第1章平面上のベクトル解析

第 1 章平面上のベクトル解析
1.1
1.1.1
ベクトルとベクトル場
ベクトル
Rn = {(v1 , v2 , · · · , vn ); vi ∈ R (i = 1, 2, · · · , n)}
ベクトル v = v = (v1 , v2 , · · · , vn ) ∈ Rn
v = (v1 , v2 , · · · , vn ), w = (w1 , w2 , · · · , wn ) ∈ Rn
スカラー C ∈ R
和 v + w = (v1 + w1 , · · · , vn + wn )
スカラー倍 Cv = (Cv1 , · · · , Cvn )
ゼロベクトル 0 = (0, · · · , 0) ∈ Rn
1.1.2
内積
v = (v1 , v2 , · · · , vn ), w = (w1 , w2 , · · · , wn ) ∈ Rn
内積 v · w = v1 w1 + · · · + vn wn
√
ベクトルの大きさ v = v · v = v12 + · · · + vn2
θ を v と w のなす角とすると，v · w = v w cos θ
1.1.3
外積
外積は R3 のベクトルに対してだけ定義される．
v = (v1 , v2 , v3 ), w = (w1 , w2 , w3 ) ∈ R3
外積 v × w = (v2 w3 − v3 w2 , v3 w1 − v1 w3 , v1 w2 − v2 w1 )
v × w = v と w で張られる平行四辺形の面積
v, w, v × w は右手系をなす
1.1.4
内積と外積の性質
(i) v · w = w · v
(ii) (C1 v 1 + C2 v 2 ) · w = C1 v 1 · w + C2 v 2 · w
(iii) v × w = −w × v,
v×v =0
1
(iv) (C1 v 1 + C2 v2 ) × w＝ C1 v 1 × w + C2 v 2 × w
(v) u · (v × w) = v · (w × u) = w · (u × v)
注意 u × (v × w) = (u × v) × w
1.1.5
ベクトル場
Ω: Rn の部分集合
ベクトル場 p ∈ Ω → v(p) ∈ Rn
スカラー値関数（関数）f : p ∈ Ω → f (p) ∈ R
v, w: ベクトル場，f : スカラー値関数
(v + w)(p) = v(p) + w(p)
(f v)(p) = f (p)v(p)
(v · w)(p) = v(p) · w(p)
(v × w)(p) = v(p) × w(p) （ n = 3 の時）
1.1.6
勾配ベクトル場
f : Ω −→ R
スカラー値関数
grad f (x1 , · · · , xn ) =
∂f
∂f
(x1 · · · , xn ), · · · ,
(x1 , · · · , xn )
∂x1
∂xn
勾配ベクトル場 grad f : Ω −→ Rn
p = (x1 , · · · , xn ) ∈ Ω に対して，grad f (p) は grad p f とも書く．
grad f は ∇f とも書く．
∂
∂
∇=
,···
∂x1
∂xn
1.1.7
方向微分
Ω ⊂ R2 ,
f : Ω −→ R,
a = (a, b) ∈ R2
定義 1.1.7.1. 方向微分 :
D f (x, y) =
D f (p) = (grad f (p)) · a
df (x + ta, y + tb)
dt
(p = (x, y))
2
t=0
1.2
1.2.1
線積分
線積分
L : R2 の曲線，
: [a, b] −→ R2 : L のパラメータ表示（微分可能と仮定する）
(t) = ( 1 (t), 2 (t)) とおいたとき，
d 1
d 2
d
(t) = ˙ (t) =
(t),
(t)
dt
dt
dt
L ⊂ Ω ⊂ R2 ,
V : Ω −→ R2 : ベクトル場，V (p) = (V1 (p), V2 (p))
定義 1.2.1.1.
b
a
に沿った V の線積分：
b
V ·d =
a
d
(t) dt
dt
d 1
d 2
(t) + V2 ( (t))
(t) dt
V1 ( (t))
dt
dt
V ( (t)) ·
b
=
a
1.2.2
パラメータの取替え
線積分はパラメータの取り方によらない．
h(s) : [a , b ] −→ [a, b] : 微分可能，単調増加
˜ = ◦ h : [a , b ] −→ R2 : L のパラメータ表示
命題 1.2.2.1.
