Lezione n.12 - Dipartimento di Matematica

Il Processo Stocastico Martingala e sue Applicazioni in
Finanza
Rosa Maria Mininni
∗
a.a. 2014-2015
1
Introduzione
Scopo principale della presente dispensa ´e quello di illustrare i concetti matematici fondamentali della teoria delle martingale e di evidenziare la vasta applicabilit`a della teoria delle martingale per la rappresentazione delle problematiche di ordine finanziario. A
questo scopo verranno presentate alcune applicazioni relative al prezzaggio delle opzioni
e dei titoli sottostanti. Nel complesso si cercher`a di verificare fino a che punto l’uso dei
processi martingale sia compatibile, in termini di congruenza, con le logiche sottostanti il
funzionamento dei mercati finanziari ed inoltre si illustreranno le tecniche, utilizzate dalle
moderne metodiche in materia di asset pricing, di trasformazione dei processi stocastici
in martingale laddove tale trasformazione permette agli analisti finanziari una pi`
u facile
trattazione delle problematiche finanziarie.
2
Cenni storici
Il termine martingala si ricollega ad una serie di strategie utilizzate dagli scommettitori
francesi nel XVIII secolo. La pi`
u semplice di queste strategie veniva usata in una sequenza
di scommesse sugli esiti del lancio di una moneta equa (cio`e con eguale probabilit`a 1/2 di
uscire testa o croce ad ogni lancio, indipendentemente dall’esito dei lanci precedenti): un
giocatore vince (perde) una somma di danaro, pari alla posta Sn da lui liberamente scelta
al lancio n, se si verifica l’evento “esce testa” (“esce croce”).
La strategia consiste nell’iniziare puntando la somma 1 alla prima giocata e, in seguito,
ancora 1 dopo una vincita (testa), e raddoppiando sistematicamente la posta precedente
Sn+1 = 2 Sn dopo una perdita (croce). Utilizzando questa strategia, la distribuzione di
probabilit`
a della vincita dello scommettitore dopo N puntate `e (al crescere di N ) fortemente asimmetrica: bassa probabilit`a di forti perdite che compensa un’alta probabilit`a di
∗
Dipartimento di Matematica, Universit`
a di Bari Aldo Moro
1
2
piccoli guadagni, ma la vincita attesa (speranza matematica), qualunque sia il numero di
scommesse della sequenza, `e sempre 0. Per esempio, dopo 3 giocate il guadagno pu`o essere
+3(sequenza T T T ), +2(T CT e CT T ), +1(T T C e CCT ), 0(CT C), -2(T CC), -7(CCC) e
la conclusione segue, tenendo conto che ciascuna sequenza ha probabilit`a pari a 1/8.
Indichiamo con X0 , X1 , X2 , ... il denaro posseduto dal giocatore rispettivamente prima
del primo lancio (X0 ), dopo il primo lancio (X1 ), dopo il secondo lancio (X2 ) e cos`ı
via. Allora, da quanto spiegato sopra, il valore atteso di XN , ovvero del denaro posseduto
(guadagno) dopo N lanci, sar`
a semplicemente X0 , ovvero la somma inizialmente posseduta.
Ma se `e noto che dopo m lanci il giocatore possiede la somma Xm , l’aspettativa pi`
u
ragionevole riguardo alla vincita dopo N lanci (con N > m) sar`a invece Xm . Questa `e
appunto la propriet`
a di martingala.
Se ne deduce, quindi, che questa tecnica, che apparentemente conduce ad una vincita
finale certa, ´e invece la causa di forti perdite da parte di scommettitori. Un’analisi pi`
u attenta mostra, infatti, che la posta da mettere in gioco aumenta esponenzialmente con i lanci
perdenti, e ci si convince facilmente del fatto che, per assicurarsi la vittoria, bisognerebbe
disporre di un capitale infinito da poter scommettere, e bisognerebbe che anche il banco
fosse disposto ad accettare poste di qualsiasi taglia. La vincita netta `e solamente la posta
iniziale. Ironia della sorte, uno dei risultati elementari dimostrati dall’odierna teoria delle
martingale `e proprio l’inesistenza di un sistema di scommesse vincente.
Il concetto di martingala `e stato introdotto nella Teoria della Probabilit`a da Paul P.
