Scheda tecnica

Programma dettagliato del corso di Metodi matematici dell’Ingegneria e lista dei teoremi per i quali si assume la conoscenza della
relativa dimostrazione in sede di esame orale.
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Analisi Complessa
Campo complesso e sua struttura di spazio metrico, campo
complesso esteso. Formula di De Moivre. Funzioni continue di
variabile complessa. Derivata in senso complesso. Differenziabilità delle funzioni derivabili. Condizioni di Cauchy-Riemann
(C-R). La funzione esponenziale. Condizioni di C-R in coordinate polari. Funzione argomento principale. Logaritmo principale e radice principale. Loro derivabilità fuori dal semiasse
reale negativo. Derivabilità e analiticità delle serie di potenze.
Integrazione in campo complesso. Sua interpretazione come
integrale di seconda specie e relative proprietà. Primitiva complessa. Funzioni olomorfe e funzioni intere. Dimostrazione che
le forme differenziali lineari relative all’integrale di una funzione olomorfa sono chiuse (teorema integrale di Cauchy). Esistenza della primitiva di una funzione olomorfa. Formula di
Cauchy. Estensione della formula di Cauchy al calcolo della
derivata n-ima. Analiticità delle funzioni olomorfe. Proprietà delle funzioni analitiche; zeri isolati. Esempi di funzioni
C ∞ ma non analitiche. Diseguaglianza di Cauchy. Teorema
di Liouville. Teorema Fondamentale dell’Algebra. Esempi di
calcolo tramite la formula di Cauchy. Punti singolari. Loro
classificazione. Residui e loro calcolo (nel caso di poli di ordine n). Serie bilatere e serie di Laurent. Caratterizzazione dei
punti singolari isolati tramite la serie di Laurent. Teorema dei
residui. Lemmi del grande cerchio e del piccolo cerchio. Lemma
di Jordan.
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Trasformata di Laplace
Funzioni Laplace-trasformabili. Ascissa di convergenza. Funzione di Heaviside. Trasformate di Laplace. Espressione della
derivata della L(f )(s) in termini della trasformata di Laplace di
tf (t). Trasformata della derivata. Applicazioni alla soluzione
di equazioni differenziali. Soluzioni di equazioni lineari con sec1
ondo membro discontinuo. Convoluzione. Trasformata di una
convoluzione. Esempi: equazioni integro-differenziali. Soluzione
impulsiva e soluzioni di equazioni differenziali tramite convoluzione
con la soluzione impulsiva. Sue proprietà. Una formula per
l’antitrasformata tramite un integrale complesso. Calcolo dell’
antistrasformata di F come somma dei residui di F (s)est .
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Integrale di Lebesgue
Cenni su misura e integrale di Lebesgue. Insiemi misurabili.
Proprietà della misura (in particolare numerabile additività).
Funzioni semplici. Integrale di una funzione positiva come limite di integrali di funzioni semplici. Funzioni sommabili. Differenze con l’integrale improprio secondo Riemann (funzione
sin x/x). Proprietà vere quasi ovunque (in particolare convergenza q.o.). Teoremi principali: Beppo Levi, Lebesgue, FubiniTonelli. 24. Gli spazi Lp . Norma sugli spazi Lp . Convergenza
negli spazi Lp e loro completezza. Inclusioni di spazi Lp .
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Spazi vettoriali e spazi di Hilbert
Spazi vettoriali con prodotto scalare. Norma Hilbertiana. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Identità del parallelogramma
(esempi di norme non hilbertiane). Lo spazio l2 . Lo spazio di
Lebesgue L2 . Ortogonalità. Teorema di Pitagora. Insiemi ortogonali e ortonormali. Lineare indipendenza di insiemi ortogonali. Esempi (funzioni esponenziali e funzioni trigonometriche).
Spazi di Hilbert. Teorema delle proiezioni. Diseguaglianza di
Bessel. Il metodo di Gram-Schmidt.
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Serie di Fourier
Polinomi di Fourier. Serie di Fourier. Coefficienti di Fourier
(forma esponenziale e forma trigonometrica). Esempio: la serie
di Fourier della funzione segno. Lemma di Riemann-Lebesgue.
Nucleo di Dirichlet. Criterio di Dini. Convergenza puntuale
della serie di Fourier per funzioni C 1 a tratti. Convergenza
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della serie di Fourier in L2 e Identità di Parseval.
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Trasformata di Fourier (dagli appunti del Prof. Benfatto
http://www.mat.uniroma2.it/~benfatto/note_FM2_new.pdf)
Introduzione alla trasformata di Fourier come "limite" di serie di Fourier. Trasformata di Fourier di una funzione L1 .
Formula di inversione per funzioni in F(R). Proprietà ed esempi. Trasformata di Fourier di funzioni a decrescenza rapida.
Trasformata di Fourier e derivazione. Trasformata di Fourier
delle Gaussiane. Trasformata di Fourier in L2 e sua compatibilità con il prodotto scalare. Identità di Plancherel. Trasformata
di una convoluzione.
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Distribuzioni
Spazio delle funzioni test C ∞ a supporto compatto (ed esistenza
di tali funzioni) e convergenza in tale spazio. Definizione di distribuzione. Esempi. Identificazione delle funzioni sommabili
con distribuzioni di forma integrale. La delta di Dirac come
distribuzione. Derivata nel senso delle distribuzioni. Derivata
di una funzione continua e C 1 a tratti. Derivata della delta.
Derivate di ordine superiore nel senso delle distribuzioni. Convergenza di distribuzioni. Concentrazione e oscillazioni. Legame
con il lemma di Riemann-Lebesgue. La distribuzione valor proprio di 1/x. Operazioni su distribuzioni.
Distribuzioni temperate. Funzioni a crescenza lenta come distribuzioni temperate. Le funzioni L1 , L2 , L∞ e i polinomi sono
a crescenza lenta. Trasformate di Fourier di distribuzioni temperate. Esempi: trasformate della δ, 1, x, xn , sign(x). Proprietà
delle trasformate di Fourier di distribuzioni temperate.
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