b
a
b
V ·d =
a
V · d˜
注意．を L のパラメータ表示，V (x, y) = (V1 (x, y), V2 (x, y)) の時，
次のようにも書く：
b
a
V ·d =
L
=
L
V1 (x, y) dx + V2 (x, y) dy
V1 dx + V2 dy
スカラー値関数 f : Ω −→ R に対して，f の線積分を次の式で定義する．
b
b
f ( (t))
d
dt
dt
によらない．
b
a f
dL を
f dL =
a
a
この定義もパラメータ表示
特に，f = 1 の時，
b
b
dL =
a
a
は曲線 L の長さを表す．
3
d
dt
dt
Lf
dL とも書く．
1.2.3
勾配ベクトルの特徴付け
Ω ⊂ R2 : 領域（開集合で，Ω の任意の２点を結ぶ Ω 内の曲線が存在
する．
）
命題 1.2.3.1. f : Ω −→ R （微分可能）
: [a, b] −→ Ω : Ω 内の曲線 L のパラメータ表示
b
a
grad f · d = f ( (b)) − f ( (a))
定理 1.2.3.2. V : Ω −→ R2 : ベクトル場
次の条件は同値
(i)
V (p) = grad f (p) ∀p ∈ Ω となる関数 f が存在する．
(ii)
任意の Ω 内の曲線 L のパラメータ表示 : [a, b] −→ Ω に対して
b
a
V ·d
は曲線の両端 (a), (b) だけで決まり，曲線 L とそのパラメータ表示
の取り方によらない．
1.3
1.3.1
線積分
滑らかな曲線
曲線 L ⊂ R2
定義 1.3.1.1. L のパラメータ表示
⇐⇒
: [a, b] −→ R2 が正則パラメータ
def.
(i)
は無限回微分可能
i.e. (t) = ( 1 (t), 2 (t)) とおいた時， 1 (t) と 2 (t) は無限回微分可能
(ii)
t = s なら， (t) = (s)
(iii)
d 1
d 2
d
(t) =
(t),
(t) = (0, 0)
dt
dt
dt
正則パラメータを持つ曲線を滑らかな曲線と呼ぶ．
L のパラメータ : R −→ R2 が上の (i), (iii) と
(ii’)
S > 0 が存在し， (t) = (t + S), (t) = (s) なら，t =
s + nS (n ∈ Z)
を満たす時，L を滑らかな閉曲線と呼ぶ．また S をの周期と言う．
4
1.3.2
接ベクトルと法ベクトル
定義 1.3.2.1. L : 曲線， : L の正則パラメータ，p = (t0 )
♥
v が p での L の接ベクトル
d
⇐⇒ ∃c ∈ R such that v = c (t0 )
def.
dt
♥
v が p での L の法ベクトル
d
⇐⇒ v · (t0 ) = 0
def.
dt
♥
v が単位接ベクトル
⇐⇒ v が接ベクトルで v = 1
def.
1.3.3
曲線の向き
定義 1.3.3.1. L : 曲線， (t), m(s) : L の正則パラメータ
♥
と m が L の同じ向きを定める
⇐⇒ (t) = m(s) となる t, s に対して，
def.
∃c > 0 such that
dm
d
(t) = c
(s)
dt
ds
と m が L の異なる向きを定める
♥
⇐⇒ (t) = m(s) となる t, s に対して，∃c < 0 such that
def.
c
dm
(s)
ds
d
(t) =
dt
♥
L は向きのついた曲線
⇐⇒ L に対しては同じ向きの正則パラメータのみを考える
def.
L : 向きのついた曲線， : L の正則パラメータ（向きを保つ），p = (t)
˙ (t)
d
(t)
単位接ベクトル t(p) =
は一意的に決まる． ˙ (t) =
˙ (t)
dt
単位法ベクトル n(p) : t(p) を時計まわりに 90◦ 回転したもの
L : 閉曲線，Ω : L によって囲まれる領域
L の標準的な向き ⇐⇒ n(p) が Ω の内側から外側へむかう向き
def.
Ω : 滑らかな境界を持つ領域，∂Ω : Ω の境界
∂Ω の向き ⇐⇒ ∂Ω の法ベクトルが Ω の内側から外側へ向かう向き
def.
