電磁気学 A 演習問題解答まあ問題があるので（レポートにもなってるので）解答を作ります。それなりにわかっている人に対する解答である場合が多いと思うので、わからなければ自分で調べるかシケ対に聞くかノートの見返すかしてみてください。あと、数学的な所はかなり端折っています。ランダウの記号とか、やりたい人は細かくやってみてください。 1 リング上に一様に分布した電荷による電場半径 a のリング上に電荷 Q が一様に分布している。このリングの軸線上にあってリングの中心からの距離 x の点 P における電場を求めよ。 dθ √ x2 + a2 a P x dE = k σadθ x2 + a2 リング上の角度 dθ（長さ adθ）の部分が、P に作る電場の大きさは、クーロンの法則より dE = k σadθ x2 + a2 である。ただし電荷の線密度（単位長さ辺りの電荷）を σ = Q とした。 2πa さらに、その x 方向の成分 dEx は dEx = k σadθ · √ x x2 + a2 x2 + a2 である。対称性より、電場は x 方向のみにできると考えられるので、dEx を積分したものが求める答えとなって ∫ 2π E(x) = k 2 σax2 3/2 dθ (x + a ) 0 2πkσax = (x2 + a2 )3/2 kQx = (x2 + a2 )3/2 ※極限チェックとして、a → 0 とすると E → kQ となって、点電荷の場合と一致する。 x2 また、この電荷分布による電場 ϕ(x) は電場を積分すれば求まり、無限遠を電場の基準とすると ∫ x ϕ(x) = − E(x) · dr ∞ ∫ x x = −kQ dx 2 (x + a2 )3/2 ∞ ]x [ 1 = −kQ − √ x2 + a2 ∞ kQ = √ x2 + a2 となります1 。 1 積分変数の x と座標の x がごっちゃになってますが、わかってもらえる…はず。あと、マイナスをつけるのを忘れないようにしましょう。 1 2 円板上に一様に分布した電荷による電場半径 a、電荷面密度のσ の円板がある。円板の軸線上にあり、中心から距離 x にある点 P における電場を求めよ。先ほどの問題では微小な線 adθを考えていましたが、ここでは中心からの位置 r にある微小な面積 rdθdr を考えて同じことをすると、その部分（円）が作る電場は E= 2πkσrx dr (x2 + r2 )3/2 となります。これを r について足し合わせて、求める電場は ∫ a 2πkσrx dr E = 2 (x + r2 )3/2 0 [ ]r=a 1 = 2πkσx − √ x2 + r2 r=0 ( ) 1 1 = 2πkσx − √ x x2 + a2 となります。極限チェックとして a → 0 とすると E → kQ σ となり、x によら、a → ∞ とすると E → 2πkσ = 2ε0 x2 ない一様な電場であることがわかります。また、この電荷分布による電場 ϕ(x)、無限遠を電場の基準として電場を積分して、 ∫ x ϕ(x) = − E(x) · dr ∞ ) ∫ x( x = −2πkσ 1− √ dx x2 + a2 ∞ [√ ]x = 2πkσ x2 + a2 − x ( )∞ √ = 2πkσ x − x2 + a2 となります。 3 定ベクトル場の面積分 (数学) ∫ V (r) · dS = V0 S0 を示せ。 S ※注意 ⃗ (⃗r = V0 zˆ(V0 は定数)…」となっていますが、 ⃗ (⃗r) = V0 zˆ 問題文が、「このときベクトル場 V 「ベクトル場 V (V0 は定数)…」の間違いだと思われます。面積分は、ある微小面積において dS(= n · dS) とその代表点でのベクトル場V を内積してそれを積分します。内積の値は「ベクトル場の dS 方向成分と dS の積」であり、「dS のベクトル場方向の成分と V0 の積」です。