Matrici particolari

Matrici particolari
Definizione
Una matrice quadrata A di ordine n si dice diagonale se tutti gli
elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli:


a11 0 . . .
0
 0 a22 . . .
0 

A=
. . . . . . . . . . . . 
0
0 . . . ann
Una matrice di questo tipo si indica anche in questo modo:
A = diag (a11 , a22 , . . . , ann ).
Propriet`a delle matrici diagonali
E’ facile verificare (fatelo per esercizio) che valgono le seguenti
propriet`a:
Teorema
Siano A e B matrici diagonali, con A = diag (a11 , a22 , . . . , ann ) e
B = diag (b11 , b22 , . . . , bnn ). Si ha che:
I
αA = diag (αa11 , αa22 , . . . , αann )
I
A + B = diag (a11 + b11 , a22 + b22 , . . . , ann + bnn )
I
AB = diag (a11 b11 , a22 b22 , . . . , ann bnn ) = BA
I
p
p
p
Ap = diag (a11
, a22
, . . . , ann
).
Il prodotto tra matrici diagonali `e una matrice diagonale.
Limitandosi a matrici diagonali, il prodotto gode della propriet`a
commutativa (che non vale per matrici pi`
u complicate).
Matrici triangolari
Definizione
Una matrice quadrata di ordine n si dice triangolare superiore se
tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli:


a11 a12 . . . a1n
 0 a22 . . . a2n 

A=
. . . . . . . . . . . . 
0
0 . . . ann
si dice invece triangolare inferiore se
della diagonale principale sono nulli:

a11 0
a21 a22
A=
. . . . . .
an1 an2
tutti gli elementi al di sopra
...
...
...
...

