , Ψ ◦ Φ = IE .
(1.50)
Ψ を Φ の逆写像といって，Ψ = Φ−1 と書く．Φ, Ψ の役割を入れ替えて
見れば，Φ は Ψ の逆写像である:Φ = Ψ−1 .
Φ : E → D, Ψ : D → E を変数を用いて
[ ]
[
]
[ ]
[
]
u
x(u, v)
x
u(x, y)
Φ:
→
, Ψ:
→
(1.51)
v
y(u, v)
y
v(x, y)
のように表すと，(1.48), (1.49) 式はそれぞれ次のように表される．
[
] [ ] [
] [ ]
x(u(x, y), v(x, y))
x
u(x(u, v), x(u, v))
u
=
,
=
,
y(u(x, y), v(x, y))
y
v(x(u, v), y(u, v))
v
定理 1.4.30 Φ : E → D が全単射で．Ψ = Φ−1 : D → E とし，Φ, Ψ が
変数を用いて (1.51) のように表されるとする．D, E が開集合で Φ, Ψ が
C 1 級ならば，
D(x, y) D(u, v)
D(u, v) D(x, u)
= I,
= I,
D(u, v) D(x, y)
D(x, y) D(u, v)
である．両辺の行列式をとると
∂(x, y) ∂(u, v)
∂(x, y)
= 1, すなわち
=
∂(u, v) ∂(x, y)
∂(u, v)
したがって
1
∂(u,v)
∂(x,y)
D(x, y) D(u, v)
,
は正則行列で互いに他の逆行列である.
D(u, v) D(x, y)
証明 Φ, Ψ を (1.51) のように表すと，それぞれのヤコビ行列は
D(x, y) D(u, v)
,
D(u, v) D(x, y)
D(x,y) D(u,v)
であり，恒等写
と表される．合成写像 Φ ◦ Ψ のヤコビ行列は D(u,v)
D(x,y)
像のヤコビ行列は I であるから，Φ ◦ Ψ = ID の両辺のヤコビ行列をとっ
D(x,y) D(u,v)
て D(u,v)
= I が成り立つ．同様に Ψ ◦ Φ = IE の両辺のヤコビ行列
D(x,y)
をとって
D(u,v) D(x,y)
D(x,y) D(u,v)
= I が成り立つ．
✷
1.4. 偏微分と全微分
47
例 1.4.31 (1) 極座標
x = r cos θ y = r sin θ
により定義される写像を
[ ]
[ ]
r
x
Φ:
→:
θ
y
と考える．D = {(x, y) : (x, y) ̸= (0, 0)} と E = {(r, θ) : r > 0, −π < θ ≤
π} とが対応する．x, y が r, θ を用いて (1.37) のように表されるとき．逆
に r, θ は x, y により次のように表される．まず
√
x2 + y 2 = r2 (cos2 θ + sin2 θ) = r2 =⇒ r = x2 + y 2 .
つぎに cos θ ̸= 0 のとき
(y)
y
sin θ
.
=
= tan θ =⇒ θ = arctan
x
cos θ
x
あるいは sin θ ̸= 0 のとき
y
cos θ
=
= cot θ =⇒ θ = arccot
x
sin θ
( )
x
.
y
すなわち，逆写像 Ψ : D → E が定まる．
このとき
[
]
D(x, y)
∂(x, y)
cos θ −r sin θ
=
,
=
D(r, θ)
∂(r, θ)
sin θ r cos θ
cos θ −r sin θ
sin θ r cos θ
したがって
∂(x, y) −1 1
∂(r, θ)
= ,
=
∂(x, y)
∂(r, θ)
r
[
]−1
]
[
1 r cos θ r sin θ
D(r, θ)
cos θ −r sin θ
=
=
D(x, y)
r − sin θ cos θ
sin θ r cos θ
ところで

∂r
D(r, θ)
 ∂x
=  ∂θ
D(x, y)
∂x

∂r
∂y 
∂θ 
∂y
=r
第1章
48
偏微分法
であるから，成分を比較して
∂r
x
∂r
y
= cos θ = √
= sin θ = √
,
∂x
x2 + y 2 ∂y
x2 + y 2
∂θ
∂θ
sin θ
y
cos θ
x
,
=−
=− 2
=
= 2
2
∂x
r
x +y
∂y
r
x + y2
(2) xy 平面の３点 A, B, C を頂点とする三角形 ABC の内部の点 P は
次のように表される．
[
]
[
]
−→
−→
a1
b1
CA = a =
, AB = b =
a2
b2
とおく．a, b が１次従属ならば，３点 C, A, B が一つの直線上に並び，三
角形ができない．したがって a, b は１次独立である．
P を通り辺 AB に平行な直線が辺 CA と交わる点を Q，CB と交わ
る点を R とおく．原点を O(0, 0) とおくと，
−→ −→ −→ −→
OP = OC + CQ + QP
CQ
CA
= u とおくと，0 < u < 1 であり
QR
AB
= u である．したがって
−→
−→
−→
−→
CQ = uCA = ua, QR = uAB = ub.
QP
QR
= r とおくと，0 < r < 1 であり，
−→
−→
QP = rQR = rub.
