Matrici invertibili Una matrice quadrata A di ordine n si dice

Matrici invertibili
Una matrice quadrata A di ordine n si dice invertibile se esiste una matrice (quadrata di ordine
n) B tale che
AB = 1n ,
BA = 1n .
Teorema Se AB = BA = 1n e AC = CA = 1n , allora B = C.
dim. C = C1n = C(AB) = (CA)B = 1n B = B. CVD La matrice B si dice la matrice inversa
di A e si denota, in analogia con la notazione usata per i numeri, con A−1 (ma, attenzione, la
notazione 1/A `e proibita).
Teorema Se la matrice A, quadrata di ordine n, `e invertibile, allora il sistema Ax = b ha un’unica
soluzione
x = A−1 b.
dim. Chiaramente A−1 b `e una soluzione:
A(A−1 b) = (A−1 A)b = 1n b = b.
Se c `e una soluzione, Ac = b, moltiplicando a sinistra entrambi i termini dell’uguaglianza per A−1 ,
si ricava c = A−1 b. CVD
Teorema Una matrice quadrata di ordine n `e invertibile se e solo se rango A = n.
dim. Se A `e invertibile, allora il sistema Ax = b ha un’unica soluzione qualunque sia la colonna
b. Dal Teorema di Rouch´e-Capelli segue che rango A = rango (A | b) = n.
Viceversa, supponiamo che rango A = n. Sia ei la i-ma colonna di 1n (tutti gli elementi uguali a 0
tranne l’i-mo uguale a 1). Il sistema Ax = ei ha un’unica soluzione xi . Segue che A(x1 · · · xn ) =
(Ax1 · · · Axn ) = (e1 · · · en ) = 1n . Segue che, posto X = (x1 · · · xn ), AX = 1n . Da quest’ultima
identit`
a segue che (AX)A = 1n A = A e quindi A(XA) = A. Segue che A(XA − 1n ) = 0n . Dette
y1 , . . . , yn le colonne della matrice XA − 1n , risulta Ay1 = . . . = Ayn = 0 e quindi per l’unicit`a
delle soluzioni y1 = . . . = yn = 0. Segue che XA − 1n = 0n e XA = 1n e quindi A `e invertibile.
CVD
Corollario Sia A una atrice quadrata di ordine n. Se il sistema Ax = b ha un’unica soluzione per
qualche b, allora la matrice A `e invertibile.
dim. Se il sistema Ax = b ha un’unica soluzione, dal T. di Rouch´e-Capelli segue che rango A = n
e quindi per il T. precedente A `e invertibile. CVD
Teorema Siano A, B matrici invertibili di ordine n. Allora
(1) la matrice A−1 `e invertibile e (A−1 )−1 = A,
(2) la matrice AB `e invertibile e (AB)−1 = B −1 A−1 ,
(3) la trasposta At di A `e invertibile e (At )−1 = (A−1 )t .
dim. La (1) segue subito da AA−1 = A−1 A = 1n . La (2) segue da
(AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = A1n A−1 = 1n ,
(B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B = B −1 1n B = 1n .
Per la (3)
At (A−1 )t = (A−1 A)t = (1n )t = 1n ,
(A−1 )t At = (AA−1 )t = (1n )t = 1n .
CVD
Matrici elementari
Data un’operazione elementare sulle righe e, denotiamo con e(A) la matrice che si ottiene applicando l’operazione e alla matrice A. Sia E la matrice che si ottiene applicando e alla matrice
identica 1,
E = e(1).
La matrice E si dice la matrice elementare corrispondente all’operazione elementare sulle righe
e. La matrice E `e sempre una matrice quadrata.
Poniamo
Si,j = si,j (1n ),
Mi (k) = mi (k)(1n ), k 6= 0,
1
Ai,j (k) = ai,j (k)(1n ).
Esempio Caso n = 2:
S1,2 =
0
1
1
,
0
M1 (k) =
A1,2 (k) =
1
k
0
,
1
1
M2 (k) =
0
1 k
A2,1 (k) =
.
0 1
k
0
0
,
1
0
,
k
Caso n = 3:
S2,3

1
= 0
0
0
0
1

0
1 ,
0

1
M2 (k) = 0
0
0
k
0

0
1 ,
1


0 0
1 0 .
0 1
1
A1,3 (k) = 0
k
Caso generale: sia e1 , . . . , en la base standard di Rn (ei `e la riga che ha tutti gli elementi uguali a
0 tranne l’i-mo che `e uguale a 1); allora
 
e1
 .. 
1n =  . 
en
e

Si,j
   
1
..
..
.
 ..
. .

 ei  ej 
0
   
i
→

   
 ..
= si,j (1n ) = si,j  ...  =  ...  =
.
   

ej   ei 
j →
   
0
..
..
 ..
.
.
.
0
···
i
↓
0
..
.
···
j
↓
0
..
.