ここで、与えられたベクトル場では z 成分のみが V0 、その他の成分が 0 であることに注意すると、 V · dS = 「dS のV 方向の成分」と V0 の積 = 「dS の z 方向成分」と V0 の積 = 「dS を xy 平面に射影したときの面積」と V0 の積となるので、「dS を xy 平面に射影したときの面積」= dSz と表すと、求める面積分は ∫ ∫ V · dS = S V0 dSz S 2 となり、S を xy 平面に射影したときの面積が S0 であることから ∫ dSz = S0 S ∫ となるので、 ∫ V · dS = S V0 dSz = V0 S0 S と計算されます。 4 円筒対称なベクトル場の面積分 (数学) ρ= ( ) x y ∫ とするとき V · dS を求めよ。 V (r) = ρ S 少しわかりにくいですが、S 上では常に |ρ| = (一定) = R であることがわかるはずです。ρは大きさがで向きがr を xy 平面に射影した向き（常にnと同じ向き）です。なので、S 上では常に V · dS = (V · n)dS = RdS となります。なので ∫ ∫ V · dS S = RdS S = R × (S の表面積) = R × 2πRL = 2πR2 L と計算されます。 5 立体角 (数学) 半頂角 θの円錐の、頂点から見た底面の立体角は 2π(1 − cos θ) となることを示せ R 面積 S r dr √ l r 2 + l2 φ θ まず上のように文字を置いて、斜線部分の立体角 dΩ を求めます。dΩ = dS ′ の公式を使って r2 2πrdr × √r2l+l2 dS cos φ dr dΩ = √ = = 2 2πlr r 2 + l2 (r + l2 )3/2 ( r 2 + l 2 )2 3 √ x2 + y 2 これを r = 0 から r = R まで積分すれば、面 S について全て積分したことになり、 ∫ ∫ dΩ = S = = = = R 2πlr dr 2 3/2 0 (r + l ) ∫ R r 2πl dr 2 2 3/2 0 (r + l ) [ ]R 1 2πl − √ r 2 + l2 0 ( ) l 2π 1 − √ R2 + l 2 2π(1 − cos θ) 2 と求められました。 6 球内に一様に分布した電荷による電場半径 a の球内に電荷 Q が一様に分布しているとき、電場E を球の中心からの位置ベクトルr の関数にせよ。授業でやったので省略します。「§ Gauss の法則の応用例例 2」を参照してください。 7 円柱領域内に一様に分布した電荷による電場半径 R、電荷密度ν の、無限に長い円柱がある。空間の各点における電場を求めよ。対称性から、電場は円柱の中心軸に垂直で外向き（電荷が正のとき）であると考えられます。さらに円柱が無限に長いことから、電場は中心軸からの距離のみの関数であると考えられます。以上より、半径 r、高さ l ので中心軸が電荷分布の円柱と等しい円柱面 S でガウスの法則を適用すると、 (1) r > R のとき 1 × νπR2 l ε0 ∫ E(r) · dS = S = E(r) × 2πrl より、 2 E(r) = νR 2ε0 r (2) r < R のとき 1 × νπr2 l ε0 ∫ E(r) · dS = S = E(r) × 2πrl より、 E(r) = νr 2ε0 と求まります。 (1) で、電荷密度 πR2 ν = ρ(電荷線密度) を一定としたまま R → 0 とすると、無限に長い線上に分布した電荷の作る電場が求まります。その際 R → 0 にしてもしなくても、 E(r) = となるので、 4 1 ρ 2πε r 無限に長い円柱の作る電場は、電荷が円柱の中心に線として分布したときのものと等しいということがわかります。これは問題 5 の結果（中心に点として分布したものと等しい）や、地球の重力を考えるときと似たものになります。 