DIARIO DEL CORSO DI TEORIA DEI GRUPPI Prima settimana

DIARIO DEL CORSO DI TEORIA DEI GRUPPI
SANDRO MATTAREI
A.A. 2013/14
Prima settimana.
Lezione di mercoled´ı 19 febbraio 2014 (un’ora)
Monoidi e gruppi. Gli elementi invertibili di un monoide formano un gruppo.
Esempi: il gruppo degli elementi invertibili di un anello, in particolare, il gruppo
U (Z/nZ).
Sottogruppi.
Lezione di venerd´ı 21 febbraio 2013 (due ore)
Il gruppo GLn (R) delle matrici n × n invertibili, a coefficienti in un anello
commutativo con unit`a. Caratterizzazione mediante il determinante.
Ordine di un elemento, propriet`a delle potenze.
Laterali destri e sinistri. Teorema di Lagrange. L’ordine di un elemento divide
l’ordine del gruppo (se questo `e finito). Applicazione: il teorema di Eulero-Fermat.
Seconda settimana.
Lezione di mercoled´ı 26 febbraio 2014 (due ore)
Altra applicazione di Lagrange: un gruppo di ordine primo `e ciclico.
Omomorfismi. Nucleo. Sottogruppi normali. Gruppo quoziente (con i due
possibili approcci alla sua costruzione).
Il primo teorema di isomorfismo (o teorema fondamentale sugli omomorfismi).
Applicazione del primo teorema di isomorfismo: ogni gruppo ciclico `e isomorfo
a Z/nZ, per qualche intero non negativo n (unicamente determinato dall’ordine
del gruppo). 1
Lezione di venerd´ı 28 febbraio 2014 (un’ora)
Se p `e primo esiste un unico gruppo di ordine p, a meno di isomorfismo.
L’ordine di una potenza di un elemento di un gruppo.
Il gruppo degli automorfismi di un gruppo. Gli automorfismi di un gruppo
ciclico.
Date: Aggiornato al 9 giugno 2014.
1Conseguenza: varie propriet`
a di un gruppo ciclico (che ad esempio) in [Humphreys] vengono
dimostrate direttamente) si deducono da propriet`a che dovreste gi`a aver visto nel caso di Z/nZ.
In particolare, il fatto che i sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici, e che ce n’`e esattamente
uno per ciascun divisore dell’ordine.
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SANDRO MATTAREI
A.A. 2013/14
Terza settimana.
Lezione di mercoled´ı 5 marzo 2014 (due ore)
L’ordine di una potenza usando l’endomorfismo x 7→ xk di hgi.
L’anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. (Verifiche in un foglio di
esercizi.)
Permutazioni: notazione e decomposizione in prodotto di cicli disgiunti. Il
gruppo simmetrico Sn .
Scrittura di una permutazione come prodotto di trasposizioni. Segno (o parit`a)
di una permutazione (inizio).
Lezione di venerd´ı 7 marzo 2014 (un’ora)
Segno (o parit`a) di una permutazione (continuazione). Il gruppo alterno An .
Ordine di una permutazione.
Quarta settimana.
Lezione di mercoled´ı 12 marzo 2014 (due ore)
Applicazione del segno di una permutazione al “gioco del 15”.
Osservazione sull’interpretazione concreta delle permutazioni: numerare gli oggetti o numerare le posizioni?
Elementi coniugati in un gruppo. Il gruppo degli automorfismi interni di un
gruppo.
Il coniugio nei gruppi simmetrici. Due elementi di Sn sono coniugati se e solo
se hanno la stessa struttura ciclica.
Lezione di venerd´ı 15 marzo 2014 (un’ora)
Strutture cicliche, partizioni e diagrammi di Young. Esempi: le classi di coniugio
di S3 e S4 .
Esempio: tutti i sottogruppi di S3 .
Quinta settimana.
Lezione di mercoled´ı 19 marzo 2014 (due ore)
Esempio: alcuni sottogruppi di S4 , in particolare il gruppo di Klein V4 , e i tre
gruppi diedrali di ordine 8. I soli sottogruppi normali di S4 sono 1 < V4 < A4 < S4 .
Il prodotto semidiretto (interno). Uno dei teoremi di isomorfismo: se H ed N
sono sottogruppi di G, ed il secondo `e normale, allora HN/N ∼
= H/H ∩ N .
Azione di un gruppo su un insieme. Esempio: una definizione equivalente di
spazio vettoriale.
Lezione di venerd´ı 21 marzo 2014 (due ore)
Orbite e stabilizzatori. Il teorema orbita-stabilizzatore.
Gli stabilizzatori di punti di una stessa orbita sono coniugati.
Uno spazio vettoriale su F visto come un gruppo abeliano V con un omomorfismo di anelli di F in End(V ).
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L’azione indotta di Sn sull’insieme delle parti di {1, . . . , n}. I coefficienti binomiali.
Sesta settimana.
Lezione di venerd´ı 28 marzo 2014 (due ore)
L’azione indotta di GL(n, Fq ) sull’insieme dei sottospazi di Fnq . I coefficienti
binomiali Gaussiani. L’azione indotta di GL(n, Fq ) sull’insieme dei flags di Fnq .
Settima settimana.
Lezione di mercoled´ı 2 aprile 2014 (due ore)
L’azione di G su se stesso per moltiplicazione a destra (o azione regolare). Il
teorema di Cayley: ogni gruppo (finito) `e isomorfo ad un gruppo di permutazioni
(di un insieme finito). Conseguenza: ogni gruppo finito `e isomorfo ad un gruppo
di matrici.
