Sistemi dinamici a tempo discreto (variabili di stato)

Sistemi dinamici a tempo discreto
(approccio in variabili di stato)
Prof. Silvia Strada
1
Introduzione
u(k) (ingresso)
Sistema
dinamico
y(k) (uscita)
tempo k
•
Sistemi a tempo discreto
k∈
2
Introduzione
3
Introduzione
4
Introduzione
5
Introduzione
6
Segnali canonici
7
Rappresentazione di stato (caso SISO invariante)
 x(k + 1) = f ( x(k ), u (k ))

 y (k ) = g ( x(k ), u (k ))
x(k0 ) = x0
ad
esempio
equazione di stato (equazione alle
differenze del I° ordine)
trasformazione di uscita
stato iniziale
n, numero di variabili di stato è
ancora l’ordine del sistema. Le
variabili di stato sono ancora tutte
quelle grandezze associate al
passato del sistema
8
Classificazione
statici / dinamici
• statici  legame istantaneo ingresso/uscita
• dinamici  equazione alle differenze
monovariabili / multivariabili (SISO e MIMO)
• un ingresso/un'uscita
più ingressi/più uscite
lineari/non lineari
• le equazioni sono tutte lineari nelle variabili o no
invarianti(o stazionari)/varianti
• invarianti  le equazioni non dipendono dal tempo
nei sistemi invarianti non ha importanza l'istante d'inizio
dell'osservazione che viene quindi di solito posto uguale a zero to=0
strettamente propri/propri
• strettamente propri  l'uscita non dipende direttamente dall'ingresso
9
Movimento dello stato e dell’uscita
10
Un particolare movimento: l’equilibrio
 x(k + 1) = f (x(k ), u (k ))

 y (k ) = g (x(k ), u (k ))
x(k0 ) = x
u (k ) = u
k ≥ k0
ingresso costante
Stato di equilibrio
Movimento dello stato x(k ) = x costante nel tempo in corrispondenza di u (k ) = u
Uscita di equilibrio
Movimento dell’uscita y (k ) = y costante nel tempo in corrispondenza di u (k ) = u
11
Un particolare movimento: l’equilibrio
stato di equilibrio
uscita di equilibrio
12
Anche direttamente dall’equazione alle differenze, imponendo:
u (k ) = u (k − 1) = ... = u
y (k ) = y (k − 1) = ... = y
Esempio
13
Esempio
Gestione delle scorte di un magazzino
produzione nel mese k
scorte all'inizio del mese k
vendite nel mese k
p(k)
s(k)
v(k)
tasso mensile di deperimento della merce
α
Le scorte all’inizio del mese k+1 sono date dall’equazione alle differenze:
s(k + 1 ) = s(k)−αs(k) + p(k) − v(k )
Nel modello, si fa l’ipotesi che la produzione nel mese k dipenda dalle
vendite nel mese precedente:
p(k) =βv(k − 1)
14
Esempio
Si ottiene:
s(k + 1 ) = s(k)−αs(k) + βv(k − 1) − v(k )
equazione alle differenze
Si scelgano le seguenti variabili di stato:
x1(k) =s(k)
x2 (k) =v(k − 1 )
Si scelgano come ingresso e uscita rispettivamente:
u(k) =v(k)
y(k) =s(k)
Si ottiene il sistema dinamico:
 x1(k + 1 ) = (1−α ) x1(k) + βx2 (k) − u (k )
 x (k + 1 ) =u (k )
 2
rappresentazione di stato
 y (k ) = x1(k)
Lineare, Invariante, strettamente proprio, SISO, n=2
15
Esempio
Si consideri il problema di trovare, se esiste, il valore di equilibrio delle
scorte, in corrispondenza di vendite costanti:
u (k ) = u
ingresso (vendite) costante
All’equilibrio si ha:
 x1 = (1 − α ) x1 + βx2 − u
 x =u
 2
 y = x1
β −1