8 静電誘導平板導体面積 S で電荷 Q を持った導体平板に、電場 E0 をかける。電荷分布を求めよ。そもそもの話ですが、この場合、導体内部では静電誘導が起きて電場が新しく生じますが、外部の電場の様子 Q は変わりません。つまり、外側では導体が上下方向に作る電場と外部電場 E0 の単純な足し合わせになって 2ε0 S います。 Q − E0 2ε0 S Q 2ε0 S =⇒ Q Q 2ε0 S Q + E0 2ε0 S E0 静電誘導が起きることで変化するのは内部だけ、ということに注意しましょう。また、最初の状態で導体内部に電荷がない場合は、次のように内部で電場が生じます。導体内部で合成電場が 0 になるように =⇒ E0 E0 E0 さて問題に入ります。といっても誘導に従えば問題は解けるようになっています。ガウスの法則を使うと、上面と下面の作る電場 E1 と E2 は E1 = σ1 2ε0 E2 = σ2 2ε0 と求まり、総電荷の保存について σ 1 S + σ2 S = Q と、同体内の電場が 0 となることを表す関係式（ここでは下向きを正としました） E0 + E1 − E2 = 0 の以上 4 式を連立させると、未知数 E1 、E2 、σ1 、σ2 が求まります。 E1 = Q E − 0 4ε0 S 2 E2 = Q E + 0 4ε0 S 2 Q − ε0 E0 2S σ2 = Q + ε0 E0 2S σ1 = 確認として導体上部と下部の合成電場、E上（上向き）と E下（下向き）を求めておきます。 E上 = E1 + E2 − E0 = 5 Q − E0 2ε0 S E下 = E1 + E2 + E0 = Q + E0 2ε0 S やはり最初に説明したとおり、「導体内の電荷が作る電場」と「外部電場」の和になりました。 9 静電誘導同心球導体中空導体球に電荷 Q を与え、その中心に電荷 q の点電荷を置く。電荷分布を求めよ。これも常識的な感覚として、中心付近がどうなっていようと、外部には、全電荷 Q + q を点とみなしたときと同じ電場が作られるということを考えればミスが少なくなると思います。つまり電場は以下のようになります。 E= 1 Q+q 4πε0 r2 めっちゃ遠くから見たとき 1．ではまず、感覚だけで大体の様子を考えてみたいと思います。静電誘導の時に大事なのは、導体内の電場はゼロということでした。電場の様子は電気力線で考えることができましたが、それで言うなら「電気力線は導体の中に存在しない」ということです。さて、いま中心に電気量 q の電荷があり、そこから電気力線がわき出ています。その線は導体内を通らないので、必ず導体の内側面で全て吸収されます。なので、導体の内側面に分布している電荷の総量は −q となります2 。次に、導体内部に電荷は分布しないので、残りの電荷は全て導体の外側面に分布することになります。残った電荷は (総電気量) − (内側の電気量) = Q − (−q) = Q + q となり、これが外側の電荷です。あとはそこか 1 Q + q となる電場が生じます。イメージ図を下に描いてみました。ら外側に E = 4πε0 r2 Q+q q −q 2 大きさが同じで、吸い込みのため逆符号。この部分はコンデンサーになっていますね。 6 2．次に、数式を使って解いてみましょう。文字の置き方は問題文を見てください。まず、ガウスの法則「電場 × 面積 = 内側の総電荷」で電場を求めます3 。中心電荷が作る電場 ε0 E0 = E0 は q 1 4πε0 r2 内側面に分布する電荷は外側だけに電場を作り（r < a のとき E1 = 0）、 E1 = 1 4πa2 σ1 = σ1 a2 4πε0 r2 ε0 r 2 外側面に分布する電荷も同様に、（r < b のとき E2 = 0） E2 = 1 4πb2 σ2 = σ2 b2 4πε0 r2 ε0 r2 そして、導体内部（a < r < b）で電場がゼロである条件は、r < b で E2 = 0 であることに注意すれば、 E0 + E1 = 0 となり、さらに導体内の電気量の保存から Q = 4πa2 σ1 + 4πb2 σ2 の関係式が出ます。