−→
ru = v とおくと，0 < v < u であり，QP = vb. ゆえに
−→ −→
OP = OC + ua + vb (0 < u < 1, 0 < v < u).
P, C の座標を P (x, y), C(x0 , y0 ) とすると，
x = x0 + ua1 + vb1 , y = y0 + ua2 + vb2
(1.52)
E = {(u, v) : 0 < u < 1, 0 < v < u} は uv 平面の直角三角形の内部であ
り，(1.52) により定義される写像 Φ : (u, v) → (x, y) により，E が三角
形 ABC の内部 D に移さる．Φ : E → D は全射である．また
∂(x, y)
=
∂(u, v)
a 1 b1
a 2 b2
= a 1 b2 − b1 a 2 .
1.4. 偏微分と全微分
49
a, b は１次独立であるから，a1 b2 − b1 a2 ̸= 0. ゆえに Φ は単射である．
Φ の逆写像は (1.52) を u, v に関して解くことにより，次のように与えら
れる．
u=
1
(b2 (x − x0 ) − b1 (y − y0 )),
a1 b2 − b1 a2
v=
1
(−a2 (x − x0 ) + a1 (y − y0 )).
a1 b2 − b1 a2
系 1.4.30 においては，Φ : E → D に対して Ψ ◦ Φ = IE となる Ψ : D →
E が存在することを仮定しているが，このような Ψ の存在については，
次の逆写像の定理がなりたつ．
１変数関数 y = f (x) の場合には，f (x) がある区間 [a, b] で連続，単調
ならば，y = f (x) の逆関数 x = f −1 (y) が存在し，連続である．これは
中間値の定理から証明される．さらに f (x) が微分可能で f ′ (x) ̸= 0 なら
ば，逆関数も微分可能で
dx
1
= dy
dy
dx
であった．
また n × n 行列 A で定義される Rn から Rn への写像
y = Φ(x) = Ax,
x, y ∈ Rn
では，A が逆行列をもつことと，この写像 Φ が逆写像 Ψ = Φ−1 を持つ
ことは同値で，逆写像は
x = Ψ(y) = A−1 y
で定義される．この場合逆写像は Rn 全体で定義される．
Φ が線形でない一般の写像の場合は，逆写像はもはや全体で定義され
るとは限らず，狭い範囲で定まる．２次元の場合，逆写像定理は次のよ
うになる．証明は省略する．
定理 1.4.32 E, D ⊂ R2 とし，Φ : E → D が開集合 E において C 1 級
で，ある点 (a, b) ∈ E において，Φ′ (a, b) が正則行列であるとする．この
とき (a, b) を含むある（小さい）開集合 V と， Φ(a, b) を含むある（小
さい）開集合 U とが存在し，Φ : V → U は全単射になり，その逆写像
Ψ : U → V も C 1 級である．
第1章
50
1.5
偏微分法
陰関数の定理
(a, b) の近傍での f (x, y) の値はどのようになっているのであろうか。各
点 P (x, y) に勾配ベクトル ∇f = [fx , fy ] を対応させる関数を勾配ベクト
ル場という。∇f (a, b) ̸= [0, 0] である点 (a, b) は f (x, y) の正則点という。
正則点の近くでの f (x, y) の値の様子を調べよう．
∥u∥ = 1 である u = (h, k) ̸= [0, 0] をとり、(a, b) を通るパラメータ直線
ℓu : x = a + th, b + tk
を考える。
ϕ(t) = f (a + th, b + tk)
はこの直線上での f の値を表している。その変化を調べるためには ϕ′ (t)
を計算すると
ϕ′ (t) = hfx (a + th, b + tk) + kfy (a + gh, b + tk) = u · ∇f (a + th, b + tk)
である。ただし · はベクトルの内積記号である。とくに
ϕ′ (0) = u · ∇f (a, b)
u と ∇f (a, b) ̸= [0, 0] のなす角を θ (0 ≤ θ ≤ π) とおくと、
u · ∇f (a, b) = ∥u∥∥∇f (a, b)∥ cos θ = ∥∇f (a, b)∥ cos θ
であるから次のようになる。
(i) 0 ≤ θ < π2 ⇒ ϕ′ (0) > 0 あり、θ = 0 のとき、ϕ′ (0) は最大値
∥∇f (a, b)∥ をとる。
(ii) π2 < θ ≤ π ⇒ ϕ′ (0) < 0 あり、θ = π のとき、ϕ′ (0) は最小値
−∥∇f (a, b)∥ をとる。
(iii) θ = π2 ⇒ ϕ′ (0) = 0.