L´evy. Gran parte dei risultati avanzati riguardanti le martingale sono stati prodotti da
Joseph L. Doob, con contributi importanti da parte di K. Itˆo sulle applicazioni analitiche.
Dagli anni settanta, la teoria delle martingale ha trovato ampie applicazioni in molti
settori della matematica pura ed applicata. In particolare, nella Teoria della Probabilit`a,
in Fisica Matematica, ed in Finanza Matematica. Il successo di tale teoria ´e tale che essa
risulta una delle poche branche della matematica nota anche a studiosi di altre discipline,
in particolare da chi si occupa di finanza e tecniche di borsa. Anche grazie ai contributi
dati a questa teoria, L`evy, Itˆ
o e Doob sono considerati tra i maggiori matematici del XX
secolo.
3
Premesse
Sia assegnato uno spazio di probabilit`a (Ω, F, P).
Definizione 1. Si dice che B ∈ F ´e un evento trascurabile (risp. certo) se P(B) = 0
(risp. P(B) = 1). Indichiamo con
N = {B ∈ F | P(B) = 0}
l’insieme degli eventi trascurabili.
Definizione 2. Una filtrazione nello spazio di probabilit`
a (Ω, F, P) ´e una famiglia {Ft }t≥0
di sotto σ-algebre di F (cio`e Ft ⊂ F per ogni t ≥ 0), tale che:
3
i. per ogni 0 ≤ s < t, si ha che Fs ⊂ Ft .
Nel seguito si supporr`
a che una filtrazione soddisfa anche le seguenti condizioni:
ii. F0 ( e quindi anche Ft per ogni t > 0) contiene N;
\
Ft+u (continuit`
a a destra).
iii. per ogni t > 0 si ha Ft =
u>0
Una filtrazione pu`
o essere interpretata come una successione “crescente” (propriet`a i.)
di informazioni a disposizione del decision-maker nei vari istanti di tempo t. Una variabile
aleatoria si dice Ft - misurabile se `e completamente definita e quindi nota, dato il set
informativo Ft al tempo t.
Inoltre, la propriet`
a iii. garantisce che, sapendo che una v.a. ´e Fs - misurabile per ogni
s > t, allora essa `e anche Ft - misurabile.
Definizione 3. Dato un processo stocastico X = (Xt )t≥0 nello spazio (Ω, F, P), la filtrazione naturale per X `e definita da
e X = σ(Xs , 0 ≤ s ≤ t),
F
t
t ≥ 0.
Poniamo per t ≥ 0,
FtX :=
\
eX
F
t+u
dove
e X := σ F
eX ∪ N .
F
t
t
u>0
Si verifica che (FtX )t≥0 ´e una filtrazione che soddisfa le propriet`
a ii. e iii.. Essa ´e detta
filtazione standard per X.
Il valore atteso condizionale E(X | Ft ) di una variabile aleatoria X, definita sullo
spazio di probabilit`
a (Ω, F, P), rispetto alla filtrazione {Ft }t≥0 , ´e definito in modo analogo
al valore atteso condizionale di X rispetto a una variabile aleatoria Y , E(X|Y ), e gode di
alcune importanti propriet`
a:
a) per ogni t > 0, E[E[X | Ft ]] = E[X];
b) se X `e Ft - misurabile allora E[X | Ft ] = x, dove x rappresenta la realizzazione
della v.a. X osservata sulla base delle informazioni contenute nella σ-algebra Ft ;
c) per ogni t > 0 e per ogni a1 , a2 ∈ R,
E[(a1 X1 + a2 X2 ) | Ft ] = a1 E[X1 | Ft ] + a2 E[X2 | Ft ], propriet`
a di linearit`
a;
d) se X ≥ 0, allora per ogni t ≥ 0 E[X | Ft ] ≥ 0, propriet`
a di positivit`
a;
e) se Z `e Ft - misurabile allora E[Z X | Ft ] = Z E[X | Ft ], infatti Z `e noto sulla base
delle informazioni contenute in Ft .
Definizione 4. Sia X = (Xt )t≥0 un processo stocastico nello spazio (Ω, F, P) e sia {Ft }t≥0
una filtrazione di tale spazio. Si dice che X ´e Ft -adattato se Xt ´e Ft -misurabile per ogni
t.
Chiaramente, la filtrazione standard ´e la pi`
u piccola filtrazione rispetto a cui X ´e adattato.
