foglio di esercizi riassuntivi

Esercizi di Ottobre
CL 5C- 5D
1. Illustra come sia possibile calcolare numericamente l'integrale di una funzione f (x )
da x a a x b utilizzando il metodo dei rettangoli. Scrivine la formula matematica,
spiega per quale limite la stima tende al valore esatto dell'integrale e schematizzane
(per punti o con un diagramma di flusso) l'algoritmo che ti consente di calcolarlo.
2. Spiega le differenze del metodo dei trapezi rispetto al precedente algoritmo. A parità di
numero N di suddivisioni dell'intervallo (x a , x b) riesci a dire quale dei due metodi
è più preciso? Motiva la risposta.
3. Illustra come sia possibile calcolare numericamente l'integrale di una funzione f (x )
x a a x b utilizzando il metodo Monte Carlo. Scrivine la formula matematica,
da
spiega per quale limite la stima tende al valore esatto dell'integrale e schematizzane
(per punti o con un diagramma di flusso) l'algoritmo che ti consente di calcolarlo.
Spiega perché il metodo Monte Carlo risulta molto più efficiente nel calcolo di integrali a
d
più dimensioni: detto n=N
il numero di volumetti da calcolare dove N è il numero
di suddivisioni lungo ogni dimensione e d il numero di dimensioni(=di variabili) della
funzione , riesci a stimare la relazione che lega n alla precisione dell'integrale coi
due metodi? In altre parole per raddoppiare la precisione con il primo metodo quanto
devo infittire le suddivisioni? E quando sarà il numero di volumetti? E col metodo Monte
Carlo?
4. Considerando un h finito puoi calcolare numericamente una stima della derivata di
una funzione. Scrivine la formula destra e quella simmetrizzata. Quale sarà più precisa?
Motiva la risposta
Perché utilizzando un computer o una calcolatrice non puoi assumere h piccolo a
piacere ma devi utilizzare un valore finito?
2
5. Considera la funzione f (x )=sin( 2x)− x +5 Calcola la derivata prima di tale funzione
e calcolane il valore in x=−1.5 . Utilizzando una calcolatrice e h=0.1 calcola la
derivata numerica in x=−1.5 utilizzando la formula numerica della derivata destra e
quella simmetrizzata. Quale si avvicina di più al valore esatto? E se usi h=0.01 ?
6. La derivata seconda puoi calcolarla come derivata della derivata prima. Applicando due
volte la formula simmetrizzata della derivata prima numerica riesci a ottenere una
formula sintetica per il calcolo della derivata seconda numerica?
7. Data una funzione
attorno a x 0 ?
f (x)
come calcolo lo sviluppo in serie di Taylor di tale funzione
8. Ricava lo sviluppo in serie di Taylor delle funzioni
x 0=0 fino al 12 ordine.
ex ,
sin( x) ,
9. Ricava lo sviluppo in serie di Taylor della funzione
ordine.
ln( x)
attorno a
10. Ricava lo sviluppo in serie di Taylor della funzione
cos ( x ) attorno a
x 0=1 fino al 12
1
ln ( x 2)+sin (5 x)− x 3
3
attorno a
x 0=2 prima fino al secondo ordine quindi al 3 ordine. Calcola il valore della funzione
e della sua approssimazione così trovata in x=2.5 .
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