Esercizi sui gruppi. - Dipartimento di Matematica

ALGEBRA: QUINTO FOGLIO DI ESERCIZI
1. G RUPPI E DEFINIZIONI
(1) Definiamo su un insieme X l’operazione a ∗ b = b. L’operazione è associativa? E’ vero che esiste un elemento
neutro?
(2) Sull’insieme Z definiamo la seguente operazione:
(
m+n
se m è pari;
m∗n=
m−n
se m è dispari.
Mostrare che (Z, ∗) è un gruppo e calcolare l’ordine degli elementi 3, 6, 9.
(3) Scrivere tutti gli elementi di S4 nella notazione per cicli disgiunti. Quali sono le permutazioni pari e quali
quelle dispari?
(4) Siano σ = (1 3 6)(2 7 4 5), τ = (2 5)(3 7). Calcolare: στ , τ σ, στ 3 , σ 2 τ 4 nonché i loro inversi. Calcolare inoltre
σ 1057 .
(5) Mostrare che se in un gruppo G ogni elemento g ∈ G soddisfa g 2 = 1, allora G è abeliano.
(6) Mostrare che l’applicazione φ : G → G definita da φ(g) = g 2 è un omomorfismo di gruppi se e solo se il
gruppo G è abeliano.
(7) Mostrare che l’applicazione φ : G → G definita da φ(g) = g −1 è un omomorfismo di gruppi se e solo se il
gruppo G è abeliano.
2. O RDINE DI ELEMENTI
0
1
Calcolare l’ordine di
in GL2 (R).
−1 0
1 1
Calcolare l’ordine di
in GL2 (R).
0 1
2 1
Calcolare l’ordine di
in GL2 (R).
1 3
Siano σ = (1 2)(3 4 5), τ = (1 2 3)(4 5) elementi di S5 . Calcolare l’ordine di σ, τ, στ, στ −1 .
Qual è l’ordine di 5 in Z×
1001 ?
Qual è l’ordine di 24 in Z( 221)× ?
Se p = 257 e q = 137, calcolare l’ordine di 25 in Z×
pq .
Calcolare 131234 mod 105.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
3. S OTTOGRUPPI
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Elencare tutti i sottogruppi di Z6 , Z8 , Z12 . Quali sono normali?
Sono dati i sottogruppi H = 18Z e K = 24Z di Z. Calcolare H ∩ K e H + K.
Elencare tutti i sottogruppi di S3 . Quali sono normali?
Mostrare che A4 non ha sottogruppi di ordine 6.
Elencare tutti i sottogruppi normali di A4 .
Sia GLn il gruppo delle matrici n×n invertibili. E’ vero che gli elementi triangolari superiori di GLn formano
un sottogruppo? Se sì, è normale?
(7) Sia GLn il gruppo delle matrici n × n invertibili. E’ vero che le matrici diagonali contenute in GLn formano
un sottogruppo? Se sì, è normale?
(8) Sia GLn il gruppo delle matrici n × n invertibili. E’ vero che le matrici diagonalizzabili contenute in GLn
formano un sottogruppo? Se sì, è normale?
4. C ONGRUENZE
(1) Risolvere 7x ≡ 2 mod 67.
(2) Risolvere 7x ≡ 2 mod 68.
(3) Risolvere il sistema di congruenze


x ≡ 1
x≡2


x≡3
mod 7
mod 11
mod 13.
(
x≡2
x≡3
mod 14
mod 22.
(4) Risolvere il sistema di congruenze
D IPARTIMENTO DI M ATEMATICA , U NIVERSITÀ DEGLI STUDI DI R OMA – “L A S APIENZA”
E-mail address: [email protected]

Download Report