m&a_aprile_2015 - Synergia Formazione

Politecnico di Milano.
Facolt`
a di Ingegneria Industriale e dell’Informazione.
Corso di Analisi e Geometria 2. (Docente: Federico Lastaria).
Aprile 2014
Introduzione ai sistemi differenziali lineari
Indice
1 Sistemi differenziali lineari omogenei a coefficienti costanti
1
1.1
Autovalori e autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Trasformare un’equazione del secondo ordine in un sistema lineare . . . . . .
3
1.3
Autovalori reali distinti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Il caso delle radici complesse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5
Autovalori doppi (Cenni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1
Sistemi differenziali lineari omogenei a coefficienti costanti
Un sistema differenziale lineare di due equazioni in due incognite, a coefficienti costanti, `e
del tipo
x0 = ax + by
y 0 = cx + dy
dove a, b, c, d sono costanti reali. Possiamo scrivere questo sistema in forma matriciale come
X 0 = AX
dove
a b
A = c d
x(t) X=
y(t) (1.1)
0
x (t)
X = 0
y (t)
0
Una soluzione di questo sistema `e costituita da una coppia di funzioni1 x(t), y(t) che soddisfino, per ogni t, le uguaglianze:
x0 (t) = a x(t) + b y(t)
y 0 (t) = c x(t) + d y(t)
1
A priori, si richiede che le funzioni x(t), y(t) siano definite su uno stesso intervallo di R. Ma un’importante
propriet`
a dei sistemi lineari `e che ogni soluzione (x(t), y(t)) `e definita su tutto R. Questo fatto sar`
a evidente,
quando si vedr`
a che le soluzioni sono, in sostanza, combinazioni lineari di esponenziali.
1
In modo equivalente, una soluzione
1.1 `e una singola funzione reale a valori vet del sistema
x(t) della variabile reale t, a valori in R2 , soddisfacente,
toriali, cio`e una funzione X(t) = y(t) per ogni t, l’uguaglianza X 0 (t) = A X(t).
Lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo `e uno spazio vettoriale:
Teorema 1.1. L’insieme delle soluzioni X(t) del sistema lineare X 0 = AX (dove A `e una
matrice n × n) `e uno spazio vettoriale.
Dimostrazione. Supponiamo che X1 e X2 siano soluzioni del sistema lineare X 0 = AX:
X10 = AX1
X20 = AX2
Allora, anche X1 + X2 `e soluzione di X 0 = AX, perch´e
(X1 + X2 )0 = X10 + X20 = AX1 + AX2 = A(X1 + X2 )
Analogamente, supponiamo che X soddisfi X 0 = AX. Allora, per ogni c ∈ R,
(cX)0 = c(X 0 ) = c(AX) = A(cX)
Quindi, anche cX `e una soluzione dello stesso sistema.
2
Il risultato seguente `e fondamentale. (Non ne diamo la dimostrazione).
Teorema 1.2. Lo spazio vettoriale delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo X 0 = AX,
dove A `e una matrice n × n, ha dimensione n.
Dunque, per risolvere un sistema differenziale lineare omogeneo X 0 = AX, (A matrice
n × n), basta, in linea di principio, trovare n soluzioni X1 , ..., Xn linearmente indipendenti.
Per il teorema appena enunciato, tali soluzioni costituiscono una base (detta anche sistema
fondamentale di soluzioni) dello spazio delle soluzioni. La soluzione generale del sistema
X 0 = AX `e dato allora da tutte le possibili combinazioni lineari
c1 X1 (t) + · · · · · · + Xn (t)
(1.2)
con c1 , ..., cn ∈ R.
1.1
Autovalori e autovettori
Sia A una matrice quadrata reale n × n. Ora dimostriamo un fatto fondamentale: ogni
autovettore di A fornisce una soluzione del sistema X 0 = AX.
Teorema 1.3. [Soluzione su linea retta2 : a ogni autovettore `e associata una soluzione] Supponiamo che V1 ∈ R2 sia autovettore di una matrice reale A, 2 × 2, con autovalore reale λ1 .
Allora
Y1 (t) = eλ1 t V1 , t ∈ R
(1.3)
`e soluzione del sistema differenziale lineare X 0 = AX.
2
La soluzione Y1 (t) = eλ1 t V1 , t ∈ R, si chiama ‘soluzione su linea retta’ perch´e i vettori Y1 (t) = eλ1 t V1 (se
λ1 6= 0) descrivono la semiretta generata dall’autovettore V1 . (Se λ1 = 0, la curva X(t) `e costante).
