Dispense

Incontri olimpici 2014
Prof. Alessandro Martinelli
21 Ottobre 2014
Alcuni teoremi sui polinomi e loro applicazione
Algoritmo di divisione
Se p(x) e d(x) sono due polinomi con d(x) diverso dal polinomio nullo , allora esistono due polinomi q(x)
e r(x) tali che p(x) = q(x)d(x) + r(x), tali che deg(r) < deg(d) quando deg(d) ≥ 1, altrimenti r(x) ≡ 0.
Teorema del resto
Se d(x) = x − a, allora r(x) = r = p(a).
Teorema di Ruffini
Sia p(x) un polinomio a coefficienti (reali o complessi) e a ∈ R (oppure C). Allora a `e una radice del
polinomi se e solo se (x − a) divide p(x).
Teorema fondamentale dell’algebra
Pn
Sia p(x) = i=0 ai xi un polinomio di grado n a coefficienti complessi : allora ha n radici complesse (non
necessariamente distinte). Tale polinomio p(x) pu`o essere fattorizzato univocamente nella forma:
p(x) = an (x − x1 )(x2 ) · · · (x − xn )
Formula di Vi`
ete
Pn
Sia p(x) = i=0 ai xi di grado n a coefficienti complessi
P e con radici r1 , r2 , · · · , rn . Sia σk la k-esima
somma simmetrica delle radici, definita da σk = 1<i1 <i2 <···ik <n ri1 · ri2 · · · rik . Allora
σk = (−1)k
an−k
.
an
Il polinomio interpolante di Lagrange
Dati n punti (x1 ; y1 ), · · · , (xn ; yn ) ∈ R2 , con gli xi tutti distinti tra loro, esiste p(x) che soddisfa la
propriet`
a p(xi ) = yi . La sua espressione esplicita `e data da:
p(x) =
n
X
i=1
yi ·
Y
1≤j≤n,j6=i
x − xj
.
xi − xj
Teorema delle radici razionali
Ogni radice razionale
b|an .
a
b,
con a e b primi tra loro, di un polinomio p(x) ∈ Z[x] di grado n `e tale che a|a0 ,
Teorema delle radici intere
Sia p(x) ∈ Z[x] monico e sia q ∈ Q una sua radice. Allora q ∈ Z.
Teorema degli zeri
Sia p(x) ∈ R[x] e siano a, b ∈ R tali che p(a)p(b) < 0: allora esiste c ∈ (a, b) tale che p(c) = 0.
Radici irrazionali coniugate
√
√
Tutte le radici √
irrazionali del tipo a + b c sono accoppiate, ossia se a + b c `e radice di p(x) ∈ Q[x], allora
lo `e pure a − b c. Questo `e vero anche per c = −1, ossia a + bi e a − bi (radici complesse coniugate).
Teorema delle radici di polinomi in R[x]
Se p(x) ∈ R[x] e deg(p) `e dispari, allora ammette almeno una radice reale.
Fattorizzazione in R[x]
Sia p(x) ∈ R[x]: allora esso pu`
o essere scritto come un prodotto di fattori lineari e di fattori quadratici
irriducibili.
Teorema della singola limitazione
Pn−1
Consideriamo il polinomio monico p(x) = xn + i=0 ai xi ∈ R[x]. Siano M1 = 1+max{|a0 |, |a1 |, . . . , |an−1 |}
e M2 = max{1, |a0 | + |a1 | + . . . |an−1 |}. Sia M = min{M1 , M2 }. Allora le radici reali del polinomio sono
comprese tra −M e M .
Regola dei segni di Cartesio
Se p(x) ∈ R[x], il numero di cambi di segno in p(x) `e uguale al massimo numero delle radici positive.
Il numero di cambi di segno di p(−x) `e uguale al massimo numero di radici negative. In particolare, il
numero effettivo di radici differisce dal massimo per un multiplo di 2.
Strumenti vari per determinare un polinomio o le sue radici
• Per dimostrare che un polinomio `e il polinomio nullo, `e talvolta utile guardare a una radice x1 e a
partire da essa per costruire una successione {xn }n∈N di radici
• Controllare i coefficienti: questo pu`
o essere uno strumento particolarmente utile se lavoriamo in Z[x].
In particolare, controllare il coefficiente direttore e il termine noto.
• compiere manipolazioni algebriche intelligenti, quali sostituzioni, fattorizzazioni, espansioni, definizione di nuovi polinomi, ecc . . .
Identit`
a di Newton
Pn
Sia sk = i=1 rik , dove ri sono le radici del polinomio p(x). Ricordando che ai `e il coefficiente del monomio
xi . Le identit`
a di Newton sono le seguenti:
an s1 + an−1 = 0
an s2 + an−1 s1 + 2an−2 = 0
e in generale
an sd + an−1 sd−1 + an−2 sd−2 + · · · + an−d+1 s1 + dan−d = 0
Problema n◦ 1 (Toronto Math Competition 2010)
Sia f (x) un polinomio di grado 2: provare che esistono due polinomi quadratici g(x) e h(x) tali che
f (x)f (x + 1) = g(h(x)).
Problema n◦ 2 (American Regions Math League 1989)
Se p(x) `e un polinomio in x, e x23 + 23x17 − 18x16 − 24x15 + 108x14 = (x4 − 3x2 − 2x + 9) · p(x), calcolare
la somma dei coefficienti di p(x).
Problema n◦ 3 (American Invitational Mathematics Examinations 2001)
2001
= 0, sapendo che non
Trovare la somma delle radici, reali e non reali, of the equation x2001 + 21 − x
ci sono radici multiple.
Problema n◦ 4
Siano a, b e c tre interi distinti. Sia f (x) = (x − a)(x − b)(x − c) − 1: tale polinomio pu`o essere fattorizzato
come prodotto di due polinomi a coefficienti interi?
Problema n◦ 5
Mostrare che le radici del polinomio x4 − 14x3 + 64x2 − 114x + 63 = 0 appartengono all’intervallo (0, 14).
Problema n◦ 6
Determinare tutti i polinomi p(x) tali che p(0) = 0 e p(x2 + 1) = p(x)2 + 1
Problema n◦ 7
Alice e Bob hanno ciascuno un polinomio di terzo grado monico, chiamati rispettivamente a(x) e b(x).
Ognuno di loro determina le radici del proprio polinomio e alla fine Alice afferma che le radici del proprio
polinomio sono la met`
a di quelle del polinomio di Bob. Se a(x) = x3 + 3x2 + 3x + 7, determinare b(x).
Problema n◦ 8 (PUTNAM, 1939)
Le radici del polinomio x3 + ax2 + bx + c = 0 sono α, β e γ. Determinare il polinomio di terzo grado che
ha come radici α3 , β 3 e γ 3 .

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