流体力学の復習 (８) 実在流体（粘性流体）の運動層流と乱流ダランベールの背理（paradox）もしも実際の水が流れていても物体の表面に圧力（垂直応力）しか作用しない完全流体であるとするならば、流水に浮かべた船に作用する流速方向の力の合力はゼロになり、船は流されないことになる。 Jean le-Rond D’Alembert (1717-1783) u 完全流体の一様流れの固定平板との出会い固定板 uU 完全流体を想定すると流れは板からの抵抗をまったく受けないことになる実在流体（粘性流体）の一様流れの固定平板との出会い uU 境界層層流境界層 No Slip at Surface 乱流風洞実験流速：小 p1 粘性力 p2 p1  p2 流速：大 p1 p2 p1  p2 Re<5 完全層流。流線は円柱に沿っている 5<Re<40 流線の剥離が起きて後方の対称位置にフォップル渦が生ずる 40<Re<150 カルマン渦列が生ずる。流れ全体は層流。 ρDU Re  μ μ：絶対粘性係数 300<Re<3×105 後方渦列は乱流状態になる３×105<Re<３.5×106 流れ全体が乱流になり、後流領域幅は縮小し、大きな渦はなくなる。 3.56×106<Re 乱流渦列が再び生ずる。 Foppl vortex の例 wake（後流）の例粘性とは？運動する流体は、そのなかの部分（面）と部分（面）の間に相対的な速度差があるときに、その速度差を減少させようとする。このような流体のもつ物性を「粘性」という。流体に粘性があるがゆえに、流体のなかの各部の速度変化は連続的になり、また流体のなかに大きな速度勾配を生じさせようとすると、それに対応した大きな力を必要とすることになる。流体に「粘性」が生ずる分子レベルでの原因は、流体の種類によって異なるが、流体力学においては、その原因は問わずに、「粘性」を流体のもつ与件として扱う。水の粘性には水クラスターのもつ局部的な荷電による弱い電気的な結合（水素結合）が関与している。トロロの粘性は高分子の絡み合いが主因である。粘度計の原理トルク：外円筒の回転を止めるのに必要な力粘性係数板の面積 A y x U0 du dy Fx H 水には”粘性”があるために板を動かす際には、速度に比例する力が必要になる。このような挙動を示す Fｘ du U ＝μ 0 流体をNewton 流体と＝τ＝μ   A H いう  dy  剪断応力（摩擦応力）絶対粘性係数  FL-2    ML-1T-2  単位：  FL-2T    ML-1T 1  単位： Pa = N / m2 = kg / (m  s2 ) Pa  s = N  s / m2 = kg / (m  s) 絶対粘性係数には、P （ポアズ）という慣用単位もある。 10 P = 1 Pa  s Newton 流体 du dy μ小 μ大 Bingham 流体 τ さまざまな物質の絶対粘性係数 (mPa∙s = 10-3 Pa∙s） water 1 air 0.02 glycerol 1500 syrup 1300 mayonnaise 8000 chocolate 100000 10-3 N•s/ｍ２水（純水）の物性 ≡ 10-3 Pa•s 水温密度 q r ℃ kg/m^3 絶対粘性係数 m 動粘性係数 n 10^-3 kg/(m*s) 10^-6 m^2/s 0 999.8 1.792 1.792 5 1000.0 1.520 1.520 10 999.7 1.307 1.307 15 999.1 1.138 1.139 20 998.2 1.002 1.004 25 997.0 0.890 0.893 30 995.7 0.797 0.800 動粘性係数　ν　= 絶対粘性係数 μ = 密度 ρ 層流と乱流層流(Laminar Flow) “流体粒子”が整然と列（層）をなして流れる。相対的に大きな速度分布形が存在する。乱流(Turbulent Flow) Osborn Reynolds （1842-1912）（英）工学者。現代流体力学の祖父。 “流体粒子”が列から列へランダムに移動しながら流れる。相対的な速度分布形はあまり大きくない。 Reynolds’ Experiment dye glass pipe (low velocity) (high velocity) valve 着色液 D 層流 Q u 乱流 4Q πD2 Q 1.75  2.0 dh log  L   dx  限界レイノールズ数 1 Duc ν  約 2300 層流域 ( Re )c  1 1 乱流域 log(uc ) log(u) 流体力学の復習 (９) 粘性流体の運動方程式（Navier Stokes の式） Claude-Louis Marie Henri Navier （1785-1836）：仏彼は粘性を考慮に入れた流体の運動方程式を初めて提唱した人として流体力学に名を残しているが、本来の専門分野は構造力学であった。表面応力表現の約束事垂直応力は、物体の表側面（座標値の大きな面）に作用した場合にその物体を大きくしようとする場合を正の方向と定義する。裏側の面ではその逆方向が正の方向になる。 σ yy σyz  τyz y z σyx  τyx x σyx  τ yx σyz  τyz 剪断応力（面に平行な応力）は、その物体を座標値の大きな方向に前つんのめらせる方向に作用した場合を正の方向と定義する。