以上により、ℓu の向きが ∇f (a, b) と一致するとき、ℓu に沿って関数値
f (x, y) は一番増大し、ℓu の向きが −∇f (a, b) と一致するとき、ℓu に沿っ
て関数値 f (x, y) は一番減少する。すなわち ∇f (a, b) は関数値が増大す
る方向を表している。さらに ℓu が ∇f (a, b) と直交するときは、f (x, y)
は変化しないように思われる。
1.5. 陰関数の定理
51
定義 1.5.1
Lf (a, b) = {(x, y) : f (x, y) = f (a, b)}
とおき、この集合を (a, b) を通る f の等高線という。
∇f (a, b) ̸= [0, 0] のとき，Lf (a, b) は実際 (a, b) を通る関数のグラフに
なることをを示す．
たとえば
f (x, y) = x3 + 3xy + 4xy 2 + y 2 + y, (a, b) = (1, −1)
の場合 f (1, −1) = 2 により，Lf (1, −1) は x3 + 3xy + 4xy 2 + y 2 + y = 2
(1.53)
をみたす (x, y) からなる曲線である．この方程式において y を未知数と
して考えるたとき，x の各値に対応して，解 y = y(x) がきまるならば，
x3 + 3xy(x) + 4xy(x)2 + y(x)2 + y(x) = 2
(1.54)
がなりたつ．また x を未知数として考えたとき，y の各値に対応して，解
x = x(y) がきまるならば
x3 + 3x(y)y + 4x(y)y 2 + y 2 + y = 2
(1.55)
がなりたつ．このように決まる関数 y = y(x) あるいは x = x(y) を (1.53)
で定まる陰関数という．次の定理 1.5.2 はこのような陰関数が存在するこ
とを保障するものである．定理 1.5.2 では陰関数があるといっているだけ
で，陰関数の計算方法は示していない．そのかわり陰関数自体は分から
なくても，陰関数の微分の計算法はわかるのである．陰関数の計算方法
の１例は定理の証明のあとに示してある．
たとえば (1.53) で陰関数 y = y(x) が定まるならば，(1.54) が成り立つ
から，両辺を x で微分すると
3x2 + 3y(x) + 3x
dy
dy
dy dy
+ 4y(x)2 + 4x × 2y(x) + 2y(x) +
= 0.
dx
dx
dx dx
すなわち
3x2 + 3y(x) + 4y(x)2 + (3x + 8xy(x) + 2y(x) + 1)
dy
=0
dx
第1章
52
偏微分法
この式は
fx (x, y(x)) + fy (x, y(x))
dy
=0
dx
と書き換えらる．x = 1 のとき y(1) = −1 とすると fy (1, −1) = −6 ̸= 0
である．したがって x = 1 の近くで fy (x, y(x)) ̸= 0 のはずであり，
dy
fx (x, y(x))
3x2 + 3y(x) + 4y(x)2
=−
=−
dx
fy (x, y(x))
3x + 8xy(x) + 2y(x) + 1
のようになるはずである．
同様に (1.55) の両辺を y で微分して
fx (x(y), y)
dx
+ fy (x(y), y) = 0
dy
となり，
dx
fy (x(y), y)
=−
dy
fx (x(y), y)
を得る．このように計算してよいことが次の定理により保障される．
定理 1.5.2 f (x, y) が C 1 級の関数で ∇f (a, b) ̸= [0, 0] であるとする。
(i) fy (a, b) ̸= 0 とする。このとき次のような r > 0, ρ > 0 が存在する。
|x − a| < r であるような x に対して f (x, y) = f (a, b) であるよう
な y が |y − b| < ρ の範囲で唯一つ存在する。その値を y = ϕ(x)
とすると、ϕ(a) = b であり，ϕ(x) は C 1 級の関数で
(
)
fx (x, ϕ(x))
dy
fx (x, y)
′
ϕ (x) = −
.
省略形で
=−
fy (x, ϕ(x))
dx
fy (x, y)
(ii) fx (a, b) ̸= 0 とする。このとき次のような s > 0, σ > 0 が存在する。
|y − b| < s であるような y に対して f (x, y) = f (a, b) であるような
x が |x − a| < σ の範囲で唯一つ存在する。その値を x = ψ(y) と
すると、ψ(b) = a であり，ψ(y) は C 1 級の関数で
(
)
fy (ψ(y), y)
dx
fy (x, y)
′
ψ (y) = −
.
省略形で
=−
fx (ψ(y), y)
dy
fx (x, y)
1.5. 陰関数の定理
53
証明 f (x, y) の代わりに F (x, y) = f (x, y)−f (a, b) を考えると ∇F (a, b) =
∇f (a, b) ̸= (0, 0) であり、F (a, b) = 0 である。したがって f (a, b) = 0 の
場合を考えればよい。
(i) の変数 x, y の役割を交代させれば (ii) であるから，(i) の場合を証
明すればよい．
．
fy (a, b) > 0 とする。fy (x, y) は連続であるから、(a, b) の近くで fy (x, y) >
0 である。したがって次のような R > 0 がある:
√
(x − a)2 + (y − b)2 < R ⇒ fy (x, y) > 0.
とくに |y − b| < R ならば、fy (a, y) > 0 であるから、f (a, y) は y の増加
関数で f (a, b) = 0 である。したがって ρ = R/2 とおくとき
f (a, b − ρ) < f (a, b) = 0 < f (a, b + ρ).
次に f (x, b − ρ) を考えると、これは x の連続関数で、 x = a のとき、負
の値をとっている。したがって x = a の近くでこの関数は負の値である。
ゆえにある 0 < r1 < R/2 をとると
|x − a| < r1 ⇒ f (x, b − ρ) < 0.
同様に f (a, b + ρ) > 0 であるから、ある 0 < r2 < R/2 をとると
|x − a| < r2 ⇒ f (x, b + ρ) > 0.