 x1 = α u
 x =u
 2

β −1
y
=
x
=
u

1
α

Condizione di equilibrio per le
scorte di magazzino
16
Esempio
Si fissi:
ed inoltre:
α = 0.1, β = 2
u (k ) = u = 4
Considerando il valore di partenza
5 
x(0) =  
0 
si ha che stato ed uscita tendono ai rispettivi valori di equilibrio:
Equilibrio
β −1

 x1 = α u = 40
 x =u = 4
 2

β −1
y
x
u = 40
=
=

1
α

17
Sistemi dinamici Lineari tempo-Invarianti discreti (LTI)
(caso SISO)
18
Equilibrio di sistemi LTI – (caso SISO)
19
Movimento di sistemi LTI – (caso SISO)
Formula di Lagrange per il movimento dello stato di sistemi discreti
20
Formula di Lagrange per il movimento dell’uscita di sistemi discreti
21
Esempio
Riprendendo il modello delle scorte con
α = 0.1, β = 2
 x1(k + 1 ) = 0.9 x1(k) + 2 x2 (k) − u (k )
 x (k + 1 ) =u (k )
 2
 y (k ) = x1(k)
Calcolare analiticamente il movimento dello stato e dell’uscita a partire da condizioni
iniziali assegnate, noto l’andamento dell’ingresso (vendite):
5 
x ( 0) =   ,
0 
u (k ) = 4sca(k − 2) − 3sca(k − 7)
u(k)
4
1
k=2
k=7
22
Esempio
Il calcolo del movimento si può fare in due modi:
1) per iterazioni successive delle equazioni di stato/uscita del sistema:
 x1( 1 ) = 0.9 x1( 0 ) + 2 x2 ( 0 ) − u (0) = 0.9 ⋅ 5 + 2 ⋅ 0 − 0 = 4.5
 x ( 1 ) =u (0) = 0
 2
 y (0) = x1( 0 ) = 5
 x1( 2 ) = 0.9 x1( 1 ) + 2 x2 ( 1 ) − u (1) = 4.05
 x ( 2 ) =u (1) = 0
 2
 y (1) = x1( 1 ) = 4.5
 x1( 3 ) = 0.9 x1( 2 ) + 2 x2 ( 2 ) − u (2) = −1.35
 x ( 3 ) =u (2) = 4
 2
 y (2) = x1( 2 ) = 4.05
{........
2) utilizzando esplicitamente le Formula di Lagrange
23
Esempio
Esempio
24
Principio di sovrapposizione degli effetti e
rappresentazioni equivalenti
Valgono, identiche, le considerazioni viste per i sistemi LTI continui
25
Linearizzazione vicino all’equilibrio
Sistema discreto non lineare invariante:
 x(k + 1) = f ( x(k ), u (k ))

 y (k ) = g ( x(k ), u (k ))
soggetto all’ingresso costante u (k ) = u
i corrispondenti stato/uscita di equilibrio siano x
y
ottenuti da
x = f (x, u )
y = g( x,u )
E‘ possibile definire il sistema lineare che approssima il comportamento del sistema
non lineare vicino all‘equilibrio allo stesso modo che per i sistemi continui:
Definendo le ‘‘piccole variazioni‘‘: δx(k ) = x(k ) − x
δu (k ) = u (k ) − u


δy (k ) = y (k ) − y

δx0 = x0 − x
26
Linearizzazione di sistemi non lineari discreti
.

δx(k + 1) = Aδx(k ) + Bδu (k )

δy (k ) = Cδx(k ) + Dδu (k )
A = ∂f ∂x x = x
(nxn)
u =u
sistema linearizzato
 ∂f1 ∂u1  ∂f1 ∂um 
 ∂f1 ∂x1  ∂f1 ∂xn 




 
= 
  B = ∂f ∂u x = x =  
u =u
∂f n ∂x1  ∂f n ∂xn  x = x (nx1)
∂f n ∂u1  ∂f n ∂um  x = x
u =u
C = ∂g ∂x x = x
u =u
(1xn)
si ricava in modo
identico al caso
continuo!
u =u
 ∂g1 ∂u1  ∂g1 ∂um 
 ∂g1 ∂x1  ∂g1 ∂xn 