以上を連立して解けば、4 つの未知数 E1 、E2 、σ1 、σ2 が求まって、 σ1 = − E1 = − q 4πa2 Q+q 4πb2 σ2 = q 1 4πε0 r2 E2 = 1 Q+q 4πε0 r2 となります。数式でできるのはもちろんですが、これくらいの問題は 1 の方法で感覚的にわかって欲しいです。導体内と導体外の合成電場を求めておくと、 E内 = E0 = q 1 4πε0 r2 E外 = E0 + E1 + E2 = 1 Q+q 4πε0 r2 となり、これは 1 で求めたのと同じ結果になります。さらに、r → a − 0、r → b + 0 として、導体の表面付近の電場を見てみた場合は、 E内 → E外 → となって、表面付近では q σ =− 1 ε0 4πε0 a2 q σ2 2 = ε 4πε0 b 0 E= σ ε0 という導体の性質の一つが成り立っています。 10 円柱領域を流れる電流の作る磁場半径 R、長さ無限大の円柱に電流 I が流れている。円柱の中心から距離ρでの磁場を求めよ。 3 例：E 0 × 4πr 2 = Q q 1 。ただし実際には、半径 r の球内に含まれる総電荷が中心に集まったとして、E = の公式を使います。 ε0 4πε0 r2 7 磁場を求めるのに使うのは、Amp`ere の法則です。 ∫ B · dr = µ0 C J · dS S 言葉で具体的に説明すると次のようになります。（磁場を閉曲線 C に沿って積分したもの）= µ0 ×（C を縁とする曲面 S を貫く電流）でも実際にはもっと簡単で、閉曲線 C は円周、曲面 S は C に張った膜であることが普通です4 。 S C さらに簡単に、この問題のように条件が軸対称の場合は、磁場が半径のみの関数になるので、式にすると B(r) × 2πr = µ0 ×（S を貫く電流）と表すことが出来ます。結局やることは、貫く電流はどれくらいになるかを考えればいいのです。それを考えれば、この問題は一瞬で、  I 2 I=  I ρ2 R ρ i.e.電流分布の外部) (R (0 < ρ R i.e.電流分布の内部) となるため、求める磁場は、zˆ × ρˆ の向き（電流から位置ベクトルに右ネジを回して進む向き）に、大きさは    µ0 I (R ρ)  2πρ B(ρ) =  µ I ρ2   0 (0 < ρ R) 2πρ R2 となります。 11 円筒領域を流れる電流の作る磁場問題文にあるような円筒に電流 I が流れている。円柱の中心から距離ρでの磁場を求めよ。これも同じで、円周内を貫く電流を正しく見極めることです。余計なお世話かもしれませんが図を載せておきます。 a b 4 別に膜でなくても値は同じになるのですが、計算のしやすさからして 8 S が円になるように選ぶのが理性的です。磁場を求めると、これも zˆ × ρˆ の向きに、大きさ  0      µ0 I ρ2 − a2 B(ρ) = 2πρ b2 − a2    µ0 I   2πρ (0 < ρ a) (a ρ b) (b ρ) となります。 12 円柱領域を逆向きに流れる二つの電流の作る磁場問題文にあるような円柱に電流が流れている。円柱の中心から距離ρでの磁場を求めよ。さらに、軸方向単位長さあたりの磁場のエネルギーと、インダクタンスを求めよ。これも前半は全く同じことです。問題文の読み取りと場合分けが少し面倒になるかもしれませんが、結局は「内側の電流」です。合計 I 合計 −I 磁場は zˆ × ρˆ の向きに、大きさ  0    2  ρ − a21  µ I 0     2πρ b21 − a21    µ0 I B(ρ) = 2πρ      µ0 I b22 − ρ2     2πρ b22 − a22    0 (0 < ρ a1 ) (a1 ρ b1 ) (b1 ρ a2 ) (a2 ρ b2 ) (b2 ρ) となります。