Esame per il corso di Matematica per CTF (Prof. G. Gaeta) 13 Febbraio 2014 Tempo a disposizione: due ore e mezza; non sono ammessi ausili (libri, appunti, etc). I diversi esercizi hanno lo stesso peso in termini di voto finale, pur non essendo della stessa difficolt`a. Si raccomanda la chiarezza di esposizione (ed uno sforzo di scrivere in modo leggibile); compiti in cui non si capisce lo svolgimento verranno valutati come scarsi anche se `e stato ottenuto il risultato finale corretto. Esercizio 1. Determinare quali delle seguenti funzioni y = f (x) (definite per x ∈ R) sono invertibili: f1 (x) = x3 + x5 ; f2 (x) = x − x3 ; f3 (x) = x + x2 ; f4 (x) = ln(1 + x2 ) . Esercizio 2. Calcolare lim x→∞ x 2 . 1 + x Esercizio 3. Calcolare la derivata della funzione y(x) = xx . Esercizio 4. Calcolare il limite lim x→∞ ex + e−x . ex − e−x Esercizio 5. Identificare quali delle seguenti funzioni y = f (x) ammettono asintoti obliqui per x → +∞; ed in uesto caso determinare gli asintoti obliqui stessi. f1 (x) = 2+x 2+x x2 + 2x − 1 + e−x sin x ; f (x) = ; f (x) = . 2 3 1 + x−2 1 + x2 x Esercizio 6. Calcolare l’integrale indefinito Z 2 x2 + x−1/3 dx . Esercizio 7. Calcolare l’integrale definito Z π/2 sin(x) cos2 (x) dx . 0 1 Esercizio 8. Determinare, in forma implicita, la soluzione generale dell’equazione differenziale dx x(1 − t) = − . dt t(1 + x) Esercizio 9. Una singola biglietteria automatica risulta guasta nel 10 per cento dei giorni; essa viene riparata a fine giornata e pu`o guastarsi nei giorni successivi in modo indipendente dal tempo trascorso dall’ultima riparazione. Se in una stazione sono presenti tre biglietterie automatiche, qual `e la probabilit`a (nelle ipotesi sopra descritte) che in un dato giorno ve ne sia una funzionante e due guaste? Esercizio 10. Una condizione medica rara, con incidenza p = 10−5 nella popolazione, `e identificata da un test che ha un margine di errore pari a e1 = 10−2 su soggetti che presentano questa condizione (nel seguito indicati come “malati”), e e2 = 10−3 su soggetti sani. Viene effettuato un test su un campione estratto da tutta la popolazione (cio`e indipendentemente da fattori che facciano ritenere probabile la condizione medica che viene testata). Nel caso di un soggetto per cui il test risulti positivo, qual `e la probabilit`a che sia effettivamente malato? 2 SOLUZIONE Esercizio 1:: Una funzione y = f (x) `e invertibile se si ha una corrispondenza “uno a uno” tra valori di x e valori di y. In particolare, se la funzione `e continua e definita su tutto R, una condizione necessaria e sufficiente `e che la sua derivata non sia mai nulla. Per le funzioni proposte abbiamo f10 (x) = 3x2 + 5x4 ; f20 (x) = 1 − 3x2 ; f30 (x) = 1 + 2x; f40 (x) = 2x . 1 + x2 Quindi solo la funzione y = f1 (x), tra quelle proposte, `e invertibile. Esercizio 2:: Si tratta di un limite che si riconduce immediatamente al limite notevole che definisce il numero e: passando alla variabile y = x/2 abbiamo lim x→∞ 2 1 + x x = lim y→∞ 1 1 + y 2y = e2 . Esercizio 3:: Riscrivendo x come x = exp[ln(x)], abbiamo y(x) = (eln x )x = ex ln x . La derivata dell’esponenziale si calcola immediatamente, ed abbiamo y 0 (x) = (1 + ln x) ex ln x = (1 + ln x) xx . Esercizio 4:: Raccogliendo ex sia al denominatore che al numeratore, e