Allegato 2
Prova scritta TFA classe di concorso Matematica A047
Compito B
Il candidato svolga per ciascun ambito un solo quesito, motivando le
risposte.
Ambito 1: Analisi Matematica
Quesito 1.
Sia
¯
¯
¯x + 1¯
¯
¯−x
f (x) = ln ¯
x ¯
a) studiare la funzione e tracciarne il grafico,
b) utilizzando il teorema dell’esistenza degli zeri dimostrare che f ha uno zero
nell’intervallo [1/2, 1],
c) scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa
x = 1.
Quesito 2. Per ciascuna delle seguenti affermazioni dimostrare con uno o pi`
u controesempi che `e falsa ed aggiungere le opportune ipotesi che la rendono vera.
a) Sia f : [a, b] → IR. Se f `e continua e derivabile in ]a, b[ allora esiste x0 ∈]a, b[
f (b) − f (a)
tale che f 0 (x0 ) =
,
b−a
b) Sia f : [a, b] → IR.R Se f `e integrabile secondo Riemann in [a, b] allora la
x
funzione integrale F (x) = a f (t)dt `e una primitiva di f .
c) Siano (an )n∈IN e (bn )n∈IN due successioni di numeri reali. Allora
+∞
X
(an + bn ) =
n=0
+∞
X
n=0
an +
+∞
X
bn .
n=0
Ambito 2: Algebra-Geometria
Quesito 1.
Nell’anello Mat3×3 (R) delle matrici 3×3 a coefficienti in R si consideri il sottoinsieme
V = {X 2 + X + 3I3 : X ∈ Mat3×3 (R)}. Stabilire se:
a) V contiene matrici nilpotenti;
b) V contiene matrici unipotenti;
c) V contiene matrici idempotenti;
d) V contiene una matrice A tale che A2 + 3A = −2I3 .
1
(N.B. una matrice quadrata A di ordine n si dice, rispettivamente, nilpotente se Ar
`e la matrice nulla per qualche intero positivo r, unipotente se A − In `e nilpotente,
idempotente se A2 = A.)
Quesito 2.
Sia (G; ·) un gruppo ciclico di ordine 21, G =< a >. Si consideri l’applicazione
f : G −→ G definita da f (g) = g 2 , ∀g ∈ G.
a) Dimostrare che f `e un’applicazione ed f `e biunivoca;
b) f `e un omomorfismo di gruppi? Perch´e?
Sia G0 = S(G) il gruppo di tutte le applicazioni biunivoche di G in s`e stesso.
c) Calcolare il periodo di f come elemento di G0 e determinare il sottogruppo H
generato da f in G0 , H =< f > ;
d) Calcolare tutti i generatori di H;
e) Determinare tutti i sottogruppi propri di H;
f) Calcolare l’indice di H in G0 , [G0 : H].
Ambito 3: Logica-Matematica Complementari
Quesito 1.
Nell’isola di Smullyan gli abitanti sono o savi o matti. I savi dicono sempre la
verit`a, i matti mentono sempre. Il saggio Re, che `e un savio, passeggia per l’isola
ed incontrando i vari abitanti riporta alcune loro dichiarazioni dalle quali si possono
fare alcune deduzioni.
Un giorno il Re passeggiando incontr`o Bahman e Perviz e chiese loro se fossero savi
o matti. Rispose solo Bahman come segue:
Bahman: siamo entrambi matti
Rispondere alla seguente domanda:
` Bahman savio o matto? e Perviz?
a) E
Continuando a passeggiare il Re incontr`o Kushran e Shirin e chiese loro se fossero
savi o matti. Rispose solo Kushran come segue:
Kushran: almeno uno tra noi due `e matto
Rispondere alla seguente domanda:
` Kushran savio o matto? e Shirin?
b) E
La mattina dopo il Re incontr`o due suoi domestici, Kal`ı e Mendez e chiese loro se
fossero savi o matti. Rispose solo Kal`ı come segue:
Kal`ı: siamo o entrambi savi o entrambi matti
Il Re pens`o che dall’informazione ricevuta si potesse dedurre solo il ruolo di uno dei
due.
Rispondere alla seguente domanda:
c) Di chi tra Kal`ı e Mendez si pu`o dedurre il ruolo? `e esso savio o matto ?
Quesito 2.
a) Enunciare i cinque postulati della geometria euclidea
b) Cosa sono le geometrie non euclidee? quale postulato della geometria euclidea
`e negato?
c) Si descriva un modello di geometria non euclidea iperbolica
2
Ambito 4: Fisica matematica-Probabilit`
a e Statistica
Quesito 1.
Sia data la seguente equazione differenziale:
³
dx
x´
= rx 1 −
dt
K
con r, K > 0.
a) Dare un’interpretazione di ciascun termine dell’equazione.
b) Trovare la soluzione esatta e studiarne il comportamento asintotico per ogni r
e K e al variare della condizione iniziale x(t = 0) = x0 ≥ 0.
1
e K = 1, determinare le condizioni iniziali affinch´e la soluzione
2
√
e
√ .
dell’equazione al tempo t = 1 sia x(1) =
1+ e
c) Posto r =
Quesito 2.
I corsi di Statistica offerti negli atenei italiani richiedono agli studenti di consultare
un numero variabile di libri di testo. Sia X la variabile casuale che rappresenta
il numero di libri di testo consigliati da un corso di Statistica scelto a caso. X
pu`o assumere soltanto i valori 0, 1, 2, 3, 4, 5 e la tabella sottostante fornisce la distribuzione di probabilit`a della variabile casuale X (a meno di una delle probabilit`a
che `e mancante):
Numero di libri richiesti x
Probabilit`a P r(X = x)
0
?
1
0.45
2
0.24
3
0.12
4
0.09
5
0.05
1. Determinare il valore della probabilit`a mancante e scrivere la distribuzione di
probabilit`a cumulata.
2. Determinare il valore atteso della variabile casuale X e determinare inoltre il
valore della probabilit`a che un corso scelto a caso richieda 2 o pi`
u libri di testo.
3. Determinare la probabilit`a che su un campione di 5 studenti di un corso di
Statistica, due abbiano consulato almeno due libri.
3
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