1. Siano A e B

Corso di Laurea in Ingegneria dell’Energia - Algebra lineare 2014
Foglio di esercizi n.ro 2 del 14/10/2014, (0)
Si motivino le risposte in maniera esauriente.
1. Siano A e B due insiemi. Date le seguenti assegnazioni, dire quali di esse sono funzioni da
A a B. In tal caso individuare quelle iniettive, surgettive e bigettive. Calcolare, ove possibile,
l’immagine di A e la controimmagine di un generico elemento di B.
A = B = N, n 7→ n − 1;
A = B = Z, n 7→ (n − 2)(n + 3);
A = Z × Z, B = Z, (n, m) 7→ min(n, m);
A = Z, B = N, n 7→ |n|;
A = N \ {0}, B = Z, n 7→ min(−3, n);
A = R, B = Z, n 7→ ⌊n⌋, ove ⌊n⌋ rappresenta la parte intera di n;
2n + 2 se n `e pari
A = Z, B = 2Z, n 7→
−4n
se n `e dispari.
2. Siano f : Z × Z−→Z, g : Z−→Z × Z definite da f (n, m) = 4n − 2m, g(n) = (n, 2n). Dire
se f e g sono iniettive, surgettive, bigettive. Le funzioni composte f ◦ g e g ◦ f sono entrambe
definite? In caso affermativo determinarle; studiarne infine iniettivit`a e surgettivit`a.
3.a) Trovare, se possibile, due funzioni f e g tali che siano definite g ◦ f , f ◦ g con g ◦ f 6= f ◦ g.
b) Trovare, se possibile, due funzioni f e g tali che siano definite g ◦ f , f ◦ g con g ◦ f = f ◦ g.
` vero che g `e surgettiva?
c) Siano f, g due funzioni tali che g ◦ f `e una funzione surgettiva. E
` vero che f `e surgettiva?
d) Siano f, g come in c). E
` vero che g `e iniettiva?
e) Siano f, g due funzioni tali che g ◦ f `e una funzione iniettiva. E
` vero che f `e iniettiva?
f ) Siano f, g come in e). E
1 1
4. Sia M = {A, B, C, D, E, F, G, H, K, J, I}, ove A =
,
1 0
 
1
1
0 2


C=
, D = 2 1 −2 , E = 1 , F =
1
−2 1
1

√ −2 1
1 −1 0
−1 − 3
H=
, K=
, J = 2 1
−1 1 1
1
1 1
B=
2
2
,
−1 −1
√ 1
, G= 2 2+ 3 ,
0



−1
0 1
1  , I = 1 1  .
0 −1
0
a) Per ogni coppia di elementi M1 , M2 ∈ M, calcolare M1 + M2 , M1 M2 e M2 M1 , ove possibile;
Per quali di queste il prodotto `e commutativo?
1
b) Calcolare 3K, − J, 2A − 3B, A − B + 4C, −2A − B − 2C, 3A − 2(2A − C).
2
c) Risolvere le equazioni −X+2(A+B)−3(X+2C)−B = 0 e 3A+3(2C−2X)+A+B+C−4X = 0
` possibile risolvere l’equazione AX = B? E l’equazione BX = C?
d) E


−1 2
0
5. Sia A =  0 −1 −3. Calcolare, se possibile, A2 , A3 , A4 , A − I, (A − I)2 , (A − I)3 , ove
0
0
5
I indica la matrice identica 3 × 3.
6.a) Sia A una matrice m × n. Per quali valori di m e n `e possibile calcolare A2 ?
b) Siano A, B matrici m × n. Per quali valori di m e n `e possibile calcolare (A + B)(A − B)?
` vero che (A + B)(A − B) = A2 − B 2 ?
c) E
` vero che (A2 + AB + B 2 )(A − B) = A3 − B 3 ?
d) E
` vero che il prodotto di matrici diagonali della stessa taglia `e ancora una matrice diagonale?
7.a) E
` vero che l’insieme delle matrici diagonali di taglia n con l’usuale prodotto righe per colonne
b) E
`e un gruppo abeliano?
8. Sia K un campo. Determinare tutte le matrici A ∈ M2 (K) tali che, per ogni B ∈ M2 (K), A
e B commutano.
9. Sia K un campo. Una matrice quadrata A ∈ Mn (K) si dice invertibile se possiede un
elemento inverso rispetto al prodotto righe per colonne, e questo elemento si denota con A−1 .
a) Provare che, se A2 − 3A + 2I = 0, allora A `e invertibile e determinare A−1 .
` vero che, per ogni α, β, γ, δ ∈ K, (αA + βI)(γA + δI) = (γA + δI)(αA + βI)?
b) E
c) Provare che, se A2 = 4A − I, `e possibile determinare, per ogni n ∈ N, elementi αn , βn ∈ K
tali che An = αn A + βn I. Fornire una formula ricorsiva per il calcolo di tali coefficienti.
10. Trovare, se possibile, matrici A, B ∈ Mn (R) tali che AB = I e BA 6= I. Cosa succede
quando n = 2?
11. Provare o confutare le seguenti affermazioni. Siano A e B due matrici:
(i) se AB = 0 allora A = 0 oppure B = 0; (ii) se AB = A allora B = I;
(iii) se A2 = A allora A = I oppure A = 0; (iv) se A 6= 0 allora A `e invertibile;
(v) se A e B sono invertibili allora A + B `e invertibile;
(vi) se A e B sono invertibili allora AB `e invertibile;
(vii) se AB = 0 e A 6= 0 allora B = 0; (viii) se AB = 0 e A `e invertibile allora B = 0.
12.a) Divisione euclidea in Z: Per ogni n, m ∈ Z con m > 0, esistono unici q, r ∈ Z tali che
n = qm + r e 0 ≤ r < m. Tali q ed r si dicono rispettivamente il quoziente e il resto della
divisione di n per m.
b) Calcolare il quoziente e il resto della divisione delle seguenti coppie di numeri: 17 e 8; −17 e
8; 8 e 17, −8 e 17.
13.a) Divisione euclidea in K[X] (K campo): Per ogni f (X), g(X) ∈ K[X] con g(X) 6= 0,
esistono unici q(X), r(X) ∈ K[X] tali che
f (X) = q(X)g(X) + r(X) e r(X) = 0 oppure 0 ≤ deg r(X) < deg g(X).
Tali q(X) ed r(X) si dicono rispettivamente il quoziente e il resto della divisione di f (X) per
g(X).
b) Calcolare il quoziente e il resto della divisione delle seguenti coppie di polinomi: f (X) =
X 3 − 3X 2 + 3X + 8 e g(X) = X − 1; g(X) e f (X); h(X) = X 5 + 3X 2 + 3 e k(X) = X 2 − X + 1;
k(X) e h(X).
Avete motivato le risposte in maniera esauriente?

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