···
···
0
..
.
···
1
..
.
···
···
1
..
.
···
0
..
.
···
···
0
···
0
···
0
.. 
.

0

.. 
.

0

.. 
.
1
`e la matrice che ha tutti gli elementi diagonali uguali ad 1 tranne quelli di posto ii e jj che sono
uguali a 0, gli elementi di posto ij e ji uguali ad 1 e i rimanenti elementi tutti uguali a 0;
i
↓

   
1
..
..

i
.
.

↓
   

 = kei  = diag (1, . . . , 1, k, 1, . . . , 1) =
e
Mi (k) = mi (k)(1n ) = mi (k) 
i
   
i →

..
..

.
.

..

.
k
..
.
0
`e la matrice diagonale che ha tutti gli elementi diagonali uguali ad 1 tranne quello di posto ii che
`e uguale a k;

  

1
..
..
.
.
.
 ..
  


 ei   ei 
0
  

i
→

 ..  

.
 ..
..
Ai,j (k) = ai,j (k)(1n ) = ai,j (k)  .  = 
=
.

  

ej  kei + ej 
0
j
→
  


..
..
 ..
.
.
.
0
···
i
↓
0
..
.
···
j
↓
0
..
.

···
···
1
..
.
···
0
..
.
···
···
k
..
.
···
1
..
.
···
···
0
···
0
···
0
.. 
.

0

.. 
.

0

.. 
.
1
`e la matrice che ha tutti gli elementi diagonali uguali ad 1 e tutti gli altri elementi uguali a 0 tranne
quello di posto ji che `e uguale a k.
Teorema Sia e una operazione elementare sulle righe e sia E la matrice elementare corrispondente.
Allora, per ogni matrice A
e(A) = EA
2
0







1
In altre parole la matrice ottenuta applicando alla matrice A l’operazione elementare per righe e
coincide con la matrice ottenuta moltiplicando A a sinistra per la matrice E corrispondente ad e.
dim. Supponiamo che A abbia taglia m × n e scriviamo
 
a1
 .. 
A =  .  , ove a1 , . . . , am sono le righe di A.
am
Sia e1 , . . . , em la base standard di Rm .
1. e = si,j
 . 
..

i →  aj 

 . 


.
si,j (A) =
 . ,

j →  ai 

..
.
  

 
..
..
..
 .  .
.
ej A aj 
ej 
  

 
  

 .. 
Si,j A =  .  A =  ...  =  ...  ;
  

 
 ei A   ai 
 ei 
  

 
..
..
..
.
.
.
2. e = mi (k)


a1
 .. 
 . 
 

mi (k)(A) = 
kai  ,
 . 
 .. 
am

  

e1 A
a1
e1
 ..   .. 
 .. 
 .   . 
 . 

  
 
  


Mi (k)A = kei  A = 
kei A = kai  ;
 .   . 
 . 
 ..   .. 
 .. 
em A
am
em

3. e = ai,j (k)

..
.
ai
..
.









ai,j (k)(A) = 
,


kai + aj 


..
.
..
.
ei
..
.



..
.
ei A
..
.


..
.
ai
..
.




 




 




 




 

Ai,j (k)A = 
A = 
=
.



 

kei + ej 
kei A + ej A kai + aj 



 