4
4
Il processo stocastico Martingala
I dati di natura finanziaria sono tipicamente strutturati come serie storiche. Tali serie
statistiche possono essere intese come una successione di osservazioni che si sviluppano in
un fissato periodo temporale. Dal punto di vista probabilistico, una serie storica deve essere
interpretata come una particolare traiettoria di un processo stocastico. Una martingala
rappresenta un particolare processo stocastico frequentemente utilizzato nella modellizzazione delle dinamiche finanziarie.
Definizione 5. Sia X = {Xt }t≥0 un processo stocastico su uno spazio di probabili`
a
(Ω, F, P), e {Ft }t≥0 una filtrazione di tale spazio. Il processo X ´e una martingala rispetto
a {Ft }t≥0 se valgono le seguenti condizioni:
(i) X ´e adattato;
(ii) E[|Xt |] < ∞;
(iii) per ogni s < t, E[Xt |Fs ] = Xs , con Xs noto.
(La condizione (iii) `e verificata quasi ovunque (q.o.) in Ω cio`e escludendo gli eventi
trascurabili.)
Osserva. La condizione (ii) ´e detta propriet`
a di integrabilit`
a. Essa afferma che il valore atteso del modulo di Xt , per ogni t, esiste finito. La condizione (iii) ´e detta propriet`
a di martingala. Essa afferma che la legge di dipendenza tra le variabili aleatorie
che definis-cono il processo X ´e caratterizzata dal fatto che il valore atteso (previsione) di
uno stato futuro del processo, nota l’evoluzione dello stesso nei tempi precedenti, dipende
solo dall’ultima osservazione realizzata. Vale quindi la propriet`a di Markov. Perci`o una
martingala `e detto essere un processo markoviano.
Analogamente alle martingale vengono definite le submartingale e le supermartingale.
Definizione 6. Siano valide le ipotesi della Definizione 5. Il processo X ´e una submartingala (risp. supermartingala) rispetto a {Ft }t≥0 se valgono le seguenti condizioni:
(i) X ´e adattato;
(ii) E[|Xt |] < ∞;
(iii) per ogni s < t, E[Xt |Fs ] ≥ Xs (risp. E[Xt |Fs ] ≤ Xs ) (q.o. in Ω), con Xs noto.
Osserva. Sulla base di queste definizioni si deduce che un processo stocastico si comporta come una martingala se le sue possibili traiettorie non mostrano uno specifico trend
sottostante, ovvero se le direzioni assunte dai movimenti futuri sono, in media, uguali
ai valori osservati all’istante attuale. Qualora le traiettorie di un processo individuino un
trend di lungo periodo, allora il processo non si potrebbe configurare come una martingala.
Supponendo che {Xt }t≥0 sia una martingala e considerando la previsione al tempo t > 0
relativa ad una variazione del processo su un intervallo di tempo di lunghezza ∆t, si ha
5
che:
E[Xt+∆t − Xt |Ft ] = E[Xt+∆t |Ft ] − E[Xt |Ft ]
= Xt − Xt = 0,
ovvero l’incremento di una traiettoria del processo in un intervallo di ampiezza ∆t ´e, in
media, nulla.
Diversamente, se il processo {Xt }t≥0 ´e una submartingala, allora
E[Xt+∆t − Xt |Ft ] ≥ 0
e il processo ´e, in media, crescente, mentre se {Xt }t≥0 ´e una supermartingala, allora
E[Xt+∆t − Xt |Ft ] ≤ 0
e il processo ´e, in media, decrescente.
4.1
Trasformazione di submartingale in martingale: scomposizione di
Doob-Meyer
Spesso i processi che si definiscono nella realt`a non sono martingale, nel senso che i movimenti futuri non sono completamente imprevedibili, ovvero le variazioni medie non sono
pari a zero, date le informazioni correnti. I prezzi delle attivit`a finanziarie si comportano,
infatti, come delle supermartingale, o ancora pi`
u frequentemente come delle submartingale. Esiste, tuttavia, una connessione tra le martingale e le submartingale, attraverso la
quale ´e possibile convertire le seconde nelle prime. Un primo metodo di trasformazione ´e
quello che sfrutta la cosiddetta scomposizione di Doob-Meyer.