正の剪断 τ yx ( 0) y x τ yx ( 0) τyx ( 0) 負の剪断 σyy y x τyx ( 0) 粘性流体の流塊に作用にする表面応力 σ22 σ ij ：Xi 軸に垂直な面に作用するｊ方向の応力 σ23 ζ ij = - pδij + η ij  v j v i  = - pδij + μ     x  x i j   ここで δij = 0 when i  j σ12 σ32 x2 δij : クロネッカー記号 δij = 1 when i = j σ21 σ33 σ31 x1 x3 σ11 σ13 二次元流で考えると・・・ y σ yy σ xx Δy σ xy σ yy Δy  y 2 σ Δx  xx x 2 σ yx  面積 A y MFy σ xy σ xy Δx  x 2 σ xx  σ xx Δx x 2 MFx σ xy Δx  x 2 σ yx σ yx Δy y 2 面積 A x σ yx Δy  y 2 σ yy σ yy Δy  y 2 x Δx 水塊の体積 Ω  A x Δx  A y Δy 水塊の質量 M=ρΩ Fx、Fy ：単位質量あたりの質量力表面応力 ζ  p  2μ u xx x ζ yy  p  2μ v y  v u  ζ yx  μ     x y   u v  ζ xy  μ     y  x   x 方向について運動方程式を立てると、 ζ Δx  ζ xx Δx  du    MFx   ζ xx  xx A  ζ   x  xx  Ax dt x 2  x 2    ζ yx Δy  ζ yx Δy      ζ xx   A y   ζ xx   Ay y 2  y 2    ζ yx ζ yx ζ xx ζ xx  MFx  ΔxA x  ΔyA y  MFx  Ω Ω x y x y M M で割ると、 du Ω ζ xx Ω ζ yx 1 ζ xx 1 ζ yx  Fx    Fx   dt M x M y ρ x ρ y 1   u  1    v u    Fx  μ     p  2μ   ρ x  x  ρ y   x y   1 p μ   u v  μ   2u  2u   Fx        2  2  ρ x ρ x  x y  ρ  x y  （続き） du 1 p μ   u v  μ   2u  2u   Fx        2  2  dt ρ x ρ x  x y  ρ  x y  u v  0 なので x y du 1 p μ   2u  2u  1 p  Fx    2  2  Fx   νΔu dt ρ x ρ  x ρ x y  連続の式： ε v  まったく同様に、y 方向についても、 dv 1 p μ   2 v  2 v  1 p  Fy    2  2  Fy   νΔv dt ρ y ρ  x ρ y y  二次元流 Navier-Stokes の式   2u  2u  du u u u 1 p  u  v  Fx   ν 2  2  dt t x y ρ x y   x   2v  2v  dv u v v 1 p  u  v  Fy   ν 2  2  dt t x y ρ y y   x 三次元流   2u  2u  2u  du u u u u 1 p  u  v  w  Fx   ν 2  2  2  dt t x y z ρ x y z   x   2v  2v  2v  dv v v v v 1 p  u  v  w  Fy   ν 2  2  2  dt t x y z ρ y y z   x  2w 2w 2w  dw w w w w 1 p  u v w  Fy   ν 2  2  2  dt t x y z ρ z y z   x ベクトル表示では    du u     1    (u• ) u  F  p+νΔ u dt t ρ 例題平行する平板の間の層流における流速分布 y U H u  u(y) U はどんな関数か？与条件 u  u(y) x u 0 t 定常 Fx  0　：　Fy  g u  U　on y = H u  0 on y = 0 w0  0 z 二次元解無限長の一方向流れであるので、 u  2u v0  2 0 x x  2v  2v   dv 1 p 1 p   Fy   ν  2  2   g  0 dt ρ y ρ y y    x  p  η '(x)　p  ρgy  η(x)　x p dp p は y に依存しない。  x dx x は明らか。と置ける  du 1 p  2u   2u  2u   1  dp   Fx   ν 2  2     ν 2  0 dt ρ x ρ dx y  y     x   2u 1  dp      2 μ  dx  y u 1  dp  2   y  C1y  C2 2μ  dx  u  0 on y = 0 より u  U　on y = H より C2  0 1  dp  U C1   H    2μ  dx  H  U 1  dp  2 u y  Hy  y   H 2μ  dx   dp  一定 ０の場合には、放物線になる dx dp  下図は    ０の場合の流速分布である。  