..
..
..
.
.
.
CVD
Data l’operazione elementare e sia e0 l’operazione elementare inversa. Siano E ed E 0 le corrispondenti matrici. Abbiamo E = e(1), E 0 = e0 (1). Segue
1 = e0 (e(1)) = e0 (E) = E 0 E,
1 = e(e0 (1)) = e(E 0 ) = EE 0 .
Segue che E `e matrice invertibile ed E 0 = E −1 . Segue che il prodotto di matrici elementari `e una
matrice invertibile.
Applicazioni delle matrici elementari
Teorema Sia A una matrice quadrata di ordine n. Gli asserti seguenti sono equivalenti:
(i) la matrice A `e invertibile,
(ii) il sistema Ax = b ha un’unica soluzione per ogni b ∈ Rn ,
(iii) il sistema omogeneo Ax = 0 ha la sola soluzione nulla,
(iv) rango A=n,
(v) la matrice A `e equivalente per righe alla matrice 1n ,
(vi) la matrice A si pu`
o esprimere come prodotto di matrici elementari.
dim. L’equivalenza degli asserti (i), (ii) e (iv) l’abbiamo vista nella sezione precedente.
Dimostriamo che (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv). Ne segue che i primi quattro asserti sono equivalenti. Dalla
(ii) segue che il sistema omogeneo Ax = 0 ha un’unica soluzione e poich´e un sistema omogeno
ha sempre la soluzione nulla, la sola soluzione del sistema `e la soluzione nulla. Quindi (iii) `e
dimostrato. Supponiamo ora che valga (iii) e dimostriamo (iv). Da (iii) segue che la riduzione
a scala del sistema non ha incognite libere e quindi tutte le righe hanno un pivot. Segue che la
3
riduzione a scala della matrice A ha n righe non nulle e dunque rango A = n.
Infine dimostriamo che (i) ⇒ (v) ⇒ (vi) ⇒ (i). Supponiamo A invertibile e supponiamo che B
sia la forma canonica per righe di A. Segue che esistono matrici elementari E1 , E2 , . . . , Eh tali
che Eh · · · E2 E1 A = B. Poich´e A `e invertibile e ciascuna delle matrici elementari `e invertibile,
anche B `e invertibile. Se fosse B 6= 1n , allora B avrebbe una riga nulla e quindi non potrebbe
essere invertibile (farvedere che se B ha una riga nulla, BC ha una riga nulla, qualunque sia C).
Segue che B = 1n e (i) ⇒ (v). Da (v) segue che esistono matrici elementari E1 , E2 , . . . , Eh tali
che Eh · · · E2 E1 A = 1n . Segue che A = (Eh · · · E2 E1 )−1 = E1−1 E2−1 · · · Eh−1 . Ma sappiamo che le
matrici Ei−1 sono matrici elementari. Segue che (v) ⇒ (vi). Infine, se A = E1 E2 · · · Eh con le Ei
matrici elementari e quindi invertibili, allora A `e invertibile. Quindi (vi) ⇒ (i). CVD
Teorema Siano A e B matrici quadrate di ordine n. Se AB = 1n , allora BA = 1n e quindi
B = A−1 .
dim. Supponiamo per assurdo che A non sia invertibile. Allora A ha rango < n e quindi A `e
equivalente per righe ad una matrice che ha una riga nulla. Segue che esistono matrici elementari
E1 , E2 , . . . , Eh tali che Eh · · · E2 E1 A ha una riga nulla. Segue che Eh · · · E2 E1 AB = Eh · · · E2 E1
ha una riga nulla, assurdo perch´e un prodotto di matrici elementari `e invertibile. Dunque A `e
invertibile. Segue che
B = 1n B = (A−1 A)B = A−1 (AB) = A−1 1n = A−1 .
CVD
Teorema La matrice B `e equivalente per righe alla matrice A, B ∼ A, se e solo se esiste una
matrice invertibile tale che B = P A.
dim. Se B ∼ A, allora B = eh (· · · (e2 (e1 (A))) · · · ) = Eh · · · E2 E1 A = P A, ove P = Eh · · · E2 E1
`e invertibile. Viceversa, supponiamo che B = P A con P invertibile. Sappiamo allora che P `e
prodotto di matrici elementari e quindi B si ottiene da A applicando una successione di operazioni
elementari sulle righe. CVD
Calcolo della matrice inversa
Descriviamo un algoritmo per calcolare la matrice inversa di una matrice invertibile. L’input `e una
matrice quadrata A e l’output `e l’inversa della matrice A oppure che la matrice non `e invertibile.
I passo. Si forma la matrice M = (A | 1n ) (ove n `e l’ordine di A;
II passo. Si riduce M a scala per righe. Se la prima met`a di M presenta una riga nulla, allora A
non `e invertibile e ci si ferma;
III passo. Si riduce la matrice M a forma canonica per righe M ∼ (1n | B);
IV passo. Si pone A−1 = B, la matrice che compare nella seconda met`a della matrice equivalente
per righe ad M .
dim. Supponiamo A invertibile e sia e1 , e2 , . . . , ek la sequenza di operazioni elementari sulle righe
di M = (A | 1n ) che riduce la prima met`a di M che `e A alla matrice 1n . Sia Ei la matrice
corrispondente all’operazione ei . Segue che
Ek · · · E2 E1 A = 1n ,
⇔
(Ek · · · E2 E1 1n )A = 1n ,
⇒ A−1 = Ek · · · E2 E1 1n .
Segue che A−1 si ottiene applicando le operazioni elementari sulle righe e1 , e2 , . . . , ek alla matrice
identica 1n che compare nella met`
a a destra della matrice M . Segue che B = A−1 . CVD
Esempio Calcoliamo la matrice inversa di