一方、ある一点での磁場のエネルギー密度は 2 u= B 2µ0 ∫ と表され、合計するにはそれを積分して、 U= V とします。ちなみに電場のエネルギー密度が u = B 2 dV 2µ0 ε0 E 2 になることもおさえておきましょう。 2 9 あとはこれを、内径 a1 、外径 a2 、高さ 1 の円筒について計算するだけです。途中、極座標に変換して計算します。 U = = = = = = )2 µ0 I dxdydz 2πρ V ∫ ∫ 1 µ0 I 2 1 dz dxdy 2 8π 2 S r 0 ∫ µ0 I 2 1 rdrdθ 8π 2 S r2 ∫ a2 ∫ 2π µ0 I 2 dr dθ 1 r 8π 2 a1 0 ∫ a2 2 µ0 I 1 dr 2π 8π 2 a1 r 1 2µ0 ∫ ( (←まず z だけ計算する) (極座標に座標変換) µ0 I 2 a log 1 4π a2 インダクタンスについてですが、これはインダクタンス L と流れる電流 I を用いたエネルギーの表記 U = 1 LI 2 2 を使えばいいと思います。イメージとしては、無限遠で外側円筒と内側円筒がつながっている感じです。でもコイルとは形がほど遠いのでよくわかりませんね。まあインダクタンスを求めて終わりにします。 1 LI 2 = µ0 I 2 log a1 2 4π a2 より、 L= 13 µ0 a log 1 2π a2 電磁誘導の法則証明静電場での電磁誘導の法則は、修正せずに成り立つことを示せ。ノートでもやっているのでここでは補足説明をします。静電場での電磁誘導の法則は積分形で下のように表されます ∫ E · dr = − ∂B · dS C S ∂t これの表す意味は、 (C に沿った電場の線積分) = −(C を縁とする曲面 S を貫く磁束の時間変化) ということです。下の図を見てもらえると少しイメージがわくと思います。 B S C 10 ここで、S は「C を縁とする」曲面というのが条件なので、下の図で左側の図のように、C に張った膜を考えても良いし、右の図のようにドームのような形を考えても良いのです。問題文は、このように曲面 S の取り方が違っても右辺の値が同じになることを示せと言っています。 S S C C では、やっていきます。下の図のように一般的な外向き曲面 S（下左図）を考えておいて、それを少しだけず 1 らした S（下右図）を用意します。これで、 S1 と S2 での値が等しければ、曲面を微妙に動かしても平気というこ 2 とで、任意の曲面に対して適応できることになります。 S2 S1 ∫ 以上の曲面 S1 と S2 で S1 ∫ つまり S1 ∂B · dS − ∂t ∂B · dS = ∂t ∫ S2 ∫ S2 ∂B · dS ∂t ∂B · dS = 0 ∂t 1 ···················· ⃝ を示します。ここで、S2 と同じ形で向きが逆（内向き）の曲面 S2′ を考えると、ベクトル関数V の面積分の性質から ∫ ∫ V · dS = − V · dS S2′ S2 となります5 。 n n S2′ S2 1 の左辺はなので上の等式⃝ ∫ S1 ∂B · dS − ∂t ∫ S2 ∂B · dS ∂t ∫ = ∫ S1 ∂B · dS + ∂t = S1 +S2′ = 5 向きが逆なので正負が逆になります。 11 ∂ ∂t ∫ ∫ S2′ ∂B · dS ∂t ∂B · dS ∂t S1 +S2′ B · dS 2 ···················· ⃝ となります。この被微分関数は、磁場を S1 + S2′ の上で面積分したものになります。一方、S1 + S2′ は外向き閉曲面となっています。