Decisioni di consumo: Applicazioni Docente: Matteo Alvisi Corso di Microeconomia (A-E) Laurea in Scienze Politiche, Sociali e Internazionali Marzo 2014 1 La scelta ottimale del consumatore 1.1 La soluzione analitica Il problema del consumatore è quello di scegliere il paniere migliore tra quelli ammissibili. Essendo x ed y gli unici beni disponibili per l’acquisto, I il reddito a disposizione del consumatore, px e py i prezzi dei due beni, il problema del consumatore è il seguente M axx;y u (x; y) s:v: px x + py y = R ; ovvero scegliere la combinazione dei due beni che massimizza l’utilità sotto il vincolo che il paniere ottimale deve appartenere al vincolo di bilancio. Gra…camente si tratta di trovare quel paniere che giace sul vincolo di bilancio ed è tangente alla curva di indi¤erenza più alta raggiungibile. Formalmente si tratta di trovare quel paniere che risolve il sistema di due equazioni 8 < SM S = px x;y py ; : p x+p y =R x y dove la prima equazione stabilisce che la pendenza della curva di indi¤erenza debba essere la stessa della pendenza del vincolo di bilancio (condizione di tangenza) e la seconda richiede che il paniere ottimo giaccia sul vincolo di bilancio. Visto che le quantità ottimali dei due beni scelte dal consumatore dipendono dai parametri del problema, la soluzione si denota con x (px ; py ; R) e con y (px ; py ; R). Queste ultime sono chiamate funzioni di domanda individuale del bene x ed y rispettivamente: 1.2 Applicazioni 1.2.1 I beni sostituti perfetti I beni sostitutivi perfetti sono tali che al consumatore importa soltanto la quantità totale consumata dei due beni. (Esempio: penne nere e blu). La funzione di utilità che rappresenta le preferenze del consumatore in questo caso è del tipo u (x; y) = ax + y dove ; sono costanti positive. Le curve di indi¤erenza associate a queste preferenze sono delle linee rette con pendenza (SMS) costante e pari a : Quindi il consumatore è sempre disposto a rinunciare ad una quantità pari ad di bene y in cambio di una unità addizionale di bene x per mantenere invariata la propria soddisfazione. Si noti che queste preferenze non soddisfano la proprietà di convessità in senso stretto.La scelta ottima del 1 consumatore dipende da come il SMS si rapporta alla pendenza del vincolo di bilancio. In particolare, il paniere ottimo sarà dato da (x ; y ) = 1.2.2 8 > > > < R px ; 0 0; pRy > > > : qualsiasi paniere sul vincolo se SM Sx;y > px py se SM Sx;y < px py se SM Sx;y = px py I beni complementari perfetti I beni complementari perfetti sono tali che al consumatore importa soltanto consumarli in proporzioni …sse. (Esempio: scarpa destra e sinistra). La funzione di utilità che rappresenta le preferenze del consumatore in questo caso è del tipo u (x; y) = min f x; yg dove ; sono costanti positive. Quindi, l’utilità viene determinata soltanto dal bene scarso e non viene in‡uenzata dal bene che si possiede in eccedenza. La proporzione desiderata tra i due beni si trova eguagliando x = y e risolvendo poi rispetto ad y; ovvero y = x: Quest’ultima è l’equazione di una retta positivamente inclinata, passante per l’origine, che dice che per ogni unità del bene x il consumatore acquista unità del bene y per mantenere la proporzione desiderata tra i due beni. Le curve di indi¤erenza associate a queste preferenze sono a forma di L e presentano una cuspide (angolo) sul raggio di equazione y = x: Nel tratto verticale il SMS è pari a 1 (perché il consumatore mantiene invariata la propria soddisfazione soltanto se rinuncia ad una unità del bene scarso x in cambio di una quantità addizionale in…nita del bene eccedente y); è pari a 0 nel tratto orizzontale (perché il consumatore mantiene invariata la propria soddisfazione anche se rinuncia ad una unità del bene eccedente x senza ricevere nessuna quanità addizionaledel bene scarso y); in…ne il SMS non è calcolabile nel punto in cui le curve di indi¤erenza presentano un angolo.1 Si noti che queste preferenze non soddisfano la proprietà della convessità e nemmeno della monotonicità in senso stretto (le curve di indi¤erenza non sono strettamente convesse e neppure negativamente inclinate in ogni punto). Visto che, acquistando un bene in eccedenza ripetto alla proporzione desiderata, l’utilità del consumatore non cambia ma aumenta la sua spesa, la scelta ottima si troverà sempre nel punto di intersezione tra il raggio di equazione y = x e il vincolo di bilancio. Quindi il paniere ottimale risolve il sistema di 1 Formalmente, SM Sx;y = 8 > > > < 1 0 > > > : non calcolabile 2 se y > x se y < x : se y = x due equazioni 8 < y= x : p x+p y =R x y ; e le funzioni di domanda dei due beni sono pari a x (px ; py ; R) = 1.2.3 R px + py e y (px ; py ; R) = R px + py : La funzione di utilità Cobb-Douglas La funzione di utilità Cobb-Douglas è del tipo u (x; y) = x y dove ; sono costanti positive. Le curve di indi¤erenza associate a questa funzione di utilità sono delle iperboli equilatere che soddisfano tutte le proprietà ipotizzate dalla teoria economica. Il SMS è sempre pari a ottimale del consumatore di trova risolvendo il sistema 8 px y < x = py ; : p x+p y =R x Quindi la scelta y da cui risulta che le funzioni di domanda dei due beni sono pari a x (px ; py ; R) = + y x: + R px e y (px ; py ; R) = R py : Nella funzione di utilità Cobb-Douglas, la scelta del paniere migliore è tale che il consumatore destina una quota …ssa del proprio reddito R alla spesa per ciascun bene, indipendentemente dal livello dei prezzi. Gli esponenti e dunque hanno un signi…cato economico ben preciso: reddito che il consumatore spende per acquistare il bene x mentre il consumatore spende nel bene y: 2 Si noti che se gli esponenti e + + rappresenta la frazione del indica la frazione del reddito che 2 sommano ad 1, allora diventa la quota di reddito spesa per x e spesa per y: 3 la quota di reddito
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