Esercizi per il corso di Algebra 2 Foglio 2

Esercizi per il corso di Algebra 2
Foglio 2
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Esercizi da consegnare
1. Mostrare che K[x, y] con K campo `e un Noetheriano ma non `e un PID.
(Pi`
u in generale: Sia A un anello, mostrare che A `e un campo se e solo se
A[x] `e un PID.)
2. Mostrare che in un PID D le seguenti tre affermazioni sono equivalenti:
(a) a 6= 0 e (a) ideale massimale;
(b) a 6= 0 e (a) ideale primo;
(c) a `e un elemento primo di D;
(d) a `e un elemento irriducibile di D.
3. Mostrare che l’anello dei polinomi K[x] a coefficienti in un campo K con
la funzione δ(p(x)) = deg p(x) `e euclideo.
4. Mostrare che Z[x] `e un UFD ma non `e un PID.
√
5. Trovare, se possibile, in Z[ −6]:
• Un irriducibile che non sia primo;
• due elementi non nulli a, b tali che M CD(a, b) non esista;
• due
√ elementi a, b tali che M CD(a, b) = 1 ma non esistono α, β ∈
Z[ −6] tali che aα + bβ = 1.
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Altri esercizi
1. Mostrare che se I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ · · ·, `e una catena ascendente di
ideali di un anello A, allora I = ∪Ii `e un’ideale A.
2. Mostrare che due elementi a, b di un dominio A ammettono due MCD d e
d0 se e solo se d `e associato a d0 .
3. Determinare gli invertibili di R[x]/(x2 + 1).
4. Sia A = C[x]/(x2 − x).
• Si determini il gruppo A∗ degli elementi invertibili di A;
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• Si ponga N = {[a]|a ∈ C∗ }. Si faccia vedere che N `e un sottogruppo
di A∗ , e che ogni elemento di A∗ `e congruo modulo N ad un unico
elemento dell’insieme {[ax − 1]|a ∈ C};
• Si mostri che per ogni n ≥ 1 esistono esattamente n2 elementi a ∈ A∗
con an = 1.
5. Calcolare il resto di 77126 modulo 10, il resto di 55400 modulo 12 e il resto
di 10547
6. Trovare il pi`
u piccolo intero positivo k tale che k ≡ 7 (mod 25), e k ≡ 33
(mod 162).
7. Trovare il pi`
u piccolo intero positivo k tale che k ≡ 1 (mod 5), k ≡ 2 (mod
7), e k ≡ 5 (mod 12).
8. Sia m un intero maggiore di 1.
(a) Dimostrare che se m `e un prodotto di primi distinti (ossia se nella
scomposizione in fattori primi di m nessun primo appare con esponente maggiore di 1) per ogni intero a si ha che aδ(m)+1 ≡ a (mod
m).
Cenno di soluzione: Questo `e il teorema di Fermat se m `e primo.
Cercate di ridurvi a questo caso.
(b) Fate vedere che questo enunciato `e falso se m `e il quadrato di un
primo.
9. Sia R = K[x1 , x2 , . . . , xn . . .] l’anello dei polinomi su infinite variabili.
Mostrare che R non `e Noetheriano.
10. Sia D un domino di integrit`a e sia M := {(a, b)|a, b ∈ D}. Definiamo in
M la seguente relazione: (a, b) ∼ (c, d) se e solo se ad = bc.
(a) Mostrare che ∼ `e una relazione di equivalenza;
(b) Mostrare che M/ ∼ `e un campo (tale campo si chiama Campo delle
Frazioni associato a D);
(c) Mostrare che il campo delle frazioni dell’anello R definito nell’Esecizio
9 ´e Noetheriano (da qui si pu`o dedurre che un sottoanello di un
Noetheriano non `e necessariamente Noetheriano).
√
√
11. Decidere se 5 `e irriducibile in Z, Z[x], Z[ −1], Z[ −2].
12. Mostrare che (x2 + 1, y) ⊂ R[x, y] `e un ideale massimale.
13. Sia f (x, y) = x2 + y 2 − 1 ∈ Q[x, y].
(a) Dimostrare che f `e irriducibile in Q[x, y];
(b) Dimostrare che l’ideale (f ) non `e massimale in Q[x, y].
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