2
Dimostrazione. Per ipotesi, AV1 = λ1 V1 . Dobbiamo dimostrare che, posto Y1 (t) = eλ1 t V1 , si
ha Y10 (t) = A Y1 (t). Infatti:
Y10 (t) = (eλ1 t V1 )0 = λ1 eλ1 t V1
= eλ1 t (λ1 V1 )
= eλ1 t (AV1 ) = A(eλ1 t V1 )
2
= A Y1 (t)
1.2
Trasformare un’equazione del secondo ordine in un sistema lineare
Un’equazione differenziale omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti
ax00 + bx0 + cx = 0
(1.4)
si pu`o trasformare in un sistema del primo ordine (cio`e lineare) omogeneo a coefficienti
costanti. L’idea consiste nel diminuire di uno l’ordine dell’equazione, aumentando di uno il
numero delle variabili. Precisamente, poniamo:
x1 = x
(1.5)
x2 = x0
Allora
(
x01 (= x0 ) = x2
(1.6)
c
b
c
b
x02 (= x00 ) = − x − x0 = − x1 − x2
a
a
a
a
Dunque l’equazione del secondo ordine ax00 +bx0 +cx = 0 equivale al sistema lineare X 0 = AX,
dove
0
1
A= c
b −
− a
a
Si noti che gli autovalori di A, cio`e le radici di
b
c
λ2 + λ +
a
a
coincidono con le radici dell’equazioni caratteristica
aλ2 + bλ + c
(I due polinomi differiscono solo per una costante moltiplicativa, e quindi hanno le stesse
radici).
3
1.3
Autovalori reali distinti
Teorema 1.4 (Autovalori reali distinti; soluzione generale). Sia A una matrice reale 2 × 2,
con due autovalori reali e distinti λ1 , λ2 , e con relativi autovettori V1 , V2 . Allora le soluzioni
Y1 (t) = eλ1 t V1 e Y2 (t) = eλ2 t V2 sono linearmente indipendenti e
Y (t) = c1 eλ1 t V1 + c2 eλ2 t V2 ,
c1 , c2 ∈ R
(1.7)
`e la soluzione generale del sistema X 0 = AX.
Dimostrazione Abbiamo gi`
a dimostrato che eλ1 t V1 e eλ2 t V2 sono soluzioni di X 0 = AX.
Poich´e sono linearmente indipendenti e lo spazio delle soluzioni di X 0 = AX ha dimensione due, esse formano una base. Dunque ogni soluzione si scrive, in modo unico, come
combinazione lineare di queste due soluzioni fondamentali.
2
Esempio. (Due autovalori reali distinti, negativi). Consideriamo l’equazione differenziale
lineare del secondo ordine a coefficienti costanti
x00 + 3x0 + 2x = 0
Si tratta dell’equazione di un pendolo (o di un oscillatore armonico) con attrito. Nel nostro
caso, la massa `e 1, la costante elastica `e 2 e il coefficiente di attrito `e 3. L’equazione si pu`o
scrivere come un sistema (ponendo x1 = x, x2 = x0 ):
0
1 0
X =
X = AX
−2 −3 1
Gli autovalori sono λ1 = −1 e λ2 = −2 e i rispettivi autovettori sono −1
soluzione generale del sistema `e
−t 1 −2t 1 + c2 e X(t) = c1 e −1
−2 Dunque la posizione della massa oscillante `e data da
x1 (t) = x(t) = c1 e−t + c2 e−2t
mentre la sua velocit`
a `e data dalla seconda componente:
x2 (t) = x0 (t) = −c1 e−t − 2c2 e−2t
4
1 ,
−2 . La
2
Figura 1: Ritratti di fase di un pendolo con un forte attrito. Il pendolo non compie oscillazioni
smorzate, ma va direttamente alla posizione di equilibrio. La sua velocit`a x2 cambia segno non pi`
u di
una volta. Nodo stabile.