Esempio con G = S3 : l’azione regolare, il conseguente omomorfismo iniettivo
di S3 in S6 , e di conseguenza in GL(6, F ); una rappresentazione fedele di S3 di
dimensione 3, ed una di dimensione 2 (le isometrie di un triangolo equilatero).
Nell’azione regolare, un elemento di ordine n va nel prodotto di cicli disgiunti,
tutti di lunghezza n. Applicazione dell’azione regolare: ogni gruppo di ordine il
doppio di un intero dispari ha un sottogruppo di indice due. Cenno all’Odd Order
Theorem di Feit-Thompson.
Lezione di venerd´ı 4 aprile 2014 (un’ora)
L’azione per coniugio. Classi di coniugio, centralizzanti, centro. Automorfismi
interni. L’isomorfismo Inn(G) ∼
= G/Z(G). Il gruppo Out(G) = Aut(G)/Inn(G).
L’equazione delle classi. Un gruppo non banale di ordine una potenza di un
primo ha centro non banale.
Se G/Z(G) `e ciclico allora G `e abeliano. I gruppi di ordine p2 sono abeliani.
Classificazione dei gruppi di ordine p2 .
Il Lemma di Cauchy. Dimostrazione nel caso abeliano.
Ottava settimana.
Lezione di mercoled´ı 9 aprile 2014 (due ore)
Dimostrazione del Lemma di Cauchy.
I p-gruppi finiti sono i gruppi di ordine una potenza di p.
L’azione per coniugio sull’insieme dei sottogruppi. Il normalizzante.
L’azione per moltiplicazione sull’insieme dei laterali destri di un sottogruppo.
Il cuore di un sottogruppo.
Un sottogruppo di indice il pi`
u piccolo divisore primo dell’ordine del gruppo `e
necessariamente normale.
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SANDRO MATTAREI
A.A. 2013/14
Lezione di venerd´ı 11 aprile 2014 (due ore)
Azioni equivalenti. Ogni azione transitiva `e equivalente all’azione per moltiplicazione sull’insieme dei laterali destri di un sottogruppo.
Classi di coniugio e centralizzanti di S5 . I sottogruppi normali di S5 . Come
dedurne che A5 `e semplice.
Nona settimana.
Lezione di mercoled´ı 16 aprile 2014 (due ore)
Restrizione di un’azione a un sottogruppo.
Azioni k-transitive. Esempi.
Decima settimana.
Lezione di mercoled´ı 7 maggio 2014 (due ore)
Il gruppi ortogonali On (R) e ortogonali speciali SOn (R). Rotazioni e riflessioni
nel piano, loro rappresentazioni matriciali. Il gruppo O2 (R) e le sue classi di
coniugio.
Lezione di venerd´ı 9 maggio 2014 (un’ora)
Il gruppo diedrale Dn e le sue classi di coniugio per n dispari. (Accennato il
caso n pari, da completare per esercizio).
Undicesima settimana.
Lezione di mercoled´ı 14 maggio 2014 (due ore)
Il prodotto semidiretto esterno.
Esempio: tutti i possibili prodotti semidiretti C2 n Cn , e le corrispondenti
presentazioni; in particolare se n `e primo un tale gruppo `e ciclico o diedrale;
L’olomorfo di un gruppo N , cio`e Aut(N ) n N . Esempio: l’olomorfo di Cn e’ il
gruppo delle affinit`a della retta su Z/nZ. Esempio: C3 n C7 .
Lezione di venerd´ı 16 maggio 2014 (due ore)
Un gruppo di ordine pq, con p < q primi e p - q − 1, `e ciclico.
I teoremi di Sylow: gli enunciati.
Esempio: i possibili numeri di sottogruppi di Sylow di un gruppo semplice di
ordine 60; i sottogruppi di Sylow di A5 ed i loro normalizzanti.
Un gruppo di ordine pq, con p < q primi e p - q − 1, `e ciclico (di nuovo, stavolta
usando Sylow).
Dodicesima settimana.
Lezione di mercoled´ı 21 maggio 2014 (due ore)
Dimostrazione del primo teorema di Sylow (l’esistenza dei sottogruppi di Sylow)
e, pi`
u in generale, di np ≡ 1 (mod p).
Il lemma sul normalizzante di un p-sottogruppo di Sylow.
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Tredicesima settimana.
Lezione di venerd´ı 30 maggio 2014 (due ore)
m Il lemma ppmr ≡ r (mod p).
Dimostrazione del resto dei teoremi di Sylow.
Analisi della ‘posizione reciproca’ di un sottogruppo H e un sottogruppo normale
N di un gruppo G (usando uno dei teoremi di isomorfismo). Analisi della posizione
di H rispetto a due sottogruppi normali N ≤ M di G.
Quattordicesima settimana.
Lezione di mercoled´ı 4 giugno 2014 (tre ore)
Un gruppo semplice non abeliano G non pu`o avere ordine un numero delle forme
seguenti (dove p, q, r sono primi): il doppio di un numero dispari; pq; p2 q; pqr;
tre o quattro volte una potenza di un primo. Non pu`o nemmeno avere ordine 40,
56, 72, 80, 84, 88, perci`o se |G| ≤ 100 allora |G| = 60.
Ogni gruppo semplice di ordine 60 `e isomorfo ad A5 .

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