Approccio diretto: scomposizione di Doob-Meyer
Sia (Ω, F, P) uno spazio di probabili`a e {Ft }t≥0 una filtrazione in tale spazio.
Definizione 7. Dato un processo stocastico (At )t≥0 su (Ω, F, P), si dice che (At ) ´e prevedibile se A0 ∈ F0 , e, per ogni t ≥ 0, si ha che At+∆t ´e Ft -misurabile (∆t > 0).
Un processo (At )t≥0 ´e detto crescente se ´e prevedibile e le sue traiettorie sono crescenti
quasi ovunque, cio`e per ogni s, t ≥ 0, s < t si ha
0 = A0 ≤ As (ω) ≤ At (ω),
per quasi ogni
ω ∈ Ω.
Teorema 1. (di scomposizione di Doob-Meyer): Sia {Xt }t≥0 una submartingala rispetto
a {Ft }t≥0 . Allora esiste ed ´e unica la seguente scomposizione
Xt = St + At ,
t≥0
dove {St }t≥0 ´e una martingala e {At }t≥0 ´e un processo crescente.
6
Con il teorema di Doob-Meyer ´e possibile scomporre, in maniera univoca, una submartingala in una martingala pi`
u un elemento residuo che ´e rappresentato da un processo
crescente e prevedibile (trend). In sintesi, tale teorema afferma che sottraendo da una
submartingala (in media crescente) {Xt }t≥0 un processo a traiettoria crescente (At )t≥0 , le
deviazioni rispetto al trend assumono un comportamento assolutamente irregolare. Questo
processo “trasformato” {St }t≥0 ´e proprio una martingala. Con la tecnica di scomposizione
di Doob-Meyer si evidenzia, dunque, come sia possibile trasformare “direttamente” una
submartingala in modo da ottenere una martingala.
4.1.1
Scomposizione di Doob-Meyer applicata alla valutazione di un’opzione
Abbiamo gi`
a visto che il payoff alla scadenza T di un’opzione call `e dato da
fT = max(0, ST − K),
dove S = (St )t≥0 ´e il processo stocastico che definisce il prezzo del titolo azionario sottostante l’opzione. Si assume che tale processo sia definito su di uno spazio di probabilit`a
(Ω, F, P) e sia {Ft }t≥0 la filtrazione standard per S.
Dal momento che il prezzo ST non ´e noto al tempo t < T , occorre considerare il valore
atteso:
E[fT | Ft ] = E[max(0, ST − K) | Ft ].
Data tale previsione ci si potrebbe chiedere se il pi`
u equo valore della call al tempo t
possa considerarsi uguale al valore scontato di E[fT |Ft ]. In altre parole, fissato il tasso di
attualizzazione r, si tratta di verificare che
ft = e−r (T −t) E[fT | Ft ] = E[e−r (T −t) fT | Ft ],
t<T
(1)
da cui segue che
E[e−r T fT | Ft ] = e−r t ft .
Quest’ultima uguaglianza ´e vera se il processo scontato (e−r t ft )t≥0 ´e una martingala
rispetto alla filtrazione standard {Ft }t≥0 . Dal momento che il prezzo della call viene
definito sulla base del prezzo del titolo sottostante, si pu`o affermare che la dinamica del
processo (e−r t ft )t≥0 segue quella del processo S e quindi di (e−r t St )t≥0 . Nella realt`a
finanziaria il processo S non si comporta come una martingala. Infatti, data la rischiosit`a
cui un titolo azionario ´e normalmente soggetto, il valore scontato al tasso privo di rischio r
non corrisponde al prezzo valutato al tempo presente t, a causa dell’esistenza di un premio
per il rischio, il quale rappresenterebbe un elemento residuale non incorporato nel tasso
di sconto. Il premio ´e tanto maggiore quanto maggiore ´e il rischio del titolo. In termini
probabilistici, questo pu`
o essere espresso nel modo seguente:
E[e−r (T −t) ST | Ft ] > St
ossia
E[e−r T ST | Ft ] > e−r t St
7
ovvero il processo (e−r t St )t≥0 ´e una submartingala. Tale risultato emerge dal fatto che
nell’attualizzazione si utilizza un tasso privo di rischio in un contesto non neutrale al
rischio. Sfruttando per`
o il teorema di scomposizione di Doob-Meyer ´e possibile decomporre
in maniera univoca il processo (e−r t St )t≥0 nella somma di una martingala (Mt )t≥0 e di
un processo crescente (At )t≥0 :
e−r t St = Mt + At .
