Esercizi per il corso di Algebra 2 Foglio 3

Esercizi per il corso di Algebra 2
Foglio 3
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Esercizi da consegnare
√
√
1. Mostrare che Q[ 2] non `e isomorfo a Q[ 3].
2. Trovare tutti gli ideali di R[x]/(x2 − 4x + 3).
3. Stabilire un isomorfismo di anelli tra Q[x]/(x2 − 1) e Q × Q.
4. Siano K ⊂ K 0 due campi. Mostrare che ∈ K 0 `e trascendente su K se
e solo se ϕ : K[x] → K[], ϕ (f (x)) = f () `e iniettiva. Mostrare inoltre
che se invece `e algebrico su K, allora K[] `e un campo.
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5. Sia K un campo. Mostare che
p I = (x , y ) ⊂ K[x, y] non `e un ideale
n
m
radicale. Mostrare inoltre che (x , y ) = (x, y) per ogni intero positivo
n, m.
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Altri esercizi
1. Siano A e B due anelli commutativi, Sia a ∈ A e sia µa : A → B tale
che µa (x) = ax. Mostrare che se a 6= 1A , allora µa `e un omomorfismo di
gruppi ma non `e un omomorfismo di anelli.
2. Mostrare che Z2 `e isomorfo a Z6 /(2Z/6Z).
3. Trovare
l’unico polinomio monico irriducibile µ−1 (x) ∈ Q[x] tale che
√
Q[4 −1] `e isomorfo a Q[x]/(µ−1 (x)).
4. Mostrare che R[x]/(x) `e isomorfo a R[x]/(x + 1) ma non `e isomorfo a
R[x]/(x2 ).
5. Se m ed n sono due interi positivi distinti, allora Q[x]/(xm ) non `e isomorfo
a Q[x]/(xn ).
√
6. Dimostrare che tra i campi Q, Q[i] e Q[ 2] non ve ne sono due isomorfi.
√
7. Considerare l’applicazione ϕ : Z[ −1] → Z2 definita da ϕ(a + ib) =
[a + ib]2 .
• Mostrare che ϕ `e un omomorfismo suriettivo di anelli.
• Dimostare che un elemento a + ib ∈ Z[i] sta nell’ideale principale
(1 + i) se e solo se a e b sono entrambi pari o entrambi dispari.
1
• Si mostri che il nucleo di ϕ `e (1 + i).
8. Sia n un intero positivo.
√
• Si mostri che Z[ −1]/(n) ha n2 elementi.
√
• Sia p un primo. Si dimostri che l’applicazione ϕ : Z[ −1] → Zp [x]/(x2 +
1) che manda a + ib nella classe di [a]p + [b]p x `e un omomorfismo suriettivo di anelli con nucleo (p).
9. Sia p un primo e poniamo A = Zp [x]/(x2 + 1).
• Per quali p l’anello A `e un campo?
• Supponiamo che A non sia un campo. Mostrare che esiste una classe
α ∈ Zp tale che α2 = −1 e che la funzione da A a Zp × Zp che manda
una classe [f (x)] nella coppia (f (α), f (−α)) `e ben definita. Inoltre,
se p `e dispari allora si tratta di un isomorfismo di anelli.
10. Sia = cos(2π/3) + i sin(2π/3). Mostare che Q[] `e isomorfo a Q[x]/(x2 +
x + 1).
√ √
11. Descrivere gli elementi di Q[ 2, 3].
12. Mostrare che R × R ' R[x]/(x2 − x).
13. Sia a ∈ Z5 e sia fa = x3 + 2ax − 1 ∈ Z[x]. Si dica per quali valori di a
l’anello Z5 [x]/(fa ) `e un campo.
14. Si consideri il quoziente Q[x]/I nei seguenti casi:
(a) I = (x4 + x3 − 5x2 + x − 6, x5 + x4 − 7x3 − 3x2 + 4x + 12);
(b) I = (x4 + 4x2 − 10);
(c) I = (x3 − x2 − 3x + 2, x4 + x3 − 3x2 − 2x + 2);
(d) I = (x5 − 2x3 − 2x2 + 4);
(e) I = (x4 + 15x3 + 7).
Si dica per quali di questi I si ha che Q[x]/I `e un campo e in caso contrario
se ne determinino gli zero-divisori.
15. Si provi che Z3 [x]/(x3 − x + [1]3 ) `e un campo e si dica quanti elementi
contiene.
16. Dire, motivamdo la risposta, se le seguenti uguaglianze sono vere o false:
(a) Q[i] = Q[i + 2];
(b) Q[i] = Q[2i];
√
(c) Q[i] = Q[i + 2];
√ √
√
√
(d) Q[ 2, 7] = Q[ 2 + 7].
17. Mostare che I = (x2 + 1) ⊂ R[x] `e un ideale radicale ma V (I) `e l’insieme
vuoto.
18. Sia I√= (xy, (x−y)x) ⊂ K[x, y] con K campo. Descrivere V (I) e mostrare
che I = (x).
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