したがって r = min{r1 , r2 } とおくと
|x − a| < r ⇒ f (x, b − ρ) < 0 < f (x, b + ρ).
K = {(x, y) : |x − a| < r, |y − b| < ρ} とおくと、K ⊂ UR (a, b) であるか
ら、(x, y) ∈ K ならば fy (x, y) > 0 である。ゆえに |x − a| < r である x
を固定し y だけ変化させて f (x, y) を考えると |y − b| < ρ の範囲で増加
関数である。y = b − ρ で f < 0, y = b + ρ で f > 0 であるから、中間値
の定理により f (x, y) = 0 となる y の値が |y − b| < ρ の範囲で唯一つ存
在する。その値を y = ϕ(x) とおく。
次に ϕ(x) が連続関数であることをしめす。簡単のため x = a での連
続性をみる。f (a, b) = 0 であるから、ϕ(a) = b である。f (a, y) は y の増
加関数であるから、0 < ϵ < ρ に対して f (a, b − ϵ) < 0 < f (a, b + ϵ) で
ある。ρ の代わりに ϵ を用いて
|x − a| < δ ⇒ f (x, b − ϵ) < 0 < f (x, b + ϵ)
第1章
54
偏微分法
であるような δ, 0 < δ < r, がある。再び中間値の定理により |x − a| < δ
であるような x に対して、f (x, y) = 0 である y が |y − b| < ϵ の範囲で
存在する。このとき (x, y) ∈ K であるから、この y の値は ϕ(x) に一致
している。したがって
|x − a| < δ ⇒ |ϕ(x) − ϕ(a)| < ϵ.
ゆえに ϕ(x) は x = a で連続である。他の点 |x − a| < r での連続性も同
様に証明できる。
最後に ϕ′ (x) が存在して連続であることを示す。x = a の場合をしめ
す。0 < |h| < r のとき ϕ(a), ϕ(a + h) の定義より
f (a + h, ϕ(a + h)) = f (a, ϕ(a)) = 0.
ここで
ϕ(a + h) − ϕ(a) = k
とおくと ϕ(a) = b であるから、ϕ(a + h) = ϕ(a) + k = b + k とかける。
ゆえに
f (a + h, b + k) = f (a, b) = 0.
u(t) = f (a+th, b+tk) とおくと u(1) = f (a+h, b+k), u(0) = f (a, b) である
から u(1) = u(0) = 0 である。したがって Rolle の定理により、u′ (θ) = 0 で
ある θ, 0 < θ < 1 が存在する。u′ (t) = fx (a+th, b+tk)h+fy (a+th, b+tk)k
であるから
fx (a + θh, b + θk)h + fy (a + θh, b + θk)k = 0.
(a + θh, b + θk) ∈ K であるから、fy (a + θh, b + θk) ̸= 0 である。ゆえに
h ̸= 0 のとき
ϕ(a + h) − ϕ(a)
k
fx (a + θh, b + θk)
= =−
.
h
h
fy (a + θh, b + θk)
(1.56)
ϕ(x) は連続であるから、h → 0 のとき k → 0 である。fx , fy は連続であ
るから、(h, k) → (0, 0) のとき (1.56) の最後の分数は −fx (a, b)/fy (a, b)
に収束する。ゆえに
ϕ(a + h) − ϕ(a)
fx (a, b)
fx (a, ϕ(a))
=−
=−
.
h→0
h
fy (a, b)
fy (a, ϕ(a))
lim
1.5. 陰関数の定理
55
すなわち ϕ(x) は x = a で微分可能で，
ϕ′ (a) = −
fx (a, ϕ(a))
fx (a, b)
=−
fy (a, ϕ(a))
fy (a, b)
(1.57)
同様にして |x − a| < r である x において
ϕ′ (x) = −
fx (x, ϕ(x))
.
fy (x, ϕ(x))
である。右辺は x の連続関数であるから、ϕ′ (x) は連続関数である。 ✷
陰関数は上の定理のように y = ϕ(x) や x = ψ(y) のように表す代わり
に y = y(x) や x = x(y) のように表してもよい．また，dy/dx が計算で
きれば，d2 y/dx2 も次の例のように計算できる．同様に dx/dy が計算で
きれば，d2 x/dy 2 も計算できる．
例 1.5.3 (1)
f (x, y) = x3 + 3xy + 4xy 2 + y 2 + y
の (a, b) = (1, −1) を通る等高線は，f (1, −1) = 2 であるから，
x3 + 3xy + 4xy 2 + y 2 + y = 2
(1.58)
をみたす．
fx (x, y) = 3x2 + 3y + 4y 2 , fy (x, y) = 3x + 8xy + 2y + 1
であるから，fx (1, −1) = 4 ̸= 0, fy = −6 ̸= 0. この等高線を表す陰関数
は y = y(x), y(1) = −1 として表されるし，また x = x(y), x(−1) − 1 と
しても表される．このとき
4
2 dx
−6
3
dy
(1) = −
= ,
(−1) = −
= ,
dx
−6
3 dy
4
2
dy/dx は次のように計算してもよい．(1.58) において y = y(x) と思い，
両辺を x で微分すると
fx (x, y) + fy (x, y)
dy
= 0,
dx
(1.59)
すなわち
3x2 + 3y + 4y 2 + (3x + 8xy + 2y + 1)
dy
= 0.
dx
(1.60)
第1章
56
偏微分法
x = 1, y = −1 と代入すると 4 − 6dy/dx = 0 であるから，dy/dx = 2/3.