(2)
Una volta determinata l’evoluzione del trend At ´e possibile utilizzare la scomposizione (2)
al fine di ricavare il processo martingala Mt
Mt = e−r t St − At ,
tramite il quale ´e possibile definire il valore di mercato di una call option al tempo t.
Infatti, per la definizione di processo martingala segue che
E[e−r T ST − AT | Ft ] = e−r t St − At
da cui si deduce che il processo (e−r t St −At )t≥0 , depurato dall’effetto tendenziale di lungo
periodo, ´e una martingala. Questa correzione nel processo del prezzo del titolo azionario
garantisce la stazionariet`
a nel processo che definisce la dinamica del valore di una call. In
tal modo si pu`
o sfruttare la relazione (1) per ipotizzare il prezzo equo dell’opzione call al
tempo t.
In realt`
a, questo metodo, data la difficolt`a implicita nella stima del processo (At )t≥0 , ´e
´ pi`
raramente applicato nella pratica. E
u conveniente convertire il processo S dei prezzi in
una martingala non sottraendo il loro trend ma cambiando la distribuzione di probabilit`a
del sottostante.
4.2
Trasformazione della misura di probabilit`
a e il Teorema di Girsanov
Un altro metodo di conversione di submartingale in martingale si fonda sulla trasformazione della distribuzione di probabilit`a che governa un processo a traiettorie crescenti.
Abbiamo visto nella sezione precedente che il processo (e−r t St )t≥0 , definito come valore
attuale in t del prezzo di un titolo azionario, ad un tasso di attualizzazione privo di rischio
r, ´e una submartingala rispetto all’assegnata misura di probabilit`a.
In questo caso, ´e possibile cercare una “nuova” misura di probabilit`a rispetto a cui il
processo scontato (e−r t St )t≥0 diventi una martingala, mantenendo il tasso r come tasso
di attualizzazione. Le misure di probabilit`a attraverso le quali ´e possibile trasformare
processi che non sono martingale in martingale vengono dette misure equivalenti di probabilit`a. Le condizioni generali che permettono la trasformazione delle misure probabilistiche
sono definite nel Teorema di Girsanov. Prima di passare alla presentazione formale del teorema ´e opportuno introdurre brevemente la problematica della trasformazione di misura
di probabilit`
a attraverso il caso di una variabile aleatoria con distribuzione normale.
Sia (Ω, F, P) una spazio di probabilit`a. Si consideri una variabile aleatoria Z ∼ N (0, 1)
definita su (Ω, F, P). Sappiamo che la funzione densit`a di probabilit`a di Z ´e il differenziale
8
della funzione di distribuzione cumulata, cio`e per ogni z ∈ R
Z z
1
2
f (u) du
ovvero
dF (z) = f (z) dz = √ e−z /2 dz.
FZ (z) = P(Z ≤ z) =
2π
−∞
Da ora in poi, per comodit`
a, consideremo la seguente identificazione:
dFZ(ω) (z) ≡ dP(ω),
ω∈Ω
Definiamo ora la v.a. L : Ω → [0, +∞) funzione di Z nel seguente modo:
L := H(Z) = eµ Z−µ
2 /2
Se per un fissato ω ∈ Ω si ha Z(ω) = z, moltiplicando L(ω) = H(z) per dP(ω), si ottiene
la trasformazione di misura
1
2
2
L(ω) dP(ω) = √ eµ z−µ /2−z /2 dz.
2π
(3)
che determina una nuova misura di probabilit`a indicata dalla seguente espressione
1
2
dQ(ω) = √ e(µ−z) /2 dz.
2π
(4)
Osserva La (4) rappresenta la funzione di distribuzione cumulata di una distribuzione
normale N (µ, 1). Quindi, pur rimanendo invariata la dispersione della variabile aleatoria
intorno alla media (σ 2 = 1), le due misure di probabilit`a sono diverse, dal momento che
le medie su cui sono centrate non coincidono ed inoltre esse assegnano valori di probabilit`a differenti agli stessi intervalli. Si noti, inoltre, che la trasformazione di misura (3) ´e
invertibile, infatti si ha che:
(L(ω)−1 dQ(ω) = dP(ω).