usando il fatto che e−2x → 0 per x → ∞, abbiamo lim x→∞ ex + e−x ex (1 + e−2x ) 1 + e−2x = lim = lim = 1. x→∞ ex (1 − e−2x ) x→∞ 1 − e−2x ex − e−x Esercizio 5:: Perch´e la funzione y = f (x) abbia un asintoto obliquo (per x → +∞) la funzione y = F (x) := f (x)/x deve ammettere un limite finito (per x → +∞). E’ subito evidente che F1 (x) → 1, F2 (x) → 0, F3 (x) → 1 ; quindi sicuramente la funzione f2 (che del resto va a zero per x → +∞) non ammette un asintoto obliquo, mentre f1 ed f3 lo ammettono. Per determinare gli asintoti obliqui, ricordiamo ora che se f (x) ammette la retta y = kx + b come asintoto obliquo, le costanti k e b sono determinate da k = lim x→∞ f (x) ; b = lim [f (x) − kx] . x→∞ x 3 Abbiamo gi` a visto che in ambedue i casi k = 1. Per f1 abbiamo b1 = lim x→∞ 2+x − x 1 + x−2 2 + x − x − x−1 = 2; x→∞ 1 + x−2 = lim l’asintoto obliquo `e quindi y(x) = x + 2 . Per f3 abbiamo invece 2 x + 2x − 1 + e−x sin x x2 + 2x − 1 + e−x sin x − x2 b3 = lim − x = lim = 2; x→∞ x→∞ x x anche in questo caso l’asintoto obliquo `e y(x) = x + 2 . Esercizio 6:: Sviluppando il quadrato (e ricordando che l’integrale di una somma `e la somma degli integrali), abbiamo Z 2 I = x2 + x−1/3 dx Z Z Z = x4 dx + x−2/3 dx + 2 x5/3 dx x5 3 x8/3 + 3 x1/3 + + C . 5 4 = Esercizio 7:: Passiamo alla variabile y = cos(x), e quindi dy = − sin(x)dx; quindi per x = 0 abbiamo y = 1, e per x = π/2 abbiamo y = 0. Allora Z I π/2 sin(x) cos2 (x) dx = 0 Z = − 0 y 2 dy 1 Z = 1 y 2 dy = 0 y3 3 1 = 0 1 . 3 Esercizio 8:: Si tratta di un’equazione separabile, che possiamo riscrivere nella forma 1+x (1 − t) dx = − dt ; x t 4 avremo quindi, integrando ambo i membri, Z Z 1+x (1 − t) dx = − dt ; x t Z Z 1 1 + 1 dx = − − 1 dt ; x t Z Z Z Z 1 1 dx + dx = − dt + dt ; x t ln |x| + x = − ln |t| + t + C . La soluzione va lasciata in forma implicita; possiamo scriverla in modo leggermente pi` u compatto come ln |xt| + x − t = C . Esercizio 9:: La probabilit`a di guasto di una macchina, `e p = 0.1, quindi la probabilit` a che la macchina funzioni correttamente `e q = 1−p = 0.9. L’evento in cui una macchina `e funzionante e due guaste si pu`o realizzare in tre modi distinti (identificati ad esempio da quale tra le tre macchine `e funzionante). Ognuna di queste situazioni si presenta con probabilit`a P = p2 q = (0.1)2 ∗ (0.9) = 0.009, quindi la probabilit` a totale `e P = 3 P = 0.027 . Esercizio 10:: Indichiamo con S ed M lo stato reale del soggetto (sano o malato), e con + o − il risultato del test. Il risultato positivo del test pu`o essere dovuto ad un soggetto sano in cui il test da’ il risultato errato, o ad un soggetto malato in cui il test da’ il risultato corretto: P (+) = P (S) · P (+|S) + P (M ) · P (+|M ) . Qui, come segue dal testo del problema, P (S) = q = 1 − p, P (M ) = p, e le probabilit` a condizionate per il risultato del test sono P (+|S) = e2 , P (+|M ) = 1 − e1 . Quindi risulta P (+) = (1−p) e2 + p (1−e1 ) = (1−10−5 )·10−3 + 10−5 ·(1−10−2 ) = 0.00100989 . Per calcolare la probabilit` a condizionata “inversa” P(M |+) e P(S|+) dobbiamo usare la formula di Bayes: P(S|+) = P (+|M ) · P (M ) P (+|S) · P (S) , P(M |+) = . P (+) P (+) Quindi in particolare P(M |+) = P (+|M ) · P (M ) (1 − 10−2 ) · 10−5 9.9 · 10−6 = = ' 0.0098 . P (+) 0.00100989 0.00100989 5