水素原子の基底状態の波動関数とエネルギーの推定:hydrogen

水素原子の基底状態の波動関数とエネルギーの推定:hydrogen-wf-energy-speculationQA20150616A.tex
水素原子の基底状態 (主量子数 n = 0, 方位量子数 ℓ = 0) に対する動径方向のシュ
レーディンガー方程式 ( 動径方向の波動関数 R(r) が満たすべき微分方程式) は次の
ように与えられる。
[
(
1
d2 R(r) 2 dR(r) 2m
+
+ 2 E+
2
dr
r dr
4πε0
h
¯
)
]
e2
R(r) = 0.
r
(1)
波動関数の確率解釈のためには R(r) は無限遠方で 0 になるという境界条件を満
たさなければならない。この境界条件を満たす簡単な関数の候補として、R(r) =
2
e−αr , e−αr , (定数α > 0) が考えられる。
1. R(r) = e−αr , (定数α > 0) と仮定して、α とエネルギー E を求めよ。
2. R(r) = e−αr , (定数α > 0) が妥当かどうか吟味せよ。
2
(解答例)
1. R(r) を r で微分して、R′ (r) = −αe−αr ,R′′ (r) = α2 e−αr 式 (1) に代入して整
理すると
→
(
)
h
¯2
2α
e2 1
α2 −
−
=E
2m
r
4πε0 r
) (
(
)
h
¯2 2
α¯h2
e2
1
−E −
α +
−
=0
2m
m
4πε0 r
−
(2)
式 (2) は r についての恒等式であるから、その各次数の係数はゼロでなけれ
ばならない。すなわち
α¯
h2
e2
me2
−
=0→α=
m
4πε0
4πε0 h
¯2
h
¯2 2
h
¯ 2 α2
me4
α =0→E=−
=−
.
−E −
2m
2m
32π 2 ε20 h
¯2
(3)
得られたエネルギー E は基底状態のエネルギーの厳密な値で、α はボーア半
径の逆数になっている。
2. 同様に、R(r) を r で微分して、R′ (r) = −2αre−αr ,R′′ (r) = (−2α+4α2 r2 )e−αr
を式 (1) に代入して整理すると
2
−
)
h
¯2 ( 2 2
e2 1
4α r − 6α −
= E.
2m
4πε0 r
2
(4)
式 (4) は r についての恒等式であるから、その各次数の係数はゼロでなけれ
ばならない。しかし、定数項の係数ゼロはいいが、r2 の係数、1/r の係数は
1
ゼロにはならない。すなわち、基底状態の波動関数は R(r) = e−αr では微分
方程式を満足しないことが分かる。このように、微分方程式の特徴はその解
としての波動関数にも強い制限をもたらす。
2
2

Download Report