(1.60) の両辺をさらに x で微分すると
(
)
dy
dy
dy
dy dy
d2 y
+(3x+8xy+2y+1) 2 = 0.
6x+3 +8y + 3 + 8y + 8x + 2
dx
dx
dx
dx dx
dx
ここで x = 1, y = −1 とおくと dy/dx = 2/3 であったから，
)
(
2
2
2
2 2
d2 y
6+3 −8 + 3−8+8 +2
+ (3 − 8 − 2 + 1) 2 = 0.
3
3
3
3 3
dx
したがって
34
9
− 6d2 y/dx2 = 0 であるから，d2 y/dx2 = 34/54 = 17/27.
定理 1.5.4 における陰関数 ϕ(x), ψ(x) を実際に計算するには，たとえば
次のような方法がある．
y = ϕ(x) の場合を説明する．fy (a, b) ̸= 0 のとき，陰関数の方程式
f (x, y) = 0 は，次のように書き換えられる．
y − fy (a, b)−1 f (x, y) = y
(1.61)
この方程式の解 y = y(x) の近似解を次のように構成できる．まず y0 (x) =
b とおき，次に (1.61) の左辺の y にこの値を代入して
b − fy (a, b)−1 f (x, b) = y1 (x)
とおく．次に (1.61) の左辺の y にこの値 y1 (x) を代入して
y1 (x) − fy (a, b)−1 f (x, y1 (x)) = y2 (x)
とおく．このようにして次々に yn (x), n = 0, 1, 2, · · · を関係式
yn (x) − fy (a, b)−1 f (x, yn (x)) = yn+1 (x)
により定義する．この方法で |x−a| < r の範囲で関数 yn (x), n = 0, 1, 2, · · ·
が |yn (x)−b| < ρ の範囲できまり，limn→∞ yn (x) = ϕ(x) であることが証明
できる（証明は省略）．ここで構成した関数の無限列 y0 (x), y1 (x), · · · , yn (x),
· · · を y = ϕ(x) の逐次近似列という．また各 yn (x) を逐次近似解という．
定理 1.5.4 により、等高線 Lf (a, b) は次のようにあらわされる。
fy (a, b) ̸= 0 ならば |x − a| < r の範囲で y = ϕ(x).
fx (a, b) ̸= 0 ならば |y − b| < s の範囲で x = ψ(y).
1.5. 陰関数の定理
57
c = f (a, b) とおくとき、このような関数 y = ϕ(x),x = ψ(y) を方程式
f (x, y) = c から決まる陰関数という。ϕ(x), ψ(y) の構成法から、f (x, y)
の値は等高線を境に次のように変わる。
(i) fy (a, b) > 0 ならば、|x − a| < r のとき
−ρ < y < ϕ(x) ⇒ f (x, y) < c
y = ϕ(x) ⇒ f (x, y) = c
ϕ(x) < y < ρ ⇒ c < f (x, y).
fy (a, b) < 0 ならば、|x − a| < r のとき
−ρ < y < ϕ(x) ⇒ f (x, y) > c
y = ϕ(x) ⇒ f (x, y) = c
ϕ(x) < y < ρ ⇒ c > f (x, y).
(ii) fx (a, b) > 0 ならば |y − b| < s のとき
−σ < x < ψ(y) ⇒ f (x, y) < c
x = ψ(y) ⇒ f (x, y) = c
ψ(y) < x < σ ⇒ c < f (x, y).
fx (a, b) > 0 ならば |y − b| < s のとき
−σ < x < ψ(y) ⇒ f (x, y) > c
x = ψ(y) ⇒ f (x, y) = c
ψ(y) < x < σ ⇒ c > f (x, y).