1 1 3
0 1 2  .
3 5 −1




1 1
3
1 0 0
1 1 3 1 0 0
a1,3 (−3)
a2,3 (−2),a2,1 (−1)
2
0 1 0 
−→
M =  0 1 2 0 1 0  −→  0 1
3 5 −1 0 0 1
0 2 −10 −3 0 1




1 0 1 1 −1
0
1 0
1
1 −1 0
1
m3 (− 14
)
a3,2 (−2),a3,1 (−1)
 0 1
1
0 
2
0
1 0  −→  0 1 2 0
−→
3
1
1
0 0 −14 −3 −2 1
0 0 1 14
−
7
14


8
1
1 0 0 11
−
14
7
14
5
1
 0 1 0 −3

7
7
7
3
1
1
0 0 1 14
−
7
14
4
Quindi
11
14
− 3
7
3
14
− 87

A−1 =
5
7
1
7
1
14
1 
.
7
1
− 14

Esercizi Determinare, se possibile, la matrice inversa A−1 delle seguenti matrici A usando l’algoritmo
esposto; verificare che la matrice trovata soddisfa A−1 A = 1n :






3 5 1
1 2 −3
1 −1 2
A = 2 1 11 , A = 1 2 1  , A =  2 6 −2 ,
4 −3 10
2 6 70
−1 1 4




0 −2 −1 −3
1 −1 2 3
2 0
2 0 3 −4
2
1

.

A=
3 −1 7 8  , A = 1 −2 0
2
3 −1 −2 0
1 0 3 5
Operazioni elementari sulle colonne
La teoria e la pratica delle operazioni elementari sulle righe di una matrice si pu`o sviluppare anche
per le operazioni elementari sulle colonne. Riassumiamo senza troppi dettagli la teoria. Le operazioni elementari sulle colonne applicate alla matrice A = (c1 · · · cn ), ove c1 , . . . , cn sono le
colonne della matrice A, sono
(1) scambio di due colonne: ci ↔ cj ,
(2) sostituire una colonna con un suo multiplo non nullo: ci → kci , k 6= 0,
(3) aggiungere ad una colonna un multiplo di un’altra colonna: cj → kci + cj . Queste operazioni
sono invertibili e le inverse sono esse stesse operazioni elementari.
Se f `e una delle operazioni elementari sulle colonne si definisce la matrice elementare associata
F = f (1)
che `e sempre una matrice quadrata. Ad esempio: le matrici associate (1) allo scambio delle colonne
1 e 3, (2) alla moltiplicazione della terza colonna per k e (3) al sommare alla terza colonna la seconda
moltiplicata per k nella matrice 13 sono






1 0 0
1 0 0
0 0 1
F1 = 0 1 0 , F2 = 0 1 0 , F3 = 0 1 k  .
0 0 k
0 0 1
1 0 0
Vale anche in questo caso (con analoga dim.) il
Teorema Per ogni matrice A, f (A) = AF .
In altre parole l’effetto di una operazione elementare sulle colonne di una matrice si ottiene moltiplicando a destra la matrice per la matrice elementare associata.
Una matrice `e invertibile se e solo se `e prodotto di matrici elementari per colonne.
Una matrice B `e equivalente ad una matrice A se B si pu`o ottenere da A con una successione
di operazioni elementari sulle righe o sulle colonne. Alternativamente, B `e equivalente ad A se
esistono matrici invertibili P e Q tali che B = P AQ. Si dimostra facilmente che l’equivalenza tra
matrici `e una relazione di equivalenza.
Teorema Se A `e una matrice m × n di rango r, allora A `e equivalente alla matrice
1r 0
0 0
dim. Il primo passo consiste nel ridurre a forma canonica per righe la matrice A. Siano j1 , j2 , . . . , jr
gli indici delle colonne pivot. Il secondo passo consiste nello scambiare la prima colonna con la
j1 -ma, la seconda con la j2 -ma, ..., la r-ma con la jr -ma. Si ottiene una matrice a blocchi della
forma
1r B
0 0
Il terzo ed ultimo passo consiste nell’utilizzare operazioni elementari sulle colonne per sostituire
ciascun elemento di B con 0: per i = 1, 2, . . . , r, j = r + 1, r + 2, . . . , n, si somma la colonna i-ma
moltiplicata per −bij alla colonna j-ma. CVD
5

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