5
注意．∂Ω の向きと曲線としての ∂Ω の標準的な向きは一般には一致し
ない．
1.3.4
線積分
定義 1.3.4.1. V (x) : R2 上のベクトル場，
L : 向きのついた滑らかな閉曲線（閉曲線でなくとも同様に定義できる）
n : L −→ R2 : 連続写像で，n(p) は L の単位法ベクトル (p ∈ L)
: L の向きを保つ正則パラメータ，S : L の周期 (§1.3.1),
線積分を次の式で定義する．
L
0
補題 1.3.4.2. 上の線積分
方によらない．
1.4
S
V · n dL =
LV
d
(s) V ( (s)) · n( (s)) ds
ds
· n dL の定義は正則パラメータ
の取り
ガウスの発散定理（２次元）
1.4.1
ベクトル場の発散
Ω ⊂ Rn : 領域，V : Ω −→ Rn : ベクトル場，
V (x1 , . . . , xn ) = (V1 (x1 , . . . , xn ), . . . , Vn (x1 , . . . , xn ))
定義 1.4.1.1. V の発散
div V (x1 , . . . , xn ) =
∂V1
∂Vn
(x1 , . . . , xn ) + · · · +
(x1 , . . . , xn )
∂x1
∂xn
補題 1.4.1.2. (1) div (V ± W ) = div V + div W
(2) div (f V ) = grad f · V + f div V
1.4.2
ガウスの発散定理
定理 1.4.2.1 (ガウスの発散定理). Ω : 滑らかな境界 L を持つ平面上の
有界領域
V : Ω −→ R2 : ベクトル場
L
V · n dL =
div V (x, y) dxdy
Ω
法ベクトル n は Ω の内側から外側へ向くようにとる．
6
1.4.3
ベクトル場の回転とグリーンの定理
定義 1.4.3.1. V : Ω −→ R2 : ベクトル場，V (x, y) = (V1 (x, y), V2 (x, y))
∂V1
∂V2
(x, y) −
(x, y)
回転 rot V (x, y) =
∂x
∂y
定理 1.4.3.2 (グリーンの定理). Ω : 滑らかな境界 L を持つ平面上の有
界領域，
V : Ω −→ R2 : ベクトル場， : L の向きを保つ正則パラメータ
L
V ·d =
rot V (x, y) dxdy
Ω
上の式は次のようにも書く：
L
V1 dx + V2 dy =
Ω
7
∂V2 ∂V1
−
∂x
∂y
dxdy
第 2 章３次元空間のベクトル解析
2.1
2.1.1
曲面
曲面の定義
定義 2.1.1.1. S ⊂ R3 が曲面 ⇐⇒
def.
p ∈ S に対して，次のような ε > 0, 開集合 U ⊂ R2 , C ∞ -級の写像
ϕ : U −→ R3 が存在する：
(i) ϕ(U) ⊂ S, Bp (ε) ∩ S ⊂ ϕ(U),
ただし，Bp (ε) = {x ∈ R3 ; x − p < ε}.
(ii) ϕ は単射．
(iii) U 上で rank Dϕ = 2,
ただし，ϕ(s, t) = (ϕ1 (s, t), ϕ2 (s, t), ϕ3 (s, t)) ((s, t) ∈ U ) とおいて，
⎛ ∂ϕ
⎞
∂ϕ
1
⎜ ∂s2
Dϕ = ⎝ ∂ϕ
∂s
∂ϕ3
∂s
1
∂t
∂ϕ2 ⎟
∂t ⎠
∂ϕ3
∂t
p ∈ U のとき， ϕ を p の近くでの S の（局所）座標という．
2.1.2
接平面と法ベクトル
定義 2.1.2.1. S ⊂ R3 : 曲面，p ∈ S,
ϕ : p の近くでの S の座標，p = ϕ(s0 , t0 )
p における S の接平面 Tp S ⇐⇒
def.
写像 Dϕ(s0 , t0 ) : R3 −→ R3 の像である線形空間
Tp S に属するベクトルを接ベクトルという．
接平面 Tp S は次の２つのベクトルによって張られる R3 の２次元部分
空間である：
⎞
⎞
⎛ ∂ϕ
⎛ ∂ϕ
1
1
(s
,
t
)
(s
,
t
)
0
0
0
0
∂t
∂ϕ
∂ϕ
⎟
⎟
⎜ ∂s2
⎜ ∂ϕ
2
,
(s0 , t0 ) = ⎝ ∂ϕ
(s
,
t
)
=
(s
,
t
)
⎠
⎝
0
0
0
0
∂s
∂t (s0 , t0 )⎠
∂s
∂t
∂ϕ3
∂ϕ3
∂s (s0 , t0 )
∂t (s0 , t0 )
8
定義 2.1.2.2. v が p での S の法ベクトル ⇐⇒
def.
v は Tp S と直交する．
v = 1 の時，v を単位法ベクトルという．
2.1.3
曲面の向き
定義 2.1.3.1. S ⊂ R2 : 曲面
S の向き ⇐⇒
def.
