3^A - Matematica e fisica

3^A - MATEMATICA
compito n°2 - 2014-2015
1. Il triangolo ABC ha come lati le rette r : y= x2 , s : x4=0 , t : x−3 y22=0 .
Disegna le rette r, s, t e determina:
a. le coordinate dei vertici A=r∩s , B=s∩t , C =t∩r ;
b. l'area del triangolo;
c. le coordinate del baricentro G del triangolo;
d. l'equazione della mediana BM, verificando che il baricentro le appartenga;
e. le coordinate dell'ortocentro K e del circocentro J del triangolo.
f. Verifica che i punti G, K, J appartengono ad una stessa retta, detta retta di Eulero (quello dei
diagrammi, e di mille altre cose), e trova l'equazione di tale retta;
g. Determina l'equazione della circonferenza circoscritta al triangolo, verificando che il vertice A
appartenga a tale circonferenza.
h. Determina le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette r ed s, e individua tra di
esse la bisettrice dell'angolo interno del triangolo.
i. Verifica che tali bisettrici sono perpendicolari, e dimostra con metodo sintetico che tale
proprietà è vera in generale per le bisettrici di due angoli adiacenti.
j. Per ciascun vertice del triangolo ABC, conduci la retta parallela al lato opposto.
Determina (senza svolgere calcoli) l'area del triangolo DEF così ottenuto.
2. Dati i punti A3 ,−1 , B 5 ,−1 e la retta r : y=x−1 , determina l'equazione cartesiana
del luogo geometrico L dei baricentri dei triangoli ABC, al variare del punto C su r.
Disegna il grafico del luogo ottenuto. Cosa osservi?
Spiega come sia possibile giungere alle stesse conclusioni con considerazioni sintetiche.
3^A - Correzione compito n°2
s
K
1.
a.
{
⇒ B −4 , 6 ;
{x=−4
y= x22/3=6
x22
y=x2
⇒ x2=
⇒
{y= x22/3
3
H
C
y=x2=−2 ⇒ A−4 ,−2
;
x=−4
B
t
G
M
J
3 x6= x22 ⇒ x=8 ⇒ C 8 , 10 .
b.
Area ABC = AB⋅CH / 2=
r
 y B − y A  x C − x H / 2=8⋅12/ 2=48 .
c.
xG=
A
x A x B  x C
y y y
14
14
=0 ; y G = A B C =
⇒ G 0 ,  .
3
3
3
3
d. Punto medio di AB: M 2 , 4 . Equazione della mediana (passaggio per B e per M):
mq=6 ⇒ 6 m=−2 ⇒ m=− 1 ⇒ − 2 q=4 ⇒ q= 14 ⇒
{−4
3
3
3
2 mq=4
Sostituiamo le coordinate di G nell'equazione di BM:
1
14
y=− x
.
3
3
14
1
14
=− ⋅0
vera ! ⇒ G ∈BM .
3
3
3
e. L'equazione dell'altezza relativa ad AB è immediata: y=10 .
Dal testo del problema, vediamo che la retta AC ha coefficiente angolare m AC =1 , quindi l'altezza
ad essa relativa ha maltezza =−1 . Imponiamo il passaggio per il vertice B:
−1⋅−4q=6 ⇒ q=2 ⇒ y=−x2 (equazione altezza relativa ad AC).
Con procedimento analogo, l'altezza relativa a BC ha equazione: y=−3 x−14 .
L'equazione dell'asse del segmento AB è immediata: y=2 .
Anche per l'asse di AC abbiamo: masse =−1 . Imponiamo il passaggio per il punto medio M:
−1⋅2q=4 ⇒ q=6 ⇒ y=−x6 (equazione asse del segmento AC).
Con procedimento analogo, l'asse del segmento BC ha equazione: y=−3 x14 .
y=2
⇒ K −8 ,10 ;
⇒ J 4 , 2 .
{y=10
{
y=−x2
y=−x6
f. Imponiamo il passaggio per i punti K e J:
mq=10 ⇒ 12 m=−8 ⇒ m=− 2 ⇒ − 8 q=2 ⇒ q= 14 ⇒
{−8
3
3
3
4 mq=2
Sostituiamo le coordinate di G nell'equazione di JK:
2
14
y=− x
.
3
3
14
2
14
=− ⋅0
⇒ G ∈ JK .
3
3
3
g. La circonferenza circoscritta al triangolo è il luogo dei punti equidistanti dai vertici, ovvero il luogo
dei punti P  x , y  aventi dal circocentro J distanza uguale al raggio JA=JB= JC =4  5 :
PJ =r ⇒
 x−42 y−22=4  5
⇒ x 2 y 2−8 x−4 y−60=0 .
Sostituiamo le coordinate di A nell'equazione della circonferenza:
164328−60=0 vera ! ⇒ A∈circ .
h. Determiniamo le bisettrici come luogo dei punti equidistanti dalle due rette:
∣x− y2∣
=∣x4∣ ⇒ x− y2=± 2 x4 ⇒
2
{
b1 : y=1−  2 x2−4  2
.
b 2 : y=1  2 x24  2
La bisettrice dell'angolo interno è b2, in quanto ha coefficiente angolare positivo.
i.
m1⋅m2=1−  21  2=−1 ⇒ b1 ⊥b 2 .
s
b2
Dimostrazione sintetica: due rette r ed s si intersecano formando angoli
b1
adiacenti di ampiezze a e 180 °− . Le bisettrici formano con r ed s
r
angoli di ampiezze  /2 e 90 °−/ 2 .
L'angolo tra le bisettrici è quindi: / 290 °−/2=90 ° c.v.d.
D
j. I quadrilateri ABCE, ABDC, AFBC sono parallelogrammi per
definizione, avendo i lati opposti paralleli. Quindi il triangolo DEF è
C
formato da quattro triangoli congruenti al triangolo ABC, e la sua area
B
misura: Area DEF =4 Area ABC =192 .
E
In alternativa, possiamo osservare che i triangoli ABC e DEF sono
simili (per uno qualunque dei tre criteri), con rapporto di similitudine
A
F
k =2 , e quindi il rapporto delle loro aree è k 2=4 .
2. Poiché il vertice C deve appartenere alla retta r, le sue
coordinate saranno: C t , t−1 .
C'
Quindi il baricentro G avrà coordinate:
xG=
8t
t−3
, yG=
3
3
C
che sono le equazioni parametriche del luogo L. Per ottenere
G'
l'equazione cartesiana, ricaviamo il parametro da un'equazione:
t=3 x−8 ,
e
lo
sostituiamo
nell'altra: y= x−11/3 .
G
r
Osserviamo che il luogo L è una retta parallela ad r.
L
A
M
B
Per via sintetica, avremmo potuto osservare che, detto M il punto medio del segmento AB, il
baricentro G divide il segmento CM in due parti tali che CG=2 GM .
Anche considerando una diversa posizione C' su r, avremo C ' G ' =2 G ' M .
Per una conseguenza del teorema di Talete (o, se preferisci, per il secondo criterio di similitudine) “una
retta che determina su due lati di un triangolo segmenti proporzionali, è parallela al terzo lato” c.v.d.

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