変数の数が多いときの陰関数の定理はつぎのようになる。
定理 1.5.4 f (x1 , x2 , · · · , xn ) が C 1 級の関数で x = a = (a1 , a2 , · · · , an )
において
∇f (a) := (fx1 (a), fx2 (a), · · · , fxn (a)) ̸= (0, 0, · · · , 0)
であるとする。たとえば、fx1 (a) ̸= 0 とする。このとき次のような r >
√∑n
2
0, ρ > 0 が存在する。
i=2 |xi − ai | < r であるような (x2 , x3 , · · · , xn )
に対して f (x1 , x2 , · · · , xn ) = f (a1 , a2 , · · · , an ) であるような x1 が |x1 −
a1 | < ρ の範囲で唯一つ存在する。その値を x1 = ϕ(x2 , x3 , · · · , xn ) とす
ると、ϕ(x2 , x2 , · · · , xn ) は C 1 級の関数で
∂
fx (ϕ(x2 , x2 , · · · , xn ), x2 , x3 , · · · , xn ))
ϕ(x2 , x3 , · · · , xn ) = − i
(2 ≤ i ≤ n)
∂xi
fx1 (ϕ(x2 , x2 , · · · , xn ), x2 , x3 , · · · , xn ))
(1.62)
第1章
58
偏微分法
C 1 級の２変数関数 f (x, y) の勾配ベクトルが条件
∇f (x, y) = (fx (x, y), fy (x, y)) ̸= (0, 0)
を満たす点 (x, y) は，f (x, y) の正則点であるという。
定理 1.5.5 (a, b) が C 1 級の関数 f (x, y) の正則点ならば、この点を通る
等高線の接線の方程式は次のようになる。
fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) = 0
(1.63)
証明陰関数の定理により、等高線は (a, b) の近傍で y = ϕ(x) または
x = ψ(y) のグラフになる。このグラフの x = a または y = b の接線の方
程式はいずれも上の定理の式になる。たとえば，fy (a, b) ̸= 0 の場合は等
高線は y = ϕ(x) のグラフである．このグラフの x = a における接線の傾
き ϕ′ (a) は (1.57) で与えられるから，接線の方程式は
y =b−
fx (a, b)
(x − a)
fy (a, b)
である．これは (1.63) のように書き換えられる．
✷
(x, y) を接線 (1.63) の上の点とし、X = x − a, Y = y − b とおく。この
とき式 (1.63) は、勾配ベクトル (fx (a, b), fy (a, b)) とベクトル (X, Y ) の
内積が零であることを示す。したがってこの両ベクトルは直交する。こ
の意味で勾配ベクトル（またはそのスカラー倍）を (a, b) を通る等高線
の (a, b) における法ベクトルという。また (a, b) を通りこの法ベクトル
と同じ向きの直線を、 (a, b) を通る等高線の (a, b) における法線という。
その方程式はパラメタ t をもちいて
x − a = tfx (a, b),
y − b = tfy (a, b)
(1.64)
で表される。この関係式は t を消去して
y−b
x−a
=
fx (a, b)
fy (a, b)
の形式で表される．ただし，分母が 0 の項は分子も 0 と解釈する，
法ベクトルは等高線の接線に直交している（このことを法ベクトルは等
高線に直交するという）が、等高線に対するその向きをしらべよう。ベク
トル v := (h, k) ̸= (0, 0) をとり、このベクトルが u := (fx (a, b), fy (a, b))
1.5. 陰関数の定理
59
となす角を θ とする。(a, b) を通る直線 x = a + th, y = b + tk にそった
f (x, y) の値の変化を調べてみる。そのために
ϕ(t) = f (a + th, b + tk)
とおくと、
ϕ′ (t) = fx (a + th, b + tk)h + fy (a + th, b + tk)k.
ゆえに
ϕ′ (0) = fx (a, b)h + fy (a, b)k = u · v = ∥u∥∥v∥ cos θ
|θ| < π/2 ならば ϕ′ (0) > 0 である。ϕ′ (t) は連続関数であるから、t = 0
を含むある区間 I で ϕ′ (t) > 0 である。したがって I において ϕ(t) は増
加関数である。すなわち、法ベクトルと９０度以下のむきに (x, y) が移
動するとき f (x, y) の値は増加する。逆にいえば、法ベクトルは関数の値
が増大する方向を示している。
3 変数の場合の関数 f (x1 , x2 , x3 ) の点 a = (a1 , a2 , a3 ) を通る等高面
Lf (a) = {x ∈ R3 : f (x) = f (a)}
を考える。たとえば fx1 (a) ̸= 0 とすると、Lf (a) は x = a の近くで
x1 = ϕ(x2 , x3 ),
ϕ(a2 , a3 ) = a1
と表される。この曲面の (a2 , a3 ) における接平面の式は
x1 − a1 = ϕx2 (a2 , a3 )(x2 − a2 ) + ϕx3 (a2 , a3 )(x3 − a3 )
である。式 (1.62) を用いてこの式を書き直すと
fx1 (a)(x1 − a1 ) + fx2 (a)(x2 − a2 ) + fx3 (a)(x3 − a3 ) = 0
である。(x1 , x2 , x3 ) をこの接空間の上の任意の点とし、X = x − a ∈ R3
とおくと、勾配ベクトル ∇f (a) = (fx1 (a), fx2 (a), fx3 (a)) とベクトル X は
直交する。∇f (a) またはその定数倍を等高面の法ベクトルという。法ベ
クトルは f (x) の値が増大する方向に向いている。a における法線上の点
を x とすると，パラメタ t により，
x − a = t∇f (a)
第1章
60
偏微分法
と表される．この関係式は t を消去して, 次の形式で表される．
x1 − a1
x2 − a2
x3 − a3
=
=
fx1 (a)
fx2 (a)
fx3 (a)
ただし，分母が 0 の項は分子も 0 とする．
一般の変数の場合の関数 f (x1 , x2 , · · · , xn ) の点 a = (a1 , a2 , · · · , an ) を
通る等高部分集合
Lf (a) = {x ∈ Rn : f (x) = f (a)}
を考える。たとえば fx1 (a) ̸= 0 とすると、Lf (a) は x = a の近くで
x1 = ϕ(x2 , x3 , · · · , xn ),
ϕ(a2 , a3 , · · · , an ) = a1
と表される。式
x1 − a1 =
n
∑
ϕxi (a2 , a3 , · · · , an )(xi − ai )
i=2
を満たす点 (x1 , x2 , · · · , xn ) の全体を Lf (a) の接空間という。式 (1.62) を
用いてこの式を書き直すと
fx1 (a)(x1 − a1 ) + fx2 (a)(x2 − a2 ) + · · · + fxn (a)(xn − an ) = 0
である。(x1 , x2 , · · · , xn ) をこの接空間の上の任意の点とし、X = x − a ∈
Rn とおくと、勾配ベクトル ∇f (a) = (fx1 (a), fx2 (a), · · · , fxn (a)) とベク
トル X は直交する。∇f (a) またはその定数倍を接空間の法ベクトルとい
う。法ベクトルは f (x) の値が増大する方向に向いている。点 a における
法線の方程式は次のように表される．
x2 − a2
xn − an
x1 − a1
=
= ··· =
fx1 (a)
fx2 (a)
fxn (a)
ただし，分母が 0 の項は分子も 0 とする．
1.6
一般の陰関数の定理
次のような一般の m 連立方程式を考える．


f1 (x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , ym ) = c1


 f (x , . . . , x ; y , . . . , y ) = c
2 1
n 1
m
2
 .................................



