Programma

` DI CATANIA
UNIVERSITA
Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A-O
Programma di Algebra Lineare e Geometria
ANNO ACCADEMICO 2013-2014
Docente: Prof. Francesco Russo
Algebra lineare
I) – Generalit`
a sugli insiemi. Relazioni di equivalenza. Applicazioni tra insiemi, immagine e controimmagine, iniettivit`
a, suriettivit`
a, applicazioni biiettive. Applicazioni invertibili. Insiemi finiti e infiniti.
Strutture algebriche: gruppi, anelli, corpi, campi. Anello degli interi relativi. Anello dei polinomi a
coefficienti in un campo. Zeri di un polinomio. Molteplicit`a delle radici di un’ equazione. Campo dei
numeri complessi. Forma algebrica e forma trigonometrica. Formula di de Moivre. Radici n-esime
dei numeri complessi. Teorema fondamentale dell’algebra*. I vettori dello spazio ordinario. Somma di
vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto.
Componenti dei vettori ed operazioni mediante componenti.
II) – Matrici ad elementi in un campo. Somma tra matrici. Gruppo abeliano delle matrici. Prodotto
di uno scalare per una matrice. Prodotto tra matrici. Propriet`a delle operazioni tra matrici. Anello
delle matrici quadrate. Matrici triangolari, diagonali e scalari. Matrici trasposte. Matrici simmetriche
ed antisimmetriche.
III) – Spazi vettoriali e loro propriet´
a. Esempi: Kn , Km,n , K[X]. Sottospazi. Intersezione e somma di
sottospazi. Somma diretta. Generatori di uno spazio. Spazi vettoriali finitamente generati. Dipendenza
e indipendenza lineare. Criterio di indipendenza lineare. Base di uno spazio. Metodo degli scarti
successivi. Completamento di un insieme libero ad una base. Lemma di Steinitz. Dimensione di uno
spazio vettoriale. Formula di Grassmann*. Dimensione di una somma diretta.
IV) – Determinante di una matrice quadrata e sue propriet`a. Teorema di Binet*. Primo e secondo
teorema di Laplace*. Matrici invertibili. Matrice aggiunta. Calcolo dell’inversa di una matrice. Rango
di una matrice. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Teorema di
Kronecker*. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouch´e-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi
omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di Gauss.
V) – Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro propriet`a. Il nucleo e l’ immagine di una applicazione lineare. Iniettivit`
a, suriettivit`
a, isomorfismi. Teorema del Nucleo e dell’ Immagine. Studio delle
applicazioni lineari. Matrice del cambio di base. Matrici simili.
VI) – Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Calcolo degli autovalori: polinomio caratteristico. Autospazi e loro dimensione. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi
diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici.
VII) – Norma e disuguaglianza di Chauchy–Schwartz. Ortogonalit`a. Processo di ortogonalizzazione di Gram–Schmidt. Matrici ortogonali e matrici ortogonali speciali. Isometrie ed endomorfismi
autoaggiunti. Teorema spettrale per endomorfismi simmetrici. Diagonalizzabilit`a delle matrici reali
simmetriche per mezzo di matrici ortogonali (speciali).
Geometria
I) – Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Rette reali del piano e loro equazioni. Mutua
posizione tra rette. Ortogonalit`
a e parallelismo tra rette. Il coefficiente angolare di una retta. Fasci
di rette. Distanze. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle.
Ortogonalit`a e parallelismo tra piani. Rette complanari e rette sghembe. Angoli fra rette e piani. Fasci
di piani. Distanze.
II) – Cambiamenti di coordinate nel piano e nello spazio. Rotazioni e traslazioni. Coniche nel
piano e matrici ad esse associate. Invarianti ortogonali. Riduzione di una conica a forma canonica.
Coniche riducibili e irriducibili. Significato geometrico del rango della matrice associata ad una conica.
Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Fuochi, direttrici
ed eccentricit`a. Polarit`
a rispetto ad una conica. Iperboli equilatere. Centro ed assi di simmetria.
Circonferenze. Tangenti. Fasci di coniche.
III) – Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle
quadriche e quadriche degeneri. Riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione affine
delle quadriche. Coni e cilindri. Sfere. Rette e piani tangenti. Famiglie di sfere e di quadriche. Luoghi
geometrici.
Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * si possono omettere.
Testi adottati
S. Giuffrida, A.Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Ed. Il Cigno G.Galilei, Roma 1998 (per la parte
di Algebra Lineare).
F. Russo, Geometria degli enti lineari e delle quadriche. Note per il Corso Algebra Lineare e Geometria di Ingegneria, disponibile gratuitamente nella pagina internet http://www.dmi.unict.it/˜frusso
(per la parte di Geometria)
Materiale Didattico Inegrativo
F. Russo, Esercizi svolti raggruppati per temi, Risoluzione di prove scritte assegnate, etc, etc,
disponibile gratuitamente nella pagina internet http://www.dmi.unict.it/˜frusso
e-mail: [email protected]
Sito web: http://www.dmi.unict.it/~frusso

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