FONDAMENTI DI TELECOMUNICAZIONI Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e dell’Informazione Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Anno Accademico 2013/14 Prova Scritta - 6 crediti (2h) 15 Luglio 2014 Cognome ......................................... Nome ......................................... Matricola ..................................................... 1. Calcolare la Trasformata di Fourier del segnale periodico in figura. t−2 t+2 2. Dati i segnali x(t) = rect 2 + rect 2 e y(t) = e−|t| sgn(t), calcolarne il prodotto di convoluzione z(t) = x(t) ⊗ y(t). 3. Detti x(t) e y(t) il segnale in ingresso e in uscita ad un sistema, si studi la linearit`a, la tempo invarianza e la stabilit`a dei sistemi caratterizzati dalle seguenti relazioni ingresso/uscita: p • y(t) = 3 x2 (t) + x(t) • y(t) = x(t)+t x(t)−t 4. Il segnale s(t) = 8sinc(4t) viene posto all’ingresso di un sistema lineare tempo invariante avente risposta impulsiva h(t) = 8sinc2 (4t)cos(4πt). Scrivere il segnale in uscita y(t) e calcolarne l’energia. 5. Il segnale s(t) = sinc(200t) viene campionato alla minima frequenza di campionamento fc che permette di evitare l’aliasing e quindi inviato ad una linea di trasmissione numerica. Sapendo che per la memorizzazione di ogni campione vengono utilizzati 12 bit si determini il valore della velocit´a della linea che permette di trasmettere 24 ore di segnale in 10 secondi. 6. Determinare valore medio e varianza di una variabile aleatoria A avente densit`a di probabilit`a fA (a) = e−a u(a). Calcolare inoltre la probabilit`a dell’evento E = {A > 1}. 7. Dato un processo x(k, t) = (AB − C)cos(2πf0 t − 2θ) dove A, B e C sono tre variabili aleatorie indipendenti aventi densit`a di probabilit`a rispettivamente pari a fA (a) = 21 rect( a2 ), fB (b) = 13 rect( 3b ) e fC (c) = 41 rect( 4c ), mentre θ e` una variabile aleatoria indipendente uniformemente distribuita fra 0 e 4π studiarne la stazionariet`a in senso lato del processo e calcolarne l’autocorrelazione. 8. Un processo stocastico stazionario in senso lato caratterizzato da autocorrelazione Hxx (τ ) = 4sinc(τ )cos(4πτ ) viene posto in ingresso a un sistema lineare tempo invariante avente risposta impulsiva h(t) = 2sinc2 (t)+4sinc2 (t)cos(2πt). Calcolare la potenza media del processo in uscita al sistema.