Esame di Matematica per CTF (prof. Gaeta) – 30/1/2014 Trovate qui di seguito il dettaglio di come i voti sono stati determinati. Dopo le tabelle, trovate una discussione degli errori pi` u frequenti. Il voto in trentesimi `e stato ottenuto con una soglia minima di 50/100 per il passaggio del test, e con i punteggi sopra 95/100 che hanno portato alla lode. Questa conversione dei voti da centesimi a trentesimi non sar`a necessariamente usata anche nelle sessioni successive. Mi scuso in anticipo se, nel copiare tutti questi numeri nelle tabelle seguenti, sono incorso in qualche errore (e degli errori di battitura nella discussione degli errori); d’altra parte ho ritenuto opportuno che ognuno di voi sapesse in quali esercizi ha commesso errori (cosa di cui sicuramente vi siete gi`a resi conto), ed anche come questi sono stati giudicati. Chi volesse rivedere il suo compito pu`o passare nel mio ufficio il giorno gioved`ı 6 febbraio dalle 10.30 alle 12.30 (per favore, annunciate la vostra visita con una mail). In caso di difformit` a tra questi voti e quelli segnalati dal SIFA, fanno ovviamente fede quelli del SIFA; segnalatemi comunque eventuali problemi in questo senso. 1 Abou Airoldi Alborghetti Appiani Baroni Basilico Bassani Beghini Bianchi Biella Boccalari Bonan Bonatti Brambilla E Brambilla M Brocchetta Brozzola Butti Canclini Caoduro Carcano Carobbio Castelli Castiglia Catalano Chiodini Cicala Coldani Colucci Contilli Corneo Dossena Dovera Elli 6 7 8 8 7 7 5 8 7 5 8 6 8 8 8 8 6 5 7 5 8 7 8 8 8 8 6 8 8 8 8 10 9 7 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 5 10 10 10 10 10 10 10 10 9 10 10 9 9 10 8 7 8 9 9 8 10 8 9 6 10 9 9 9 10 10 9 10 10 9 10 7 10 9 9 9 10 10 10 10 10 10 9 10 10 2 9 10 10 10 10 10 2 10 10 10 9 8 10 10 10 10 10 10 9 5 10 9 10 10 9 9 7 7 9 9 5 9 5 5 7 8 9 5 8 7 8 4 9 7 8 8 8 7 5 9 9 – 9 – 8 8 8 9 2 10 10 10 10 10 4 10 10 10 10 9 5 4 6 9 10 – 2 10 10 10 10 10 9 10 8 10 10 10 2 10 10 10 10 10 10 8 9 10 2 – 9 6 7 10 4 8 – 10 10 – – 10 9 10 2 10 10 2 2 5 5 9 2 10 8 9 10 9 8 6 5 10 8 7 8 5 5 5 – 6 8 10 10 5 3 9 5 5 9 10 5 8 5 5 5 3 5 10 5 8 6 10 10 10 10 5 5 10 10 10 – 10 – 2 10 5 10 – – 10 10 10 – 10 5 5 – 10 – 5 5 10 10 4 10 9 8 5 5 8 4 10 10 5 – 10 – 7 10 10 10 – – 10 10 10 5 10 10 7 – 8 5 10 5 10 7 9 10 93 92 82 84 89 68 75 94 76 51 86 52 73 75 90 93 40 40 95 85 89 68 96 84 78 62 83 57 83 49 96 86 86 91 30 29 27 27 29 23 25 30 25 18 28 19 24 25 29 30 15 15 30 28 29 23 30L 27 26 21 27 20 27 18 30L 28 28 29 Falcone Fella Ferrari C. Ferrari P. Festa Foglia Foieni Frappietri Frigerio Ra Frigerio Ro Garavaglia Gennaro Ghislanzoni Giani Giannopulo Giovannelli Graziani Greco Guarda Guardo Ieriti Imperato Infantino Longoni 6 8 6 6 9 9 8 6 8 8 8 9 8 9 8 4 6 8 8 8 9 8 9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 9 9 7 8 10 10 10 8 9 8 10 8 8 10 9 7 10 9 8 8 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 9 9 10 10 8 10 10 10 10 10 10 10 5 9 7 6 8 9 9 8 9 8 8 9 8 8 9 8 8 7 8 7 9 9 5 9 9 10 10 9 10 10 10 10 10 4 10 10 10 10 10 2 10 10 10 10 9 10 10 10 9 10 5 10 9 10 10 10 10 – 10 9 2 10 10 2 10 10 5 10 5 10 10 10 5 8 5 5 4 4 6 10 8 9 5 7 6 10 10 4 10 5 5 9 5 5 5 10 – 10 – 10 4 10 10 10 10 8 10 10 5 10 10 5 10 5 10 10 10 10 5 10 10 9 – – 7 6 10 4 10 6 5 – 8 10 10 – 10 10 – 10 5 8 10 10 73 93 60 74 81 88 93 86 94 71 86 82 74 96 96 52 92 84 74 92 82 90 84 98 24 30 21 25 26 28 30 28 30 24 28 27 25 30L 30L 19 29 27 25 29 27 29 27 30L Qui di seguito segnalo (e discuto brevemente) gli errori pi` u comuni. Esercizio 1: Si trattava praticamente di una “interrogazione scritta”. Qui le risposte pi` u comuni sono state che f `e continua in x0 se limx→x0 f (x) = f (x0 ), tralasciando la richiesta che il punto appartenga all’interno del dominio di definizione (altrimenti il limite si ha da un solo lato); e – peggio – che i limiti destro e sinistro coincidano (anche se a lezione abbiamo considerato la funzione che vale 0 ovunque tranne che per x = 0, dove vale 1 – questa ha limite 0 per x → 0 che non coincide col valore della funzioen in quel punto). Esercizio 2: Non era necessario usare L’Hopital (nel caso si usasse, era bene dichiararlo; c’`e chi non lo ha fatto ed `e stato sanzionato per questo); inoltre numerosi studenti hanno usato una scrittura da cui risulterebbe che 0/0 = 1/2. Esercizio 3: Qui ci sono stati essenzialmente errori di algebra (che hanno portato ad un voto non superiore ad 8, a secondo della gravit`a degli errori). Inoltre molti studenti hanno lasciato i conti a met`a, nel senso di non semplificare anche espressioni che potevano essere semplificate molto facilmente (ad esempio √ raccogliere dei fattori x, o simili); anche in questo caso si sono decurtati dei punti, ma comunque con un voto non inferiore ad 8 (pi` u spesso 9). 