Esempio. (Due autovalori reali distinti, uno negativo, l’altro positivo). Risolviamo il
sistema X 0 = AX, dove
1 3 A=
1 −1 Si tratta del sistema differenziale lineare
x0 = x + 3y
y0 = x − y
Gli autovalori di A sono λ1 = −2 e λ2 = 2. Un autovettore relativo a λ1 = −2 `e
1 V1 = −1 mentre un autovettore relativo λ2 = 2 `e
3 V2 = 1
Allora le due funzioni
3 X2 (t) = e 1
1 −1 ,
−2t X1 (t) = e
2t sono soluzioni del sistema X 0 = AX. Dal fatto che i vettori V1 e V2 siano linearmente indipendenti3 , segue che le due funzioni X1 e X2 sono linearmente indipendenti. Dunque (poich´e
3
Si ricordi che autovettori relativi a autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
5
sappiamo che lo spazio delle soluzioni ha dimensione 2), la soluzione generale (integrale
generale) del sistema X 0 = AX `e dato da
c1 X1 (t) + c2 X2 (t)
con c1 , c2 costanti reali arbitrarie. In modo pi`
u esplicito,
c1 e−2t c2 3e2t c1 e−2t + c2 3e2t
=
c1 X1 (t) + c2 X2 (t) = +
−c1 e−2t c2 e2t −c1 e−2t + c2 e2t
Dunque, le soluzioni del sistema sono tutte e soltanto le funzioni del tipo:
x(t) = c1 e−2t + c2 3e2t
y(t) = −c1 e−2t + c2 e2t
2
con c1 , c2 ∈ R.
Figura 2: Due autovalori reali distinti. In rosso sono disegnate le soluzioni su linea retta, date dagli
autovettori. Sella.
Esempio. (Due autovalori reali distinti, uno nullo). Risolviamo il sistema X 0 = AX, dove
−1/2 1 A = −1 2 2 Gli autovalori di A sono λ1 = 0 e λ2 = 3/2. Un autovettore relativo a λ1 = 0 `e V1 = ,
1
1 mentre un autovettore relativo λ2 = 3/2 `e V2 = Poich´e, per lambda1 = 0, eλ1 t = e0t = 1,
2
la soluzione fondamentale eλ1 t V1 `e costante. Allora la soluzione generale `e data da
2 3 1 t
X(t) = c1 + c2 e 2 2
1
6
al variare di c1 , c2 in R.
Figura 3: Un autovalore nullo.
1.4
Il caso delle radici complesse
Cominciamo con un esempio semplice, ma che illustra le idee pi`
u importanti. Il fatto fondamentale, che dimostriamo nell’esercizio qui sotto, `e che la parte immaginaria e la parte
immaginaria di una soluzione complessa, sono soluzioni reali.
Esempio. (Sistema di tipo centro). Consideriamo il sistema X 0 = AX, dove
0 β A=
−β 0 (1.8)
con β ∈ R. Gli autovalori di A sono i due numeri complessi coniugati iβ e −iβ. Procediamo
esattamente come nel caso degli autovalori reali. Scegliamo uno dei due autovalori, diciamo iβ,
e cerchiamo un corrispondente autovettore V1 . Tale autovettore avr`a componenti complesse.
Si trova
1 (1.9)
V1 = i
Ora si dimostra, esattamente come nel caso reale (teorema 1.3), che la funzione a valori
complessi
iβt 1 X(t) = e i
cos βt + i sin βt = i(cos βt + i sin βt) cos βt + i sin βt = − sin βt
cos βt = XRe (t) + iXIm (t)
7
`e una soluzione complessa di X 0 = AX. Qui, separando la parte reale e la parte immaginaria
della soluzione, abbiamo posto
sin βt cos βt ,
XIm (t) = XRe (t) = cos βt − sin βt Ora dimostriamo un fatto importante:
Se X(t) = XRe (t) + iXIm (t) `e una soluzione complessa del sistema differenziale lineare
X 0 = AX, allora sia la parte reale XRe (t), sia la parte immaginaria XIm (t) sono soluzioni
reali dello stesso sistema X 0 = AX.
Per convincersene, basta fare una verifica diretta:
0
0
XRe
(t) + iXIm
(t) = X 0 (t)
= A X(t)
= A(XRe (t) + iXIm (t))
= AXRe (t) + i A XIm (t)
Uguagliando le parti reali e le parti immaginarie, otteniamo
0
XRe
(t) = AXRe (t),
0
(t) = AXIm (t)
XIm
Abbiamo allora dimostrato che sia XRe (t), sia XIm (t) sono soluzioni reali del sistema X 0 =
AX. Allora lo spazio delle soluzioni reali del sistema X 0 = AX `e descritto da tutte le
combinazioni lineari
c1 XRe (t) + c2 XIm (t)
con c1 , c2 ∈ R. La soluzione generale `e dunque
cos βt sin βt
c1 +
c
2
cos βt
− sin βt che si pu`o scrivere anche4
c1 cos βt + c2 sin βt −c1 sin βt + c2 cos βt con c1 , c2 ∈ R.