ここで、磁場の基本法則磁場のわき出しは存在しない ∫ 数式で表すなら B · dS = 0 任意閉曲面 2 の値は 0 になります。から、この値は磁場や電場が変化しようがしまいが 0 になることが保証されているので、⃝ 14 Amp` ere の法則の修正変位電流静電場での Amp`ere の法則は、一般には成り立たないことを示し、どのように修正すればよいか述べよ。これもノートでやっているので補足説明を中心にやります。 Amp`ere の法則は積分形、微分形で以下のように書けます。 ∫ Bdr = µ0 J · dS C S 3 ···················· ⃝ ∇ × B = µ0 J 授業でやったように積分形で考えるには、前問と同じように閉曲面の面積分値を考えて、それがゼロにならないことを示します。この証明は省略させてください。また、微分形で数式をいじるとあっさりと終わります。まず、両辺に ∇ を内積して、発散を取ります。 ∇ · (∇ × B) = µ0 ∇ · J 4 ···················· ⃝ 内積と外積が組み合わさった値の公式 A · (B × C) = (A × B) · C 4 式左辺は (∇ × ∇) · B となり、同じベクトルの外積が出てきます。平行なベクトルの外積はゼロにを使うと、⃝ なるので、左辺の値はゼロです6 。 4 右辺は、電荷保存則7 より一方⃝ divJ = − 4 式全体ではとなることから、⃝ ∂ρ ∂t ∂ρ =0 ∂t となって、電荷分布が時間的に変化しないことを表しています。これは電場が時間変化することに矛盾です。 3 式の右辺をいじって、その発散がゼロになるようにすれば OK です。そこでベクトルこれを解決するには、⃝ 関数 F について、 div (µ0 J + F ) = 0 つまり divF = −µ0 divJ ∂ρ = µ0 ∂t = µ0 ∂ (ε0 divE) ∂t ) ( = div ∂ (µ0 ε0 E) ∂t 6 一般に、ベクトルの回転の発散「div （電荷保存則）（ガウスの法則の微分形）（計算の順序交換） rotV = ∇ · (∇ × V )」はゼロになります。 7 電荷が動くと、電流のわき出しになるということを表しています。 12 と考えれば、 F = −µ0 ε0 ∂E ∂t となって、電場が時間変化する時の Amp`ere の法則は ( ) ∇ × B = µ0 J − ε0 ∂E ∂t と書き直せます。ちなみに、 I ≡ ε0 ∂E ∂t を変位電流と呼びます。電場の流れ（時間変化）も電流と同等であると見なしたことで、「電流が流れると磁場ができて、その磁場が電場を作り、その電場が磁場を作り、磁場が電場を……。」という風に伝播するもの（=電磁波）の存在が予想できたのです8 。電磁波の伝播 E B B E I 15 単独磁荷が存在する場合の Maxwell 方程式磁荷（Magnetic Monopole）が存在したと仮定するとき、Maxwell 方程式がどのように変わるかを述べよ。単独磁荷の存在を仮定すると、問題文にもあるように「磁場のわき出し」が存在することになります。電場のわき出しも合わせて微分形で書いておくと ∫ Q ε0 E · dS = ∫ S B · dS = µ0 M S ∫ ここでは S 内の電荷、磁荷を Q、M と表しました。M = ρm dV であり、ρm は磁荷密度です。通常は単独磁荷 V が存在せず、常に N 極（正磁荷）と S 極（負磁荷）のペアで存在するため、M ≡ 0 となるのです。微分形で書けば divE = ρ ε0 divB = µ0 ρm となります。 1 とµ が対応していることにも注意しましょう。 0 ε0 では、電磁誘導の法則 ∫ E · dr = − ∂B · dS C S ∂t rotE = − ∂B ∂t はどのように変わるでしょうか。積分形式 8 変位電流がなければ、電流の周りに磁場ができ、磁場が電場を作って終わりでした。 