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続×４ベクトルの回転
クロメル＠物理のかぎプロジェクト
2013-03-13
我々は，続々ベクトルの回転で行列の指数関数がうまく行列の回転を表すことを見ました．それはなぜ
かを説明できたので，解釈の仕方を書こうと思います．
回転を表す微分方程式
Joh 氏はベクトルの回転に於いて，微小回転について触れています．それは次のような式です．
dr = (n × r)dφ
ここで，この微小量を時間 dt での微分と考えて，
(1)
dφ
n ≡ ω と置くと，
dt
dφ
dr
= (n × r)
dt
dt
= (ω × r)
(2)
とします．これは単位時間に回転軸 n と回転の対象である位置ベクトル r の両方に直交する方向に
ω ≡ |ω| =
dφ
だけ動く系であることを示しています．つまり，その解 r は回転を行った後の位置ベクト
dt
ルを記述します．
ここで続ベクトルの回転で書いた行列での記法で，式 (2) を書き直します．すると，


0
−n m


N = n
0 −l
−m
l
0
(3)
と行列で表現できますから，式 (2) は，
dr
dφ
= (n × r)
dt
dt
= ωN r
(4)
となります．すると，ジョルダン標準形の指数関数の応用と同じ論法で，解は
r = exp(tωN )r0
(5)
2
続×４ベクトルの回転
だと分かります．なぜこうなるかは，次の話が厳密ではありませんが参考にはなるでしょう．
lim (1 +
n→∞
x n
) = ex
n
(6)
がネイピア数の定義だったと思います．ここで微小回転を r に施すということは，
r = (1 + tωN )r0
(7)
ということでした．これを二ステップに分けて考えると，
r = (1 +
tωN 2
) r0
2
(8)
r = (1 +
tωN 3
) r0
3
(9)
となり，三ステップだと，
ですね？つまり，それを何回も分けて繰り返すと，
r = lim (1 +
n→∞
tωN n
) r0
n
(10)
と書いてよいでしょう．つまり，これは
lim (1 +
n→∞
tωN n
) = exp(tωN )
n
(11)
ということです．
N の指数関数の計算
これから，もうすでに続々ベクトルの回転で求めましたが，別の方法で行列 N の指数関数を求めたい
と思います．まず，N を対角化して Λ とし，N の n 乗を求めます．
Λ = ωP −1 N P

iω
0

=  0 −iω
0
0

0

0
0
(12)
で，この固有値の順番に対応する固有ベクトルからなる行列 P は，


ln + im ln − im l


P = mn − il mn + il m
n2 − 1
n2 − 1 n
(13)
となります．i は虚数単位です．よって，この行列の指数関数は，
exp(tΛ) = exp(tωP −1 N P )


eiωt
0
0


= 0
e−iωt 0 
0
0
e0


eiωt
0
0


= 0
e−iωt 0
0
0
1
(14)
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続×４ベクトルの回転
となります．ここで後の議論に便利なように，P をユニタリー化して U としておきます．なぜなら，そ
うすると逆行列が共役転置（随伴作用）で求まるからです．簡単の為，三次元極座標
を導入すると，

  
l
sin θ cos φ
  

m =  sin θ sin φ 
cos θ
n
(15)


√
cos θ cos φ + i sin φ cos θ cos φ − i sin φ
2 sin θ cos φ
√
1 

U = √ cos θ sin φ − i cos φ cos θ sin φ + i cos φ
2 sin θ sin φ 
√
2
− sin θ
− sin θ
2 cos θ
(16)
であり，この共役転置行列 U † = U −1 は，
U −1


cos θ cos φ − i sin φ cos θ sin φ + i cos φ − sin θ
1 

= √ cos θ cos φ + i sin φ cos θ sin φ − i cos φ − sin θ 
√
√
√
2
2 sin θ cos φ
2 sin θ sin φ
2 cos θ
です．よって，ダイアド積 nn を用いて，

ll

nn = lm
ln

lm
ln

mm mn
mn nn
(17)
(18)
と書き，三次単位行列を I と書くことにすると，正方行列の三連続積の展開の方法を用いて，
exp(tωN ) = U U −1 exp(tωN )U U −1
= U exp(tωU −1 N U )U −1
= U exp(tΛ)U −1

eiωt
0

−iωt
=U 0
e
0
0
=
ここで，
なので，

0
 −1
0 U
1
e−iωt
eiωt
(I − iN − nn) +
(I + iN − nn) + nn
2
2

−m2 − n2

2
N =
lm
ln
lm
2
−l − n2
mn

ln

mn 
−l2 − m2
nn = I + N 2
(19)
(20)
(21)
の関係を使うと，
eiωt
e−iωt
(I − iN − nn) +
(I + iN − nn) + nn
2
2
= nn − N 2 cos ωt + N sin ωt
exp(tωN ) =
(22)
となり，続々ベクトルの回転の結果と一致します．つまり，これは位置ベクトルが回転軸 n の周りを角
速度 ω で回転する様子を記述している式だったのです．めでたしめでたし．それでは，今日はこの辺で，
お疲れ様でした．
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