20 Febbraio 2014

PROVA SCRITTA DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA
MECCANICA QUANTISTICA
20.2.2014
NOME:
numero di matricola:
COGNOME:
Problema 1
Si consideri il sistema costituito da una particella vincolata a muoversi nella regione unidimensionale
a/2  x  +a/2, tramite un potenziale nullo (infinito) all’interno (esterno) della regione. All’istante
t = 0 il sistema `e descritto dalla funzione d’onda
0 (x)
=
N
X
p
2k
1 '2k (x)
N >1
k=1
dove 'n (x) n = 1, 2, ... sono le autofunzioni normalizzate dell’hamiltoniano H, numerate nell’ordine
di energie crescenti.
1.1 Determinare la norma ||
0 ||
della funzione d’onda
||
0 ||
=N
1.2 Determinare la funzione d’onda normalizzata t (x) che descrive il sistema all’istante generico
t > 0, nell’ipotesi che non vengano e↵ettuate misure sul sistema.
t (x)
=
N
1 X
e
N
i
E t
~ 2k
p
2k
1 '2k (x)
k=1
1.3 Si determinino i valori medi di X, X 3 e della parit`a P all’istante t > 0
hXit = 0
hX 3 it = 0
hPit =
1
1.4 All’istante t¯ > 0 si misurano in rapida successione (e nell’ordine) l’energia e la posizione della
particella. La prima misura da come risultato (~2 /2m)4⇡ 2 /a2 e la seconda misura stabilisce che la
particella occupa la regione 0  x  a/2. Determinare la funzione d’onda normalizzata che descrive il
sistema subito dopo queste due misure
(
p2 sin 2⇡ x
x 0
a
a
(x)
=
+
t¯
0
x<0
1.5 Determinare la funzione d’onda t (x) che descrive il sistema all’istante generico t > t¯+ , nell’ipotesi
che non vengano e↵ettuate altre misure sul sistema.
p
(
1
4 2
X
i
n dispari
¯)
E
(t
t
⇡(4
n2 )
n
cn e ~
'n (x)
cn =
t (x) =
1
p
n pari
n=1
2
Integrali utili:
Z
⇡/2
cos ny sin 2y dy =
0
2
4
n2
Z
⇡/2
sin ny sin 2y dy =
0
⇡
4
n,2
1.6 Determinare la probabilit`
a che una misura di energia fatta all’istante t > t¯+ dia un risultato
2
2
2
maggiore di (~ /2m)4⇡ /a
~2 4⇡ 2
1
32
WtH (E >
)=
2
2m a
2 9⇡ 2
Problema 2
Una particella di spin uno, di cui si trascurano i gradi di libert`a spaziali, `e descritta nello spazio
Hilbertiano C3 dall’hamiltoniano
✓ +
◆
J J
H = ~!
1
~2
dove J + e J
sono gli operatori di innalzamento e abbassamento.
2.1 Si esprima H in termini di J 2 e J3
H = ~!
2.2 Detti {|1, mi (m =
autostati di H
E
1
=
✓
J2
J32 + ~J3
~2
1
◆
1, 0, 1)} gli autostati simultanei di J 2 e J3 , si determinino autovalori e
~! $ |'
1i
= |1
1i
E1 = ~! $ |'1 i = ↵|10i + |11i
2.3 Quali dei seguenti insiemi formano un insieme completo di osservabili compatibili (sbarrare gli
insieme scelti)
{J1 }
{J2 }
{J3 }
{H}
{H, J1 }
{H, J2 }
{H, J3 }
2.4 All’istante t = 0 una misura di J1 da come risultato +~. Si determini lo stato del sistema all’istante
generico t > 0.
0
1
e i!t
⌘ ei!t
p
1@ p
e i!t ⇣
|11i + 2|10i +
|1 1i
2e i!t A =
t =
2
2
2
i!t
e
2 al generico istante t > 0
2.5 Si determinino i valori medi di J1,2 e J1,2
hJ1 it =
~
(1 + cos 2!t)
2
hJ1 it =
~
(sin 2!t)
2
hJ12 it =
hJ12 it =
~2
(3 + cos 2!t)
4
~2
(3
4
cos 2!t)
( J1 )2t =
( J1 )2t =
~2
(2
4
~2
(2
4
cos 2!t
cos2 2!t)
cos 2!t + cos2 2!t)
2.6 Si determini la probabilit`
a che una misura di energia all’istante t > 0 dia un risultato positivo.
WtH (E > 0) =
3
4

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