(5)
La v.a. L pu`
o essere interpretata come rapporto tra due misure:
L=
dQ
dP
(6)
ed ´e detta derivata di Radon-Nikodym. Perch´e la v.a. L esista ´e necessario che il denominatore del rapporto (6) sia diverso da zero. La trasformazione inversa (5) implica, inoltre,
che anche il numeratore di (6) sia diverso da zero, Se ne deduce quindi che condizione
necessaria e sufficiente affinch`e la derivata di Radon-Nikodym esista ´e che,
Q(A) > 0 ⇐⇒ P(A) > 0,
A∈F
Quando questa condizione risulta soddisfatta allora la v.a. L esiste e pu`o essere utilizzata
per passare da P a Q. In questo caso le due misure sono dette misure equivalenti di
probabilit`
a perch`e assegnano probabilit`a positive agli stessi domini. Sebbene le misure
di probabilit`
a siano differenti, ´e quindi sempre possibile, tramite la derivata di RadonNikodym, convertire l’una nell’altra.
9
Il Teorema di Girsanov fornisce le condizioni di esistenza della derivata di RadonNikodym nel caso di processi stocastici continui. Per introdurre il teorema nella sua forma
pi`
u generale, occorre preliminarmente definire alcuni elementi.
Siano (Ft )t∈[0,T ] una filtrazione di (Ω, F, P), (Zt )t∈[0,T ] un processo stocastico adattato
alla filtrazione (Ft )t∈[0,T ] e (Wt )t∈[0,T ] un moto Browniano definito sullo stesso spazio di
probabilit`
a. Valga, inoltre, la seguente condizione di limitatezza
Z T
1
2
E exp
|Zt | dt
< +∞,
2 0
che implica che le traiettorie Zt del processo non devono crescere o decrescere troppo
velocemente nel tempo.
Teorema 2. (di Girsanov): Sia (Xt )t∈[0,T ] una martingala esponenziale rispetto a (Ft )t∈[0,T ] ,
associata al processo (Zt )t∈[0,T ] . Consideriamo la misura Q definita da
dQ
:= XT .
dP
(7)
Allora il processo stocastico definito da
Z
ft = Wt −
W
t
Zs ds
t ∈ [0, T ]
(8)
0
´e un moto Browniano su (Ω, F, Q), rispetto alla misura di probabilit`
a Q definita in (7)
ossia
Z
Q(A) = EP [IA XT ] =
XT dP,
A ∈ F.
A
Osserva. Dal Teorema di Girsanov si deduce che moltiplicando la misura di probabilit`a
P, che governa il processo di Wiener (Wt )t∈[0,T ] , per la martingala (Xt )t∈[0,T ] , che `e una
funzione esponenziale del processo (Zt )t∈[0,T ] , tramite l’operazione di valore atteso, si
ft )t∈[0,T ]
ottiene una nuova misura di probabilit`a Q che governa il processo di Wiener (W
legato al precedente dalla relazione (8) definita nel Teorema. In quella espressione il
passaggio da un moto browniano all’altro ´e ottenuto sottraendo a Wt un trend variabile
nel tempo. La trasformazione della misura di probabilit`a tale da modificare la media,
lasciando inalterata la varianza e i valori assunti dalla variabile aleatoria, ´e quindi un
processo dipendente dal tempo che si svolge istante per istante. In ogni istante varia
l’elemento tendenziale da considerare per effettuare tale trasformazione.
Si osservi, inoltre, che (Xt )t∈[0,T ] ´e un processo strettamente positivo e, quindi, `e invertibile e se ne deduce che il processo ((Xt )−1 )t∈[0,T ] `e una martingala rispetto a (Ft )t∈[0,T ]
sullo spazio di probabilit`
a (Ω, F, Q). Vale allora la trasformazione inversa della (7), cio`e
dP
:= (XT )−1 ,
dQ
da cui si pu`
o verificare come il Teorema di Girsanov sia consistente con la descrizione della
v.a. XT come rapporto di due misure di probabilit`a equivalenti.
10
4.2.1
Utilizzo delle misure equivalenti di probabilit`
a nella valutazione di un’opzione
Con questo esempio si vuole evidenziare come nella valutazione dei prezzi di attivit`a
finanziarie si utilizzi la trasformazione delle misure di probabilit`a sottostanti per convertire
dei processi che non sono martingale in martingale.