連続写像 n : S −→ R3 ですべての p ∈ S に対して n(p) は S の単位法ベ
クトル
定義 2.1.3.2. 上の定義 2.1.3.1 の連続写像 n : S −→ R3 が存在する時，
S は向き付け可能という．
2.2
面積分
2.2.1
面積分の定義
S ⊂ R3 : 曲面，n : S −→ R3 : S の向き
S が１つの座標 ϕ : U −→ R3 (U ⊂ R3 ) で書かれていると仮定する．
この時，ϕ(U) = S.
定義 2.2.1.1. Ω : S を含む開領域，V : Ω −→ R3 : ベクトル場
f : Ω −→ R : スカラー値関数
∂ϕ
∂ϕ
(s, t) ×
(s, t) dsdt
∂s
∂t
U
∂ϕ
∂ϕ
(s, t) ×
(s, t) dsdt
f ds =
f (ϕ(s, t))
∂s
∂t
S
U
V · dS =
S
V (ϕ(s, t)) · n(ϕ(s, t))
ϕ が向きを保つ時，つまり，
n(ϕ(s, t)) =
∂ϕ
∂ϕ
(s, t) ×
(s, t)
∂s
∂t
∂ϕ
∂ϕ
(s, t) ×
(s, t)
∂s
∂t
の時，
S
V · dS =
U
V (ϕ(s, t)) ·
9
∂ϕ
∂ϕ
(s, t) ×
(s, t)
∂s
∂t
dsdt
2.3
2.3.1
ガウスの発散定理（３次元)
ガウスの発散定理 (３次元)
Ω ⊂ R3 : 領域，S : Ω の境界，
S は閉曲面であるとする．
（つまり，有界，閉集合，向き付け可能な曲面
とする．
）
U : Ω ∪ S を含む開集合，V : U −→ R3 : ベクトル場
定義 2.3.1.1 (ガウスの発散定理).
div V dxdydz =
Ω
S
V · S,
ただし，S には Ω の内側から外側へ向かう向きを入れる．
10
付録A
A.1
演習
ベクトルとベクトル場
A.1.1
次のベクトルについて，u × v を求めよ．
(1) u = (1, −1, 1), v = (−2, 3, 1)
(2) u = (−1, 1, 2), v = (1, 0, −1)
(3) u = (1, 1, −3), v = (−1, −2, −3)
A.1.2
u = (1, 1, 2), v = (2, 0, 1), w = (1, 0, 3) に対して，u × (v × w) と
(u × v) × w を計算せよ．
A.1.3
d
を求めよ．
dt
t
(t) = (e , cos t, sin t)
(t) = (sin 2t, log (1 + t), t)
(t) = (cos t, sin t)
(t) = (cos 3t, sin 3t)
次の (t) に対して，
(1)
(2)
(3)
(4)
A.1.4
次のベクトル場の絵を描け．
(1) V (p) = (1, 0)
(2) V (p) = (x + y, x)
11
A.1.5
次の f に対して，grad f を求めよ． (1) f (x, y, z) = xy + z
(2) f (x, y) = x2 y 5 + 1
(3) f (x, y, z) = sin (xy) + cos z
(4) f (x, y) = cos (xy)
(5) f (x, y, z) = sin (xyz)
(6) f (x, y, z) = exyz
(7) f (x, y, z) = x2 sin (yz)
(8) f (x, y, z) = xyz
(9) f (x, y, z) = xz + yz + xy
(10) f (x, y, z) = x cos (y − 3z) + tan−1 (xy)
A.1.6
grad f g = f (grad g) + g(grad f ) を示せ．
A.2
線積分
A.2.1
次の曲線 (t) の与えられた区間に対する長さを求めよ．
(1) (t) = (cos 4t, sin 4t, t) (t = 0 から t = π/8 まで )
(2) (t) = (t, 2t, t2 ) (t = 1 から t = 3 まで )
√
(3) (t) = (e3t , e−3t , 3 2t) (t = 0 から t = 1/3 まで )
A.2.2
次に与えられた曲線 L の適当なパラメータ表示 (t) と与えられたベク
トル場 V (x, y) に対して，線積分
b
a
V · d を求めよ．
(1) 放物線 x = y 2 /4 に沿う (0, 0) から (1, 2) までの V (x, y) = (y 2 , −x)
の積分．