dx  y U U H x とくに dp U  0 の場合には u  y dx H となる。この場合をCouette 流れという。 y U H U u U y H x Couette 流れでの剪断応力は、y にかかわりなく一定で、流体は等しく正の剪断変形を受ける。 y Maurice M. A. Couette (1858-1943) 仏：物理学者 U μ H U  du  U η μ  μ H  dy  正の剪断 x 参考１流体力学基本式の円筒座標表示 z r 連続の式 z 1 1 vθ v z  0  rvr   r r r θ z 表面応力 v σrr  p  2μ r r 1 vθ vr   σθθ  p  2μ    r   r θ v σ zz  p  2μ z z v z 接線方向速度 vθ θ x  vr 半径方向速度 y   vθ  1 vr τrθ  μ r   r  r  r θ vθ 1 v z   τθz  μ     z r  θ   v v τ zr  μ  r  z  r   z  Navier Stokes の式ｚ方向（軸方向） v z v z vθ v z vr αz   vr   vz t r r θ z  1   v z  1  2 v z  2 v z  1 p  Fz   ν r  2    2 2  ρ z r  r  r   r θ z   r 方向（半径方向） vr vr vθ vr vr vθ 2 αr   vr   vz  t r r θ z r   1  1 p 1  2 vr  2 vr 2 vθ    Fr   ν   rvr    2 2  2  2  ρ r  r r  r  θ  r θ z r    q 方向（接線方向） vθ v v v v vv  vr θ  θ θ  v z θ  r θ t r r θ z r   1  1  1 p  1  2 vθ  2 vθ 2 vr    Fθ    ν   rvθ    2 2  2  2   ρ  r θ   r r  r  θ   r  θ  z r   αθ  例題円管内の層流 (ハーゲン・ポアズィユ流れ) R r p x u(r) dp  p   Δx   dx  Δx 血液の流れを研究した Gotthilf H.L.Hagen (1797-1884) 独：水利技術者 Jean L.M. Poiseulle (1797-1869) 仏：物理学者解法１    0、vr  0、vθ  0、  0 t θ は明らか。管が水平に置かれているとすれば、 F   g cos 90  0 x また、 u は r だけの関数であることに留意して円筒座標軸方向の N S の式を整理すると、   1  dp  μ 1 d  du  αx     r 0 ρ  dx  ρ r dr  dr  d  du  1  dp  r    r dr  dr  μ  dx  du 1  dp  C1   r dr 2μ  dx  r 1  dp  2 u  r  C1ln(r)  C2 4μ  dx  dp  0   dx  ＊註＋Hagen-Poiseulli 流れでは、通常   である。 1  dp  2 u  r  C1ln (r)  C2 4μ  dx  u は r=0 においても有限の値であるので、C１=0 でなければならない。従って u  0　on　r  R の境界条件を使うと 1  dp  2 C2   R   4μ  dx  u 1  dp  2  (R  r 2 )   4μ  dx  r x umax  1  dp  2  R 4μ  dx  剪断応力分布 1  dp  2 u  (R  r 2 )   4μ  dx  τμ du 1 dp      r dr 2  dx  となるが、剪断応力分布は壁面からの距離 y を変数にするのが慣行であるので r Ry と置き換えると、 dy  dr τμ となる。なので、 du 1  dp    (R- y) dy 2  dx  y y 1  dp  τ0    R 2  dx  解法２ Δx du M   Fi dt  F1  F2  F3  0 この部分を切出す F1 2r τ F3 F1  (πr 2 )p p F2  ( πr 2 )  p  Δx  x   F3  (2πrΔx )τ F2 1 p τ      r 2  x  du τμ dr du 1 dp      r  dr 2μ  dx  1  dp  2 u  r C  4μ  dx  境界条件を使うと 1  dp  2 u  (R  r 2 )   4μ  dx  円管内の層流の平均流速 1 um  A  dr r D  1 u dA  2 π R A  R u(2π rdr) 0 1  dp  2 1  dp  2  R   D     8μ  dx  32μ  dx  Darcy Weisebach 式の水頭損失係数との関係 dhL 1  dp  λ  um2        dx ρg  dx  D  2g  1  32μ λ  um2   u  ρg  D2 m  D  2g  dA  2π rdr μ   ν   64 λ  64   64  u D ρ u D Re  