fm (x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , ym ) = cm .
1.6. 一般の陰関数の定理
61
ただし各関数は Rn+m のある開集合 Ω で定義された C 1 − 級の関数である．
簡単のためこの方程式を f (x, y) = c とあらわす．
定理 1.6.1 Ω のある点 (a, b), a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bm ) において
f (a, b) = c ; det
∂(f1 , . . . , fm )
̸= 0
∂(y1 , . . . , ym )
とする．このときつぎのような r > 0, ρ > 0 が存在する：∥x − a∥ < r で
あるような各 x にたいして f (x, y) = c をみたす y が ∥y − b∥ < ρ におい
て唯一つ存在する．そのような値を y = ϕ(x) とおくと，ϕ は C 1 級の写
像で
{
}−1
∂(ϕ1 , . . . , ϕm )
∂(f1 , . . . , fm )
∂(f1 , . . . , fm )
=−
(x, ϕ(x))
(x, ϕ(x)).
∂(x1 , . . . , xn )
∂(y1 , . . . , ym )
∂(x1 , . . . , xn )
証明 m = 1 の場合に証明する．即ち f (x, y) = f (x1 , x2 , . . . , xn , y) は
スカラー関数で，f (a, b) = c, fy (a, b) ̸= 0 とする．たとえば fy (a, b) > 0
とする．fy (x, y) は連続であるから，(a, b) のある R− 近傍 UR において
fy (x, y) > 0 である：
∥x − a∥2 + |y − b|2 < R2 ⇒ fy (x, y) > 0.
さて ρ < R である ρ をひとつとる．f (a, b) = c であり，w = f (a, y) は
−ρ < y < ρ において y の増加関数であるから f (a, −ρ) < c < f (a, ρ) が
なりたつ．次に f (x, −ρ), f (x, ρ) は x の連続関数であるから，r > 0 を十
分小さくとれば，∥x − a∥ < r のとき f (x, −ρ) < c, f (x, ρ) > c がなりた
つ．さらに r2 + ρ2 < R2 と仮定できる（r をさらに小さくとればよい）．
このとき ∥x − a∥ < r, |y − b| < ρ ならば (x, y) は (a, b) の R− 近傍の点で
あるから，fy (x, y) > 0. したがって，∥x − a∥ < r である各点 x にたいし
て，y の関数 w = f (x, y) は −ρ < y < ρ において増加関数で y = −ρ に
おいて w < c，y = ρ において w > c となる．故に w = f (x, y) = c となる
y が −ρ < y < ρ においてただ一つ存在する．その値を y = ϕ(x) とおく．
∥x − a∥ < r とする．ベクトル h ∈ Rn の長さを十分小さくとれば
∥x + h − a∥ < r となる．(x, ϕ(x)),
(x + h, ϕ(x + h)) は UR の点であるから，この２点を結ぶ線分上の点
z(t) = (x + th, ϕ(x) + t(ϕ(x + h) − ϕ(x))), 0 ≤ t ≤ 1
第1章
62
偏微分法
も UR 内にあり，g(t) = f (z(t)) とおくと，
g(0) = f (x, ϕ(x)) = c, g(1) = f (x + h, ϕ(x + h)) = c
′
g (t) =
n
∑
fxj (z(t))hj + fy (z(t))(ϕ(x + h) − ϕ(x)).
j=1
したがって Rolle の定理により g ′ (θ) = 0 となる θ ∈ (0, 1) がある．これ
より
)
n (
∑
fxj (z(θ))
ϕ(x + h) − ϕ(x) =
−
hj .
f
(z(θ)
y
j=1
右辺の hj の係数を aj (h) とおくと h → 0 のとき z(θ) → (x, ϕ(x)) である
から，
lim aj (h) = −
h→0
fxj (x, ϕ(x))
.
fy (x, ϕ(x))
したがって ϕ(x) は全微分可能で
ϕxj (x) = −
fxj (x, ϕ(x))
.
fy (x, ϕ(x))
m = 1 の場合の結果をもとにして，数学的帰納法により一般の m に
対しても定理を証明できる．m − 1 のときなりたつとする．ヤコビ行列
J = ∂(f1 , . . . , fm )/∂(y1 , . . . , ym ) の i 行 j 列を除いてできる (m−1)×(m−1)
行列を Jij とおく．det J ̸= 0 であるからこの行列式の 1 行余因子展開を
考えると det J1j , j = 1, . . . , m の中に少なくとも一つ０でないものがある．
たとえば det J11 ̸= 0 とする．m − 1 のとき定理が成り立つと仮定したか
ら，m − 1 連立方程式


f2 (x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , ym ) = c2


 f (x , . . . , x ; y , . . . , y ) = c
3 1
n 1
m
3

.................................



