ALGEBRA: QUINTO FOGLIO DI ESERCIZI 1. G RUPPI E DEFINIZIONI (1) Definiamo su un insieme X l’operazione a ∗ b = b. L’operazione è associativa? E’ vero che esiste un elemento neutro? (2) Sull’insieme Z definiamo la seguente operazione: ( m+n se m è pari; m∗n= m−n se m è dispari. Mostrare che (Z, ∗) è un gruppo e calcolare l’ordine degli elementi 3, 6, 9. (3) Scrivere tutti gli elementi di S4 nella notazione per cicli disgiunti. Quali sono le permutazioni pari e quali quelle dispari? (4) Siano σ = (1 3 6)(2 7 4 5), τ = (2 5)(3 7). Calcolare: στ , τ σ, στ 3 , σ 2 τ 4 nonché i loro inversi. Calcolare inoltre σ 1057 . (5) Mostrare che se in un gruppo G ogni elemento g ∈ G soddisfa g 2 = 1, allora G è abeliano. (6) Mostrare che l’applicazione φ : G → G definita da φ(g) = g 2 è un omomorfismo di gruppi se e solo se il gruppo G è abeliano. (7) Mostrare che l’applicazione φ : G → G definita da φ(g) = g −1 è un omomorfismo di gruppi se e solo se il gruppo G è abeliano. 2. O RDINE DI ELEMENTI 0 1 Calcolare l’ordine di in GL2 (R). −1 0 1 1 Calcolare l’ordine di in GL2 (R). 0 1 2 1 Calcolare l’ordine di in GL2 (R). 1 3 Siano σ = (1 2)(3 4 5), τ = (1 2 3)(4 5) elementi di S5 . Calcolare l’ordine di σ, τ, στ, στ −1 . Qual è l’ordine di 5 in Z× 1001 ? Qual è l’ordine di 24 in Z( 221)× ? Se p = 257 e q = 137, calcolare l’ordine di 25 in Z× pq . Calcolare 131234 mod 105. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 3. S OTTOGRUPPI (1) (2) (3) (4) (5) (6) Elencare tutti i sottogruppi di Z6 , Z8 , Z12 . Quali sono normali? Sono dati i sottogruppi H = 18Z e K = 24Z di Z. Calcolare H ∩ K e H + K. Elencare tutti i sottogruppi di S3 . Quali sono normali? Mostrare che A4 non ha sottogruppi di ordine 6. Elencare tutti i sottogruppi normali di A4 . Sia GLn il gruppo delle matrici n×n invertibili. E’ vero che gli elementi triangolari superiori di GLn formano un sottogruppo? Se sì, è normale? (7) Sia GLn il gruppo delle matrici n × n invertibili. E’ vero che le matrici diagonali contenute in GLn formano un sottogruppo? Se sì, è normale? (8) Sia GLn il gruppo delle matrici n × n invertibili. E’ vero che le matrici diagonalizzabili contenute in GLn formano un sottogruppo? Se sì, è normale? 4. C ONGRUENZE (1) Risolvere 7x ≡ 2 mod 67. (2) Risolvere 7x ≡ 2 mod 68. (3) Risolvere il sistema di congruenze x ≡ 1 x≡2 x≡3 mod 7 mod 11 mod 13. ( x≡2 x≡3 mod 14 mod 22. (4) Risolvere il sistema di congruenze D IPARTIMENTO DI M ATEMATICA , U NIVERSITÀ DEGLI STUDI DI R OMA – “L A S APIENZA” E-mail address: [email protected]
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