4
Ognuna delle due soluzioni fondamentali XRe (t), XIm (t) `e periodica con periodo 2π/β. Si noti che i
due vettori XRe (t), XIm (t) formano una base ortonormale e quindi, fissati c1 e c2 (cio`e, per ogni condizione
iniziale), il quadrato della norma del vettore c1 XRe (t) + c2 XIm (t) `e costante (uguale a c21 + c22 ). Dunque, le
orbite di tutte le soluzioni sono cerchi centrati nell’origine.
8
Figura 4: Autovalori complessi coniugati: i, −i. Sistema di tipo (1.8), con ω = 1. Centro.
Esempio. (Spiral Sink, Spiral Source) Consideriamo, in modo pi`
u generale, il sistema
X 0 = AX, dove
α β (1.10)
A=
−β α con α, β reali, entrambi non nulli. Il polinomio caratteristico `e λ2 − 2αλ + α2 + β 2 = 0, le
cui radici sono gli autovalori complessi α ± iβ. Scegliamo uno di questi due autovalori (non
importa quale), diciamo α + iβ. Un autovettore con autovalore α + iβ si trova come soluzione
(non nulla) dell’equazione
−iβ x + β y = 0
Quindi abbiamo la soluzione complessa della forma
(α+iβ)t 1 X(t) = e
i cos βt αt αt sin βt
+ ie = e cos βt
− sin βt
= XRe (t) + iXIm (t)
La parte reale XRe (t) e la parte immaginaria XIm (t) sono soluzioni reali linearmente indipendenti del sistema lineare X 0 = AX. La soluzione genrale `e allora
cos βt αt sin βt αt X(t) = c1 e + c2 e − sin βt
cos βt 9
Figura 5: Autovalori complessi coniugati: α + iβ, α − iβ. ‘Spiral source’. Sorgente (se α > 0, come
nel caso della figura) o pozzo (se α < 0) a spirale. Fuoco instabile.
Figura 6: Autovalori complessi coniugati: α + iβ, α − iβ. Caso α < 0: ‘Spiral sink’. Fuoco stabile.
1.5
Autovalori doppi (Cenni)
Studiamo due tipi di matrici 2×2 con un autovalore (reale) doppio λ, la prima diagonalizzabile
(gi`a in forma diagonale), l’altra non diagonalizzzabile:
λ 0 λ 1 (1.11)
0 λ 0 λ Questi due tipi di matrici (esempi di ‘blocchi di Jordan’) sono importanti, perch´e si dimostra
facilmente che una qualunque matrice 2 × 2 con un autovalore doppio λ `e simile a
λ 0 λ 1 0 λ oppure a 0 λ . Detto altrimenti, a meno di un cambio lineare di variabili, questi
sono gli unici due casi possibili (per l’autovalore doppio).
10
Esempio. (Autovalore doppio; matrice in forma diagonale).
differenziale lineare X 0 = AX si scrive esplicitamente
λ 0
Se A = 0 λ
, il sistema
x0 = λx
y 0 = λy
Da qui ricaviamo x(t) = c1 eλt , y(t) = c2 eλt , con c1 , c2 costanti reali arbitrarie.
(Autovalore doppio; matrice non diagonalizzabile). Supponiamo ora A =
Esempio.
λ 1 a geometrica (dim Ker (A − λI)) dell’autovalore λ `e 1; quindi non
0 λ . La molteplicit`
esiste una base di R2 formata da autovettori di A. Procediamo allora in modo diretto, nel
modo seguente. Scriviamo il sistema:
x0 = λx + y
y 0 = λy
La seconda equazione ha come soluzione generale y(t) = c2 eλt . Sostituendo nella prima
equazione, otteniamo x0 = λx + c2 eλt , ossia
(x0 − λx)e−λt = c2
Ora il primo membro `e la derivata di xe−λt :
0
xe−λt = c2
Dunque, xe−λt = c1 + c2 t; quindi
x(t) = c1 e−λt + c2 te−λt
In definitiva, la soluzione generale del sistema X 0 = AX `e
x = c1 e−λt + c2 te−λt
y = c2 eλt
11

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