0
0 

. . .
ann
Matrici triangolari (2)
Le seguenti propriet`a sono facili da verificare:
Teorema
Siano A e B matrici triangolari superiori (inferiori). Allora anche le
matrici αA, A + B, AB sono matrici triangolari superiori
(inferiori). La matrice AT `e triangolare inferiore (superiore).
Possiamo dire che le matrici triangolari superiori (inferiori)
costituiscono un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale Rnxn
delle matrici quadrate nxn, che inoltre `e anche chiuso rispetto al
prodotto tra matrici. Qual `e la sua dimensione? Quale pu`o essere
una base? Inoltre, l’insieme delle matrici diagonali costituisce un
sottospazio ancora pi`
u piccolo di Rnxn ; qual `e la sua dimensione?
Quale pu`o essere una base?
Trasposizione
Abbiamo gi`a definito il concetto di matrice trasposta AT ; si tratta
della matrice che si ottiene scambiando le righe di A con le
colonne di A o equivalentemente, nel caso di matrici quadrate,
ribaltando la matrice A rispetto alla diagonale principale. Le
propriet`a della trasposizione sono le seguenti:
Teorema
I
ATT = A
I
(αA + βB)T = αAT + βBT
I
(AB)T = BT AT
In parole: la trasposta della trasposta coincide con la matrice di
partenza; la trasposta di una combinazione lineare `e la
combinazione lineare delle trasposte; la trasposta di un prodotto `e
il prodotto delle trasposte ma nell’ordine inverso. Perch´e?
Dimostriamo questa propriet`a nella slide successiva.
Trasposizione (2)
Dimostrazione.
Sia [A] = aij e [B] = bjk . Sappiamo che il prodotto AB `e definito
come
X
[AB]ik =
aij bjk .
j
Ne segue che
[AB]T
ik = [AB]ki =
X
j
akj bji =
X
j
bji akj =
X
[BT ]ij [AT ]jk = BT AT .
j
Matrici simmetriche
Definizione
Una matrice A quadrata di ordine n si dice simmetrica se A = AT .
Teorema
Siano A e B matrici simmetriche. Allora:
I
A + B `e una matrice simmetrica
I
αA `e una matrice simmetrica
I
se A e B commutano, cio`e se AB = BA, allora AB `e
simmetrica
I
Ap `e una matrice simmetrica.
I
se P `e una qualsiasi matrice quadrata di ordine n, le matrici
PT AP e P + PT sono entrambe matrici simmetriche.
Matrici simmetriche (2)
Dimostrazione.
I primi due punti sono ovvi. Per dimostrare il terzo, osserviamo che
dalla simmetria di A e di B e dal fatto che A e B commutano
segue che
(AB)T = BT AT = BA = AB,
quindi AB `e simmetrica.
Il quarto punto `e conseguenza del terzo, in quanto A commuta con
s`e stessa e con tutte le sue potenze. Per gli ultimi due punti
osserviamo che dalle propriet`a della trasposizione e dalla simmetria
di A si ha
[PT AP]T = PT AT PTT = PT AP,
da cui la simmetria di PT AP e
[P + PT ]T = PT + PTT = PT + P,
da cui la simmetria di P + PT .
Matrice inversa
Definizione
Sia A una matrice quadrata di ordine n. Si dice che A `e invertibile
o nonsingolare se esiste una matrice A−1 di ordine n che soddisfa
AA−1 = A−1 A = I.
La matrice A−1 prende il nome di matrice inversa di A.
Osservazione
Abbiamo visto nella scorsa lezione che ogni matrice A con n righe
e n colonne rappresenta una funzione lineare f : Rn → Rn , data da
f (x) = Ax. Una matrice `e invertibile se e solo se la corrispondente
funzione f `e invertibile, cio`e se `e iniettiva e suriettiva. La matrice
inversa A−1 `e la matrice corrispondente alla funzione inversa.
Esempio
Consideriamo la matrice
1 1
A=
.
0 1
Cerchiamo la matrice inversa di A risolvendo la seguente
equazione:
1 1 a b
1 0
=
,
0 1 c d
0 1
che corrisponde al sistema
a+c =1
b+d =0
c=0
d =1
Esempio
da cui otteniamo
a=1
b = −1
c=0
d = 1,
quindi la matrice inversa `e
A
−1
1 −1
=
.
0 1
In generale la determinazione della matrice inversa richiede un
numero di operazioni che cresce molto rapidamente al crescere di n;
vedremo un metodo generale basato sul concetto di determinante.
Propriet`a della matrice inversa
Teorema
Sia A una matrice invertibile di ordine n, e sia A−1 la sua inversa.
Allora:
I
(A−1 )−1 = A
I
se α 6= 0, anche la matrice αA `e invertibile e (αA)−1 = α1 A−1
I
se B `e invertibile, allora (AB)−1 = B−1 A−1
I
Ap `e invertibile
I
se A = diag (a11 , . . . , ann ), allora A−1 = diag ( a111 , . . . , a1nn )
I
(A−1 )T = (AT )−1
I
se A `e simmetrica, allora anche A−1 `e simmetrica.
Propriet`a della matrice inversa (2)
Dimostrazione.
I
Dato che AA−1 = A−1 A = I, vediamo subito che l’inversa di
A−1 `e A stessa.
I
Poich´e αA α1 A−1 = I, vediamo che l’inversa di αA `e
I
Dato che
1 −1
αA .
ABB−1 A−1 = A(BB−1 )A−1 = AIA−1 = AA−1 = I,
vediamo che la inversa di AB `e B−1 A−1 .
I
Come conseguenza del punto precedente, (A2 )−1 = (A−1 )2 e
in generale (Ap )−1 = (A−1 )p .
Propriet`a della matrice inversa (3)
Dimostrazione.
I
Il prodotto di matrici diagonali `e diagonale, quindi l’inversa ha
sulla diagonale principale i reciproci degli elementi di A:

a11 0
 0 a22

. . . . . .
0
0
...
...
...
...
 1
0
a11

0 
 0
. . .  . . .
ann
0
0
1
a22
...
0
...
...
...
...
 
0
1
 0
0
=
. . .  . . .
1
0
ann
0
1
...
0
...
...
...
...
I
Consideriamo la relazione AA−1 = I; trasponendo entrambi i
membri, otteniamo (A−1 )T AT = I, che corrisponde a
(AT )−1 = (A−1 )T .
I
Dal punto precedente segue che se A = AT , allora anche
A−1 = (A−1 )T .
0
0
...
1
Determinante di una matrice
Il determinante di una matrice `e una grandezza molto importante
e molto utile nel calcolo della inversa. Definiamo il determinante in
modo ricorsivo: il determinante delle matrici di ordine n `e definito
a partire da quello delle matrici di ordine n-1. Iniziamo dalle
matrici di ordine 2.
Definizione
Sia A una matrice 2x2,
a b
A=
;
c d
allora
det A = ad − bc.
Ad esempio
1 1
= 1.
det
0 1
Determinante (2)
Sia ora A una matrice 3x3,