(2) 円 x2 + y 2 = 4 の第１象限内の弧に沿う (0, 2) から (2, 0) までの
V (x, y) = (x2 − y 2 , x) の積分．
(3) 直線 x = 1 と放物線 x = y 2 のそれぞれ一部で形成される閉じた道
に沿う反時計回りの V (x, y) = (x2 y 2 , xy 2 ) の積分．
(4) 円周 x2 + y 2 = 4 に沿う反時計周りの V (x, y) = (x2 − y 2 , x) の積分．
12
√
(5) 円周 x2 + y 2 = 2 に沿う (1, 1) から (− 2, 0) までの反時計回りの
V (x, y) =
−y
x
, 2
2
+ y x + y2
x2
の積分．
(6) 直線 x + y = 1 に沿う (0, 1) から (1, 0) までの
V (x, y) =
−y
x
, 2
2
+ y x + y2
x2
の積分．
(7) 直線 x = 3, x = 5, y = 1, y = 3 で囲まれる正方形（の周）に沿う
時計回りの V (x, y) = (2xy, −3xy) の積分．
A.2.3
(t) = (et cos t, et sin t), V (x, y) = (x, y) とするとき，次の線積分を計
算せよ．
0
lim
T →∞ −T
V ·d
A.2.4
次の曲線 L の正則パラメータを与えよ．
(1) L = {(x, y) ∈ R2 ; cos x + y = 0}
(2) L = {(x, y) ∈ R2 ; 3x2 + 4y 2 = 1}
(3) L = {(x, y) ∈ R2 ; yex = 1}
A.2.5
放物線 y = x2 の接ベクトルと法ベクトルを求めよ．
A.2.6
x2
+ y 2 = 1} に対して，標準的な向きを保つ正則
4
パラメータ (t) を求めよ．また，p = (t) に対して単位接ベクトル t(p),
単位法ベクトル n(p) を求めよ．
閉曲線 L = {(x, y);
13
A.3
ガウスの発散定理 (２次元）
A.3.1
次のベクトル場 V に対して，発散 div V を求めよ．
(1) V = (−y, x)
(2) V = (x2 , y)
y
x
,
(3) V =
2
2
2
x +y
x + y2
(4) V = (x log x2 + y 2 , y log x2 + y 2 )
A.3.2
L=
(x, y);
x2
+ y 2 = 1 , V (x, y) = (2x, 3x + y) とする．ガウスの
4
発散定理を用いて，
とる．
）
L
V · n dL を計算せよ．
（ L の向きは標準的な向きを
A.3.3
L が次の曲線であるとき，グリーンの定理を用いて積分
y 2 dx + xdy
L
を求めよ．
（ L の向きは標準的な向きをとる．
）
(1) 頂点が (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2) である正方形（の周）．
(2) 頂点が (±1, ±1) である正方形（の周）．
(3) 原点を中心とする半径 2 の円．
(4) 原点を中心とする半径 1 の円．
(5) 頂点が (±2, 0), (0, ±2) である正方形（の周）．
(6) 楕円 x2 /a2 + y 2 /b2 = 1
A.3.4
L を標準的な向きを持つ閉曲線，Ω を L の内部の領域とする．Ω の面
積 Vol (Ω) は次の式で与えられることを示せ．
Vol (Ω) =
1
2
L
−y dx + x dy =
14
x dy
L
A.3.5
L を標準的な向きを持つ閉曲線，Ω を L の内部の領域とする．Ω にお
いて，関数 f がラプラスの方程式
∂2f
∂2f
+
=0
∂x2
∂y 2
を満足すると仮定する．この時，次の式が成り立つことを示せ．
L
∂f
∂f
dx −
dy = 0
∂y
∂x
A.3.6
ともに時計と反対の向きを持つ２つの同心円を C1 , C2 , C1 と C2 によっ
て囲まれた領域を Ω とする．V = (V1 , V2 ) を Ω 上のベクトル場とし，あ
る C 2 -級の関数 ϕ に対して V = grad ϕ が成り立つとする．このとき，
つぎの式が成り立つことを示せ．
C1
V1 dx + V2 dy =
15
C2
V1 dx + V2 dy
参考文献
[1] 深谷賢治，電磁場とベクトル解析，岩波書店
[2] S. ラング，ラング続解析入門（原書第２版），岩波書店
16

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