A panda piace il bis

Appendice C: Ottica geometrica e dinamica di una particella
Appendice C
Ottica geometrica e dinamica di una particella
L'analogia tra l'ottica geometrica e la dinamica di una particella permise a
Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie di ipotizzare che alle particelle
microscopiche si potesse associare anche un'onda: questo portò al dualismo ondaparticella.
Nell'appendice A abbiamo descritto l'ottica geometrica come caso limite
dell'ottica ondulatoria.
All'onda
J œ E/35! P
(C.1)
di ampiezza quasi costante E e di fase P nel limite di - Ä 0 corrispondono i raggi
soluzione dell'equazione dell'iconale
lfPl œ 8
(C.2)
o, prendendo il modulo quadro
Š
.P #
.P #
.P #
‹  Š ‹  Š ‹ œ 8#
.B
.C
.D
(CÞ3)
L'equazione (C.2) discende anche dal principio di Fermat, che dice che l'onda
percorre la traiettoria che minimizza il tempo di percorrenza X
X œ(
F
E
.=
" F
"
œ ( 8 .= œ P
@
- E
-
(C.4)
Il cammino ottico P dovrà soddisfare
$P œ $(
F
8 .= œ !
(C.5)
E
da cui segue l'equazione (C.2).
Vediamo le analogie con il moto di una particella di massa 7! e velocità @ e
quindi che viaggia con impulso : œ 7! @ . Classicamente se ne può sempre
determinare la traiettoria identificando l'impulso della particella in ogni istante.
L'energia della particella libera è: I œ :# Î#7! .
Dalla meccanica analitica sappiamo che la dinamica di un punto materiale può
essere descitta dal principio di minima azione. Ovvero, richiedendo che il moto del
sistema fra due istanti > œ !ß > sia tale che l'azione [ :
.
[ Ð;ß >Ñ œ ( LÖ;3 Ð>w Ñ×Ö;3 Ð>w Ñ×‘.>w
>
(C.6)
!
assuma un valore estremo in corrispondenza della traiettoria del moto:
$[ Ð;ß >Ñ œ !
(C.7)
Nella (C.6) L œ X  H è la Lagrangiana (X energia cnetica e H hamiltoniana) del
sistema. L non dipende esplicitamente dal tempo, ne dipende solo attraverso le
coordinate, quindi il sistema é conservativo. Dalla equazione (C.7) si ottengono
l'equazioni :
Anno accademico 2009/2010
1
Appendice C: Ottica geometrica e dinamica di una particella
`[
`[
œ :3
œ  H Ð:ß ;Ñ
`;3
`>
(C.8)
`[
`[
HÐ
ß ;Ñ œ !
`>
`;
(C.9)
o anche
La (C.9) è l'equazione di Hamilton-Jacobi per l'azione [ calcolata lungo le
traiettorie. Per un sistema conservativo costituito da una singola particella di massa 7
.
e Ð;3 Ñ œ ÐBß Cß DÑ, (:3 œ 7; 3 ) œ 7@, con Hamiltoniana H(;ß :Ñ œ :# Î#7  Z Ð;Ñ, la
(C.9) diventa
`[
" `[ #

Š
‹  Z Ð;Ñ œ !
`>
#7 `;
(C.10)
Poiché H non dipende da >, si può provare a separare le variabili ; e > ponendo
[ œ  I>  WÐ;Ñ
(C.11)
con I costante e W l'azione ridotta. La (C.10) diventa
ÐfWÑ# œ #7ÐI  Z Ñ œ #7X
(C.12)
dove X è l'energia cinetica. Poiché W dipende solo da Bß Cß D e non dipende dal tempo,
le superfici WÐBß Cß DÑ œ costante sono fisse nello spazio e coincidono per la (C.11)
con le superfici [ ÐBß Cß DÑ œ costante a > œ !.
Fissato un tempo > Á ! si avrà che la superficie [ ÐBß Cß Dß >) œ costante
coinciderà con la superficie WÐBß Cß D ) œ costante  I>, e ad un istante >w  > la
superficie
[ ÐBß Cß Dß >w ) œ costante
coinciderà
con
la
superficie
w
w
WÐBß Cß DÑ œ costante  I> . Cioé, la superficie [ ÐBß Cß Dß > ) œ costante é un fronte
d'onda che si sposta nello spazio, coincidendo istante per istante con tutta la famiglia
di superfici W œ costante ottenuta variando questa costante.
Calcoliamo la velocità di questo fronte d'onda. Si può procedere come per il
calcolo della velocità di fase di un'onda con fase istantanea data da k † <  =>; in
quel caso si poneva
5
†<
 => œ 5
† <w
 =>w œ costante
(C.13)
da cui differenziando
@0 œ
=
vers 5
5
(C.14)
Si può allora differenziare l'equazione
[ Ð<ß >Ñ œ  I>  WÐ<ß >Ñ œ costante
(C.15)
ottenendo
 I.>  fW
† .< œ !
(C.16)
cioè, per uno spostamnento . < perpendicolare alla superficie W œ costante, e quindi
parallelo a fW , si ha
Anno accademico 2009/2010
2
Appendice C: Ottica geometrica e dinamica di una particella
.<
I
œ
.>
lfW l
(C.17)
Quindi, la velocità di fase di questo fronte d'onda è
@0 œ
I
8
lfW l
(C.18)
con 8 versore perpendicolare alla superficie W œ costante, e, per la (C.12)
@0 œ
È#7X
I
(C.19)
Se @ indica la velocità della particella si ha X œ "# 7@, : œ 7@, e la (C.19) si può
riscrivere
@0 œ
I
:
(C.20)
Si ha perciò che @0 Á @, ma come vettori sono paralleli. Infatti @0 ha la direzione di 8,
normale alla superficie [ œ costante e @ ha la stessa direzione poichè per la (C.8) si
ha
@œ
"
"
"
: œ f[ œ fW
7
7
7
(C.21)
Come si vede l'azione calcolata lungo le traiettorie, cioè la soluzione dell'equazione di
Hamilton-Jacobi, ci fornisce una descrizione ondulatoria del moto di una particella
materiale.
Si può verificare che la relazione (C.20) vale anche per una particella libera
relativistica, purchè con E si intenda l'energia totale (l'energia cinetica più l'energia di
riposo 7! - # , con 7! massa di riposo della particella).
Analogia tra l'ottica geometrica e l'equazione di moto di un punto materiale
Confrontiamo l'equazione dell'iconale P
ÐfPÑ# œ 8#
con l'equazione (C.12) per l'azione W
ÐfWÑ# œ #7ÐI  Z Ñ
Si vede che l'una equazione si trasforma nell'altra con la sostituzione
P Q W,
8 Q È#7ÐI  Z Ñ
Sempre in questo limite il principio di Hamilton della minima azione è analogo al
principio di Fermat.
Anno accademico 2009/2010
3

Download Report