a11 a12 a13
A = a21 a22 a23  ;
a31 a32 a33
Indichiamo con Aij la sottomatrice 2x2 che si ottiene eliminando la
riga i-esima e la colonna j-esima; ad esempio
a22 a23
a11 a12
A11 =
oppure A23 =
a32 a33
a31 a32
Il determinante della sottomatrice Aij si chiama minore
corrispondente all’elemento aij ; la quantit`a
mij = (−1)i+j det Aij
prende invece il nome di complemento algebrico dell’elemento aij .
Determinanti (3)
Definizione
det A =
3
X
aij mij (sviluppo lungo la riga i-esima)
j=1
o equivalentemente
det A =
3
X
aij mij (sviluppo lungo la colonna j-esima)
i=1
Il determinante di una matrice 3x3 `e calcolato a partire da quello
di 3 sottomatrici 2x2; in questo senso la definizione `e ricorsiva. Il
risultato non dipende da quale riga o colonna viene scelta per fare
lo sviluppo; vediamo un esempio nella slide successiva.
Esempio
Sia


2 −1 4
1 ;
A = 1 3
1 2 −1
se sviluppiamo lungo la prima colonna, otteniamo
3 1
−1 4
−1 4
det A = 2 det
− 1 det
+ 1 det
=
2 −1
2 −1
3 −1
= 2(−3 − 2) − 1(1 − 8) + 1(−1 − 12) = −16.
In alternativa, se sviluppiamo lungo la seconda riga otteniamo
1 1
2 4
2 4
+ 3 det
det A = 1 det
− 2 det
=
1 −1
1 −1
1 1
= 1(−1 − 1) + 3(−2 − 4) − 2(2 − 4) = −16.
Determinante (4)
Il determinante di una generica matrice nxn si calcola esattamente
nello stesso modo: si sceglie una riga oppure una colonna e poi si
procede al calcolo di n determinanti di sottomatrici (n-1)x(n-1):
det A =
n
X
aij mij (sviluppo lungo la riga i-esima)
j=1
o equivalentemente
det A =
n
X
aij mij (sviluppo lungo la colonna j-esima)
i=1
In pratica `e conveniente cercare di sviluppare lungo una riga o una
colonna che contengano molti zeri; questo riduce di molto i calcoli.
Vediamo un esempio nella prossima slide.
Esempio
Sia


0 −1 1 0
1 1 2 −2

A=
0 0 1 0  .
2 2 4 4
Evidentemente conviene sviluppare lungo la terza riga, che ha un
solo elemento non nullo. Si ha quindi




0 1 0
−1 1 0
det A = 0 · det  1 2 −2 − 0 · det 1 2 −2
2 4 4
2 4 4




0 −1 0
0 −1 1
+ 1 · det 1 1 −2 − 0 · det 1 1 2
2 2
4
2 2 4


0 −1 0
= det 1 1 −2 .
2 2
4
Esempio (2)
Allo stesso modo, per calcolare


0 −1 0
det 1 1 −2
2 2
4
conviene evidentemente sviluppare lungo la prima riga, che ha un
solo elemento diverso da zero. Si ottiene quindi


0 −1 0
1 −2
1 1
1 −2


det 1 1 −2 = 0 · det
+ 1 · det
+ 0 · det
2 4
2 2
2 4
2 2
4
= 1 · (4 + 4) = 8.
Propriet`a dei determinanti
Siamo A e B matrici quadrate nxn. Valgono le seguenti propriet`a:
Teorema
I
scambiando due righe o due colonne qualsiasi della matrice A,
il determinante cambia di segno.
I
se una matrice A ha due righe o due colonne uguali, allora il
suo determinante `e pari a 0
I
det A 6= 0 se e solo se la matrice A `e invertibile
I
det(αA) = αn det A
I
det(AB) = det A · det B.
Il termine matrice nonsingolare significa propriamente che il
determinante `e diverso da zero; come abbiamo visto, questo `e
equivalente alla invertibilit`a di A.

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