Sia W = (Wt )t∈[0,T ] un moto Browniano, con Wt ∼ N (µ t, σ 2 t) (t > 0) e sia (Ft )t∈[0,T ]
la filtrazione standard per W . Sia S = (St )t∈[0,T ] il moto Browniano geometrico che
rappresenta la dinamica del titolo azionario sottostante un’opzione. Le sue traiettorie
sono definite nel seguente modo:
St = S0 eWt ,
t ∈ [0, T ].
Poich`e il processo S ´e definito come funzione esponenziale di W ´e evidente che la
dinamica di S segue quella di W . Di conseguenza, la filtrazione (Ft )t∈[0,T ] ´e anche la
filtrazione standard per S. Abbiamo visto che il valore atteso condizionato del processo S
al tempo t + τ , nota la storia del processo fino al tempo t, ´e dato da
EP [St+τ | Ft ] = St eµτ +σ
2 τ /2
(9)
Questa uguaglianza viene normalmente utilizzata nell’ambito della valutazione dei prezzi
di attivit`
a finanziarie. La misura di probabilit`a P rispetto a cui viene determinata la
distribuzione di probabilit`
a delle traiettorie St rappresenta la “vera” legge di probabilit`a
che governa gli shock sui prezzi. Come abbiamo gi`a detto, non sempre questa misura di
probabilit`
a `e necessariamente quella pi`
u conveniente da utilizzare. Sulla base del Teorema
di Girsanov risulta, infatti, possibile determinare una misura di probabilit`a equivalente
a quella data, tale da rendere pi`
u agevole la valutazione dei prezzi del titolo. Questo ´e
vero, in particolare, se si pu`
o operare con misure di probabilit`a le quali rendono possibile
la conversione dei prezzi in una martingala.
Abbiamo visto nella Sezione 4.1.1 che il processo (e−r t St )t≥0 ´e una submartingala e
che tale risultato emerge dal fatto che nell’attualizzazione si utilizza un tasso r privo di
rischio in un contesto non neutrale al rischio. L’idea ´e quella di trovare una misura di
probabilit`
a Q equivalente a P tale per cui il processo (e−r t St )t≥0 risulta una martingala.
Il ruolo svolto dalla misura Q ´e proprio quello di rendere la dinamica delle grandezze
finanziarie neutrale rispetto alla misura del rischio.
Poich`e la distribuzione di probabilit`a di Wt , la cui dinamica rappresenta l’elemento
determinante il prezzo dell’attivit`
a finanziaria, ´e una normale N (µ t, σ 2 t), si pu`o allora
pensare di definire un “nuova” distribuzione di probabilit`a del tipo:
N (ρ t, σ 2 t)
in cui l’elemento che definisce la media risulta arbitrariamente modificato, mentre resta
costante la varianza. Usando l’espressione (9), il valore atteso condizionale del prezzo
attualizzato rispetto alla nuova misura di probabilit`a Q diviene:
EQ [e−r τ St+τ | Ft ] = St e−r τ eρτ +σ
2 τ /2
(10)
11
Dato che il parametro ρ ´e arbitrario, esso pu`o essere scelto in modo tale che
−r τ + ρ τ +
ovvero che
ρ=r−
σ2 τ
=0
2
σ2
.
2
(11)
La (10) diventa
EQ [e−r τ St+τ | Ft ] = St
e quindi
EQ [e−r (t+τ ) St+τ | Ft ] = e−r t St .
Determinando un valore opportuno di ρ come nella (11) si ottiene, quindi, una misura
di probabilit`
a Q rispetto a cui il processo (e−r t St )t∈[0,T ] ´e una martingala. Ne consegue
allora che
E[e−r T ST | Ft ] = e−r t St
e quindi
E[e−r (T −t) ST | Ft ] = St .
Questo rende possibile il calcolo del prezzo attuale del titolo in un mondo neutrale verso
il rischio, cio`e mantenendo come tasso di attualizzazione il tasso r privo di rischio, normalmente conosciuto e facilmente reperibile.
La trasformazione della misura di probabilit`a P in una ad essa equivalente ´e tale da
lasciare inalterata la varianza e, dunque, il grado di volatilit`a dei prezzi.

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