Calcolo delle probabilit` a M. Isopi A.A. 2014/2015 Simulazione esonero di dicembre Nome: Matricola: Parte A: Cerchiare la risposta che si ritiene corretta. Punti 4 per ogni risposta esatta, punti 0 per domanda lasciata in bianco, punti −1 per una risposta errata. 1. Il numero di guasti di un’apparecchiatura obbedisce a una distribuzione di Poisson. Il valore atteso del numero di guasti in 10000 ore di funzionamento `e 10. Con quale probabilit`a l’apparecchiatura si guaster`a in 100 ore di funzionalmento? A non `e calcolabile con i dati forniti D 10−4 B 1 10 C 1 − e−0.01 E 1 − e−0.1 2. Dopo aver lanciato un dado a sei facce, effettuiamo un numero di lanci di una moneta non truccata pari al risultato del tiro del dado. Quale `e la probabilit` a di non ottenere mai testa? A 1− 6 6 26 B 2 6! C 16 (1 − 1 ) 26 D 1 3.5 2 6 E 2 6 3. Sia X una variabile aleatoria con distribuzione di Poisson di parametro λ. Condizionatamente a {X = k}, la variabile aleatoria Y ha distribuzione uniforme su [1, . . . , k + 1]. Quanto vale E(Y ) ? A k+1 2 B λ 2 +1 C λ+2 λ D λk k E e−λ λk! Parte B: Scrivere la risposta subito sotto la domanda. Punti 6 per ogni risposta corretta. 4. Un dado a sei facce viene lanciato 1500 volte. Usare la disuguaglianza di Chebyshev per stimare la probabilit`a di ottenere un numero di sei compreso fra 220 e 280. 5. Una moneta bilanciata viene lanciata due volte. Sia X la variabile indicatrice dell’evento { esce testa al primo lancio} e Y il numero di teste. Calcolare l’informazione mutua I(X; Y ). Parte C: Svolgere il seguente esercizio su uno dei fogli protocollo distribuiti (16 punti). 5. Andrea e Bruno organizzano il seguente giuoco. Andrea lancia una moneta equa tre volte, se viene sempre testa vince, altrimenti la mano passa a Bruno. In tal caso Bruno lancia la moneta due volte, se vengono due teste vince, altrimenti la mano ritorna ad Andrea. Andrea lancia la moneta tre volte; se viene sempre testa vince, altrimenti la mano torna a Bruno e cos`ı via. a) Calcolare la probabilit` a che Andrea vinca nella sua seconda serie di lanci. ` possibile che il b) Calcolare le probabilit` a di vittoria di Andrea e Bruno. E giuoco continui all’infinito? c) Sapendo che vince Andrea, calcolare la probabilit`a che abbia fatto le tre teste nella sua seconda serie di lanci. d) Sapendo che vince Andrea, calcolare - in media - quante serie di lanci gli sono servite.