m   m  参考2 渦なし流れでのN-S の式 εv  ｘ方向 u v  0 x y v u ω　  0 x y   2u  2u  du 1 p  Fx   ν 2  2  dt ρ x y   x    u v    v u   1 p  Fx   ν       ρ x  x  x  y  y  x y        ε 1 p ω  1 p  Fx   ν v   F   x ρ x  x  y ρ x   y方向   2v  2v  dv 1 p  Fy   ν 2  2  dt ρ y y   x  ε 1 p ω  1 p  Fy   ν v   F   y ρ y  y  x ρ y   粘性流体であっても渦なし流れの場合には、N-S の式は完全流体の運動方程式に一致する。余談粘性によるエネルギーの散逸エネルギー保存の法則（熱力学第一法則）ある系に対して外力が行った仕事量は、その系のなかにエネルギーとして蓄積されるか、もしくは熱として放出される  外力がなした   系に蓄積される   放出          仕事量熱量エネルギー量        外力作用方向 仕事量  外力    への移動距離  仕事量  作用方向 仕事率（動力）   外力   時間  への速度  y σ xx u  (σ xx u) Δx x 2 Δx σ xx u  (σ xx u) Δx x 2 Δy (σ yx u) Δy σ yx u  y 2 MFx u (σ yx u) Δy σ yx u  y 2 x x 方向の仕事率     ζ xxu  Δx    ζ xxu  Δx  dW x  MFxu   ζ xxu   A x   ζ xxu   Ax dt x 2  x 2        ζ yxu  Δy    ζ yxu  Δy   A y   ζ xxu   Ay   ζ xxu    y 2  y 2         ζ yxu   ζ xxu  dW x  MFxu  ΔxA x  ΔyA y dt x y  ζ yx u   ζ xx u   MFxu  Ω Ω x y     dw x 1   ζ xx u  1  ζ yx u  Fx u   dt ρ x ρ y  1 ζ xx 1 ζ yx  1  u u   u  Fx    ζ  ζ   xx  yx ρ  x ρ  y ρ  x  y     du 1   u  u μ  v u  u   u    p  2μ       dt ρ   x  x ρ  x y  y  2 2    v u  u d u p  u   u         2ν    ν    dt  2  ρ  x   x   x y  y 単位質量あたりのx 方向への仕事率 2  v u  u dwx d  u2  p  u   u         2ν    ν    dt dt  2  ρ  x   x   x y  y 単位質量あたりの y 方向への仕事率 2  v   v u  v d  v 2  p  v         2ν    ν    dt dt  2  ρ  y   y   x y  x dw dw x dw y   dt dt dt 2 2 2 2 2         d u v p u v v v u  u       2ν  2ν  ν           dt  2  ρ  x y   x   y   x y  dwy 2 2  v   v u  d  u2  v 2   u     2ν  2ν  ν         dt  2   x   y   x y  d  u2  v 2      L dt  2  2 結論外力による仕事率 dw d  u2  v 2      L dt dt  2  運動エネルギーの増加速度粘性による力学的エネルギー散逸の速度エネルギー散逸関数 2 2 2  v   v u   u  θL  2ν    2ν    ν     x   y   x y  θL  0  　粘性流体では、外力によってなされた仕事の全てを運動エネルギーに転換することは出来ない。粘性流体では、外力によってなされた仕事の全てを運動エネルギーに転換することは出来ない。しかし、粘性流体であっても、渦なし流れの場合には、NSの式は完全流体の場合の運動方程式に一致するので、演算上はベルヌーイの定理が全領域について成立することになる。この矛盾に関連して、日野幹雄先生は、“渦なしの場合には、粘性が流体運動の変化には関与していないが、粘性は内部エネルギーの変化には関与している”と述べている。言い換えれば、渦無し粘性流体の運動については、運動方程式からベルヌーイの定理を導くことは誤りである、ということになる。流体力学の復習 (10) N-S 式の無次元化と力学的相似則二次元 NS式   2u  2u  u u u 1 p u  v  Fx   ν 2  2  t x y ρ x y   x   2v  2v  u v v 1 p u  v  Fy   ν 2  2  t x y ρ y y   x 議論を簡単にするために、定常的な水平流れを想定し、x 軸を水平方向、 y 軸を鉛直方向とする。すると、Fx=0、 Fy= - g とおける。いま、速度の次元を持つ適当な係数 U と長さの次