fm (x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , ym ) = cm .
は y2 , y3 , . . . , ym について x = a, y = b のある近傍で一意的に解ける．すな
わちある r1 > 0, ρ1 > 0 が存在して ∥x − a∥2 + |y1 − b1 |2 < r12 であるような
x, y1 にたいして上の方程式をみたす yj , j = 2, 3, . . . , m が |y2 − b2 |2 + · · · +
1.6. 一般の陰関数の定理
63
|ym − bm |2 < ρ21 においてただ一つ存在する．その値を yj = ψj (x, y1 ), j =
2, 3, . . . , m とおき，それを f1 (x, y) = c1 に代入した方程式を考える：
g(x1 , x2 , . . . , xm , y1 ) := f1 (x, y1 , ψ2 (x, y1 ), . . . , ψm (x, y1 )) = c1 .
帰納法の仮定から
∂(ψ2 , . . . , ψm )
=−
∂(x1 , . . . , xn , y1 )
{
∂(f2 , . . . , fm )
∂(y2 , . . . , ym )
}−1
∂(f2 , . . . , fm )
.
∂(x1 , . . . , xn , y1 )
したがって fˆ(x, y) = (f2 (x, y), f3 (x, y), . . . , fm (x, y)) とおくとクラマーの
公式により
det(fˆy2 , fˆy3 , . . . , fˆyi−1 , fˆy1 , fˆyi+1 , . . . , fˆym )
∂ψi
= −
∂y1
det(fˆy2 , fˆy3 , . . . , fˆyi−1 , fˆyi , fˆyi+1 , . . . , fˆym )
det(fˆy1 , fˆy2 , . . . , fˆyi−1 , fˆyi+1 , fˆyi+2 , . . . , fˆym )
= −(−1)i−2
det(fˆy2 , fˆy3 , . . . , fˆyi−1 , fˆyi , fˆyi+1 , . . . , fˆym )
(−1)i−1 det J1i
.
=
det J11
これより
∂g
∂f1 ∑ ∂f1 ∂ψi
=
+
∂y1
∂y1 i=2 ∂yi ∂y1
m
∂f1 ∑ ∂f1 (−1)i−1 det J1i
+
=
∂y1 i=2 ∂yi
det J11
m
−1
= {det J11 }
m
∑
∂f1
i=1
∂yi
(−1)i−1 det J1i = {det J11 }−1 det J.
ψi (a, b1 ) = b1 であるから，g(a, b1 ) = f1 (a, b) = c1 であり，
(∂g/∂y1 )(a, b1 ) = {det J11 (a, b)}−1 (det J)(a, b) ̸= 0.
したがってある r2 > 0, ρ2 > 0 が存在して，∥x − a∥ < r2 であるとき
|y1 − b1 | < ρ2 において，g(x, y1 ) = c1 をみたす y1 = ψ1 (x) が唯一つ存在
する．ψ1 (x) は連続関数であるから，r2 を小さくとりなおすことにより，
r22 + ρ22 < r12 としてよい．このとき ∥x − a∥ < r2 に対して
{
ψ1 (x)
j=1
ϕj (x) =
ψj (x, ψ1 (x)) j > 1
第1章
64
偏微分法
と定義すれば f (x, ϕ(x)) = c がなりたつ．ϕ(x) は連続関数であるから，
ρ = min{ρ1 , ρ2 } とおくとき，r < r2 を十分小さくとれば ∥x − a∥ < r の
とき，∥ϕ(x) − b∥ < ρ.
最後に陰関数の一意性を示す．y = φ(x) が ∥x−a∥ < r において ∥y−b∥ <
ρ であるような陰関数とする．このとき
∥x − a∥ < r ⇒ ∥x − a∥2 + |ϕ1 (x) − b1 |2 < r22 + ρ22 < r12 , ∥φ(x)
ˆ − ˆb∥ < ρ1
であり，かつ
fi (x, φ1 (x), φ2 (x) . . . , φm (x)) = ci , i = 2, 3, . . . m
であるから ψj (x), j = 2, 3, . . . , m の一意性から ∥x − a∥ < r において
φj (x) = ψj (x, φ1 (x)).
したがって y1 = φ1 (x) は ψ1 (x) とおなじ方程式をみたす．その一意性よ
り φ1 (x) = ψ1 (x) であり，したがってまた ∥x − a∥ < r において φj (x) =
ψj (x, ϕ1 (x)) = ϕj (x).
✷

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