Concorrenza di prezzo con prodotti di¤erenziati nel modello di di Hotelling. Esercizio Massimo A. De Francesco Dipartimento di economia politica e statistica novembre 2014 1. Gli abitanti di un villaggio (consumatori) sono distribuiti in modo uniforme lungo una strada di lunghezza pari a 1. La domanda complessiva di un certo bene è …ssa (indipendente cioè dai prezzi) e la poniamo uguale a 1. Il bene è o¤erto da due diverse imprese A e B, situate rispettivamente all’inizio ed alla …ne della strada. Siano pA e pB i prezzi praticati dalle imprese A e B, rispettivamente. Per ciascun consumatore il costo di trasporto è pari a 4 per unità percorsa. Ciascuna delle due imprese può produrre qualunque quantità qi al costo c(qi ) = qi . Si suppone che le imprese stabiliscano i rispettivi prezzi in modo simultaneo e indipendente. (a) Per ogni combinazione di prezzi, si determini la quantità domandata per l’impresa A e la quantità domandata per l’impresa B. (b) Si determini la funzione di risposta ottima per l’impresa A e si determini la funzione di risposta ottima per l’impresa B. (c) Si determini l’equilibrio di Nash del gioco di …ssazione dei prezzi. RISPOSTA (a) E’ utile ra¢ gurare il problema mediante un segmento di retta, che rappresenta la strada lungo la quale sono uniformemente disposti i consumatori del villaggio. Per determinare la domanda per l’impresa A occorre determinare la distanza da A del consumatore che risulta indi¤erente tra le due imprese (il consumatore "marginale", la cui distanza da A indichiamo con xm ). Ovviamente, per il consumatore marginale acquistare il bene 1 dall’impresa A ha lo stesso costo che acquistarlo dall’impresa B, vale a dire, deve risultare: pA +4xm = pB +4(1 xm ) da cui si ricava xm = pB 8 pA + 12 . Data l’ipotesi di distribuzione uniforme dei consumatori lungo la strada, risulta pB pA DA (pA ; pB ) = pB 8 pA + 21 e DB (pA ; pB ) = 1 + 21 = pA 8 pB + 21 . 8 (Questo ovviamente, …ntantoché ciascuna delle espressioni al secondo membro risulta compresa nell’intervallo [0; 1].) 1 (b) Il pro…tto dell’impresa A è dato dall’espressione A (pA ; pB )=pA qA qA =pA DA (pA ; pB ) DA (pA ; pB )=DA (pA ; pB )(pA 1)= pB 8 pA + 12 (pA 1). Nel decidere pA , l’impresa A ha una certa aspettativa sul prezzo che verrà simultaneamente stabilito dall’impresa B (pE B ) per cui l’impresa A massimizza E p p A E B + 12 (pA 1). Per trovare la funzione di risposta ottima A (pA ; pB )= 8 di A poniamo @ A =@pA = 0, dal che si ottiene: E pA (pE B ) = 2; 5 + 0; 5pB : Analogamente, il pro…tto dell’impresa B è B (pA ; pB )=pB DB (pA ; pB ) DB (pA ; pB )=DB (pA ; pB )(pB 1)= pA 8 pB + 12 (pB 1). Nel decidere pB , l’impresa B ha una certa aspettativa sul prezzo che verrà simultaneamente stabilito dall’impresa A (pE A ) per pE p B 1 E cui B massizza B (pA ; pB )= A 8 + 2 (pB 1). Imponendo @ B =@pB = 0 si ottiene la funzione di risposta ottima dell’impresa B: E pB (pE A ) = 2; 5 + 0; 5pA : (c) Per determinare l’equilibrio di Nash dobbiamo imporre la condizione che E le aspettative risultino corrette (pB = pE B e pA = pA ) e risolvere il sistema delle funzioni di risposta ottima: pA = 2; 5 + 0; 5pB pB = 2; 5 + 0; 5pA : N La soluzione del sistema è (pN A ; pB = (5; 5): 1 Inoltre, nei nostri esercizi diamo per scontato che il surplus lordo che ciascun consumatore riceve dall’acquisto del bene sia su¢ cientemente alto da far sì che egli trovi conveniente acquistare il bene da una delle due imprese piuttosto che non acquistarlo a¤atto. 2