Corso di Geometria Prof. F.Podest`a Foglio 6 1] Date le due rette r

Corso di Geometria
Prof. F.Podest`a
Foglio 6
1] Date le due rette r = {x + y = z; z + x = 2y + 7} e s = {z − 3x = 4; y − ax = a + 1},
dire per quali valori di a ∈ R le due rette sono parallele e per quali ortogonali. Possono essere
perpendicolari ? [Risp.: a = 2, a = −5 rispettivamente; no]
2] Data la retta r = {x = y; 2y − z = 4} e il punto P = (1, 0, 2), trovare il piano passante per P e
perpendicolare a r e trovare poi il piede H della perpendicolare da P a r. [Risp.: {x + y + 2z = 5},
H = (13/6, 13/6, 1/3). ]
3] Data la retta r = {z = y; x + y + z = 1} trovare il piano che contiene r e che passa per (1, 0, 1).
[Risp.: {x + 2y = 1}.]
4] Data la retta r dell’es. (3), trovare , se possibile, un piano π che contenga r e sia ortogonale
alla retta {x + y = 51; −3x + z = 18}. [Risp.: {x − y + 3z = 1}.]
5] Dato il piano π = {x + 2y − 3z = 10} e il punto P = (1, −1, 1), trovare il piede H della
perpendicolare abbassata da P al piano π. Trovare quindi il punto Po simmetrico di P rispetto al
piano π. [Risp.: H = (2, 1, −2) e Po = (3, 3, −5).]
6] Data la retta r in forma parametrica r = {x = 1 − t; y = 2 − t; z = −1 + 2t; t ∈ R} e il
punto P = (1, 1, k), determinare l’equazione del piano π passante per P e contenente r; trovare
poi i valori del parametro k ∈ R in modo che π sia perpendicolare al piano {x + 2y − 4z = 18}.
[Risp.:(1 − k)x + (k + 1)y + z = k + 2; k = 1.]
7] Date le due rette r = {x − y = 1; z − x = 1} e s = {x + y = 2; y + z = 0} trovare gli eventuali
punti P ∈ r e Q ∈ s tali che la retta che congiunge P con Q sia contemporaneamente ortogonale
alla retta {x = z = 0} e parallela al piano {4x + 3y − z = 4}. [Risp.: P = (2, 1, 3); Q = (1, 1, −1).]
8] Si trovi la retta passante per il punto (2, 1, −1), ortogonale alla retta {x−y+2z = 1; 2x+y−z =
0} e anche incidente la retta {x = z + 1; y = −z + 1}. [Suggerimento: su quale piano deve stare la
retta cercata ? Risp.: {x − 5y − 3z = 0; x + 2y + z = 3} ed ha come vettore direttore (1, −4, 7).]
9] Una volta verificato che le due rette {x = z; y − 2z = 1} , {y − z = 1; x + y = 0} sono sghembe,
la retta ortogonale ad entrambe e passante per (1, 0, 1) soddisfa a (una sola risposta e` corretta):
(A) passa per (1, 1, 5);
(B) giace nel piano {x = 3y + z};
(C) incide la retta {z = 4, x + y = 0}.
[Risp.: (C)].
1

Download Report