13 これは Amp´ere の法則の時とおなじです。曲面を二つ考えて、片方を裏向きにして、面積分の差を計算します。とりあえず一気に書き下します。 ∫ ∫ ∂B · dS − ∂B · dS ∂t S2 ∂t S1 ∫ = ∫ S1 ∂B · dS + ∂t ∫ S2′ ∂B · dS ∂t ∂B · dS ∂t ∫ ∂ B · dS ∂t S ∫ ∂ µ ρ dV ∂t V 0 m ∫ ∂ρm µ0 dV V ∂t ∫ −µ0 divJm dV ∫V −µ0 Jm · dS = 5 ···················· ⃝ 6 ···················· ⃝ S = = = = = 7 ···················· ⃝ 8 ···················· ⃝ 9 ···················· ⃝ 10 ···················· ⃝ 11 ···················· ⃝ S となり、最終段の右辺の積分値は「磁流密度の面積分＝磁流」となる9 ので、磁荷の存在を仮定するとゼロになりません。では式変形の説明をします。 5 から⃝ 6 ： S1 + S ′ を一つの閉曲面 S にまとめる ⃝ 2 6 から⃝ 7 ：計算順序の交換 ⃝ 7 から⃝ 8 ：磁場に関するガウスの法則 ⃝ ∫ ∫ B · dS = µ0 S ρm dV V 8 から⃝ 9 ：計算順序の交換 ⃝ ∂ρm 9 から⃝ 10 ：磁荷保存則 ⃝ = divJm ∂t 10 から⃝ 11 ：ベクトル解析におけるガウスの定理 ⃝ ∫ ∫ F · dS = S divF dV V ガウスの定理ノートの紹介してあったので、ここで証明することはしません。 11 をゼロにするには簡単で、電磁誘導の式にその補正項を入れれば良いのです。さて、⃝ ∫ ( ) E · dr = − µ0 Jm + ∂B · dS ∂t C S となります。微分形式次に微分形式で説明します。磁荷がないときの電磁誘導の法則は rotE = − ∂B ∂t と書けました。この両辺に ∇ を内積して発散を取ります。左辺は ∇ · (∇ × E) = 0 となります。右辺は −∇ · ∂B ∂t = ∇ · (µ0 Jm ) ∫ 9 電場の場合の = − ∂ (∇ · B) ∂t ∂ρ = µ0 ∂t = µ0 divJm J · dS と見比べてください。 I= S 14 （磁場のガウス則微分形）（磁荷保存則）となります。なので、右辺は − ∂B −→ − ∂B − µ0 Jm ∂t ∂t とすれば正しく成り立ちます。微分形式の電磁誘導の法則は ∇ × E = − ∂B − µ0 Jm ∂t と修正されます。 Maxwell 方程式全体単独磁荷があるときの Maxwell 方程式は以下のように書き換えられます。 ∫ ∫ ρ Ed · S = 1 ρ dV ∇·E = • ε0 V ε0 S ∫ ∫ • Bd · S = µ0 ρm dV ∇ · B = µ0 ρm S • • V ) ∫ ( Edr = −µ0 Jm + 1 ∂B · dS µ0 ∂t C S ∫ ( ) Bdr = µ0 J − ε0 ∂E · dS ∂t C S ( ) ∇ × E = −µ0 Jm + 1 ∂B µ0 ∂t ( ) ∇ × B = µ0 J − ε0 ∂E ∂t 下線を引いたところが、磁荷が存在すると仮定したことで現れた項です。ぱっと見てみると、E とB 、ε0 とµ0 を使って非常に対称性のある形をしていることがわかります。だからなんだって話かもしれませんが…。ちなみに解釈は以下のようになります。 • 電場は、正電荷からわき出て、負電荷吸い込まれる。 • 磁場は、正磁荷からわき出て、負磁荷に吸い込まれる。 • 磁流と磁場の時間変化の周りに、渦状の電場ができる。 • 電流と電場の時間変化の周りに、渦状の磁場ができる。まあ、綺麗ですね、ってだけの話です。 15