=
∂
∂
=


D
g
u
= 

=
x
x



=
u
u
∂g ∂x  ∂g ∂x  x = x (1x1)
∂g ∂u  ∂g ∂u  x = x
p
n
p
m
 p 1
 p 1
u =u
u =u
27
Stabilità dell’equilibrio di sistemi LTI
Consideriamo un sistema LTI SISO
x(k +1) = Ax(k ) + Bu (k )
Grazie alla linearità e all‘invarianza nel tempo, si ha anche nel caso discreto
che
Ak
δx(k ) = Ak δx0
perturbazione del
movimento
perturbazione della
condizione iniziale
28
Stabilità di sistemi LTI discreti
Quindi si può intuitivamente dire che:
stabilità (semplice)
instabilità
Ak limitata per ogni k
• movimento δx(k) limitato
• movimento libero limitato
Ak diverge per k  ∞
• movimento δx(k) divergente
• movimento libero divergente
asintotica stabilità
lim Ak = 0
k →∞
• movimento δx(k) convergente
• movimento libero convergente a zero
29
Teoremi sulla stabilità di sistemi LTI discreti
Siano si gli autovalori della matrice A:
Teorema 1. Un sistema discreto LTI è asintoticamente stabile se e solo se tutti
gli autovalori della matrice A hanno modulo strettamente minore di 1.
si < 1, ∀i
Asintotica stabilità
Teorema 2. Un sistema discreto LTI è instabile se almeno un autovalore di A
ha modulo maggiore di 1.
∃i : si > 1
Instabilità
Teorema 3. Un sistema discreto LTI è stabile se la matrice A ha tutti autovalori
con modulo minore di 1 ed uno solo con modulo 1 (o una sola coppia c.c. con
modulo 1)
si < 1, ∀i
∃i : si = 1
Stabilità
30
•
Osservazione 1 (sul Teorema 3)
Una coppia di autovalori complessi coniugati conta come un autovalore solo.
Quindi, un sistema con una sola coppia di autovalori c.c. con modulo uguale a 1
(e tutti gli altri con modulo inferiore a 1) è stabile (semplicemente)
•
Osservazione 2 (sui Teoremi 2&3)
Ci possono essere sistemi con più di un autovalore con modulo 1 (e tutti gli altri
modulo minore di 1) che sono stabili (semplicemente) ed altri sistemi con più di
un autovalore con modulo 1 (e tutti gli altri con modulo minore di 1) che sono
instabili  infatti i Teoremi 2&3 sono delle condizioni solo sufficienti!
31
Schema riassuntivo per autovalori con modulo 1
si
si
si
si
32
Regione di asintotica stabilità per sistemi discreti
si < 1
Esempio
Riprendendo il modello delle scorte con α = 0.1, β = 2
 x1(k + 1 ) = 0.9 x1(k) + 2 x2 (k) − u (k )
 x (k + 1 ) =u (k )
 2
 y (k ) = x1(k)
0.9 2
− 1
A=
B= 

 0 0
1
C = [1 0]
D=0
s1 = 0.9

 s2 = 0
si < 1 i = 1,2
sistema asintoticamente stabile
34
Per sistemi dinamici discreti non vedremo criteri di stabilità basati sull’analisi diretta
della matrice A oppure del suo polinomio caratteristico  sono complicati!!
35
•
Stabilità dell’equilibrio di sistemi discreti non
lineari
L’analisi del sistema linearizzato permette, in molti casi, di determinare le
proprietà di stabilità dello stato di equilibrio del sistema non lineare originario.
Teorema 1.
Se il sistema linearizzato ha tutti autovalori a modulo < 1 allora lo stato di
equilibrio ( x, u ) è asintoticamente stabile.
Teorema 2.
Se il sistema linearizzato ha almeno un autovalore a modulo > 1allora lo stato di
equilibrio ( x, u ) è instabile.
Se il sistema linearizzato attorno ad un certo equilibrio ha alcuni autovalori a
modulo unitario ed altri modulo <1, nulla si può dire circa la stabilità dell’equilibrio
esaminando solo il sistema linearizzato!
S. Strada – Fondamenti di Automatica – Lez.5
36

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