3 Esercizio 4: A parte alcuni errori gravi nella manipolazione dell’espressione, ci sono stati in generale solo piccoli errori algebrici. Esercizio 5: Questo esercizio ha dato origine a svariati errori sorprendenti, oltre a quello generale di dimenticare l’esistenza del punto di minimo al bordo del dominio di definizione (x ≥ 0), fatto perfino dallo studente che durante lo scritto mi aveva detto di essersi accorto di questo punto. Dato che la nozione di “estremale” potrebbe aver dato adito a confusione, non si `e considerato questo errore. Molti studenti hanno calcolato il punto di flesso obliquo, con ci` o dichiarando che un tale punto `e estremale (!); questo `e stato considerato un errore, tranne che per chi ha notato esplicitamente che si trattava di un flesso obliquo (in questo caso si `e considerato che si trattasse di un contributo allo studio della funzione, peraltro non richiesto). Un altro errore ahim´e non troppo raro `e stato di affermare che il logaritmo di x `e sempre positivo (!!). Infine, alcuni studenti hanno presentato (anche in bella) un coacervo di calcoli senza una dichiarazione – neanche confusa – sulla risposta ottenuta (e quindi hanno avuto un brutto voto). Esercizio 6: Non ci sono stati particolari problemi, a parte il fatto che alcuni studenti hanno ritenuto che Z 1 + C cotg(x) dx = cos2 (x) (sarebbe bastato fare la prova per accorgersi dell’errore), e qualche altro errore ancora pi` u fantasioso, tipo cotg(x) = x. Numerosi studenti hanno dimenticato che, trattandosi di un integrale indefinito, era necessario aggiungere la costante arbitraria (in questo caso il voto `e stato 9). Esercizio 7: Anche qui ci sono stati degli errori fantasiosi, quali Z 1 cos2 (x) dx = cos3 (x) 3 o cose del genere. A parte questi, ci sono due tipologie ricorrenti di errori: da una parte, alcuni studenti hanno operato per sostituzione (solitamente t = tan x) ma hanno dimenticato di sostituire anche dx (errore piuttosto grave); altri hanno inserito la costante C nell’integrale indefinito ma non l’hanno eliminata al momento di valutare l’integrale sui limiti inferiore e superiore dell’intervallo di integrazione (in questo caso la sanzione `e stata uguale a quella comminata per aver dimenticato la C nell’esercizio precedente, anche se concettualmente l’errore `e pi` u grave). Alcuni studenti sono giunti alla fine con formule giuste, ma al momento di calcolare i valori della primitiva nei limiti di integrazione hanno considerato sin(π) = 1; la si `e considerata una svista, anche se grave (voto 8). Una studentessa ha scritto in bella il risultato dell’integrale indefinito, ma avendo scritto nella brutta il calcolo – e risultato – completo (ed avendo allertato il docente dopo la consegna), le `e stato riconosciuto credito pieno [questo spiega perch`e `e in generale conveniente consegnare anche la brutta copia]. 4 Esercizio 8: La soluzione in forma implicita era met`a dell’esercizio, e quindi per questa sono stati assegnati 5 punti. Si noti che era possibile fornire la soluzione particolare anche lavorando sulla soluzione in forma implicita, come infatti qualcuno ha fatto. Esercizio 9: A parte uno studente che per un l;apsus ha dato al soluzione di questo esercizio come “esercizio 8”, ed uno che ha calcolato la probabilit`a di non colpire mai il bersaglio ma poi ha dimenticato di calcolare, come richiesto, l’evento complementare, l’errore pi` u comune `e stato quello di calcolare la probabilit` a di colpire il bersaglio esattamente una volta anzich´e almeno una volta. E’ apparso anche un risultato in cui appariva una probabilit`a superiore ad uno! Esercizio 10: L’esercizio richiedeva di ricordare le definizioni di media, dispersione e deviazione standard, ed effettuare dei calcoli numerici. A parte alcune definizioni bizzarre di dispersione, naturalmente gli errori pi` u comuni sono stati numerici. Questi sono stati sanzionati molto lievemente (o per niente quando appare dall’ispezione dello svolgimento che si sia trattato di un errore dovuto al fare i conti a mano), tranne che nei casi in cui si aveva una risposta manifestamente impossibile: una media superiore (e di molto!) a qualsiasi dato, una deviazione standard enorme pur avendo dati abbastanza omogenei, e cose del genere. Anche se questi sono in generali dovuti ad una dimenticanza banale (ad esempio, non dividere per il numero totale di dati), non accorgersi che la media non pu` o essere circa cento volte ogni dato `e grave. In altri casi i risultati bnumericamente sbagliati sono dovuti ad aver proceduto in modo errato, e questo (quando rilevato) `e stato sanzionato pi` u pesantemente degli errori di puramente numerici. 5