Problema pag. 223 n. 305 – Matematica.verde – Zanichelli – Vol III Le rette r e s, rispettivamente di equazioni y = 2x + 3 e y = 2x – 1, staccano sulla retta t di equazione 2x – 3y +9 = 0 un segmento AB. Calcola la misura di AB. Conviene trasformare l’equazione della retta t: 2x – 3y + 9 = 0 in forma esplicita, ricaviamo, quindi la variabile y: t: 2x – 3y + 9 = 0 → - 3y = - 2x – 9 → 3y = 2x + 9 → y = 2/3 x + 3. Osserviamo poi che le rette s ed r, avendo lo stesso coefficiente angolare kr= ks = 2, sono parallele. Per avere chiara la loro disposizione nel piano facciamo il loro disegno. Disegniamo la retta r: y = 2x + 3 assegnando alla variabile x due valori a nostra convenienza e calcolando i corrispondenti valori della variabile y. Alla stessa maniera disegniamo la retta s: y = 2x - 1 e la retta t: y = 2/3 x + 3 Riportando questi punti nel piano cartesiano otteniamo questa situazione Dobbiamo calcolare la lunghezza del segmento AB; abbiamo bisogno allora delle coordinate di A e di B. Il punto A è il punto di intersezione delle rette r e t, quindi le sue coordinate sono date dalla soluzione del sistema formato dalle equazioni di queste due rette: 𝑦 = 2𝑥 + 3 𝑦 = 2𝑥 + 3 𝑦 = 2𝑥 + 3 𝑦 = 2𝑥 + 3 𝑟 𝑦=3 2 2 2 4 𝐴 ≡ → → → → → → 𝐴 (0; 3) 𝑡 𝑥=0 𝑦= 𝑥+3 2𝑥 + 3 = 𝑥 + 3 2𝑥 − 𝑥 = 0 𝑥= 3 3 3 3 Il punto B è il punto di intersezione delle rette s e t, quindi le sue coordinate sono date dalla soluzione del sistema formato dalle equazioni di queste due rette: 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑠 𝑦=5 2 2 2 4 𝐵 ≡ → → → → → → 𝐵 (3; 5) 𝑡 𝑥=3 𝑦= 𝑥+3 2𝑥 − 1 = 𝑥 + 3 2𝑥 − 𝑥 = 1 + 3 𝑥= 4 3 3 3 3 (Ricordiamo di confrontare SEMPRE i risultati ottenuti analiticamente con quelli grafici!) La lunghezza del segmento AB è data da: 𝐴𝐵 = 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 2 + 𝑦𝐴 − 𝑦𝐵 2 = 0− 3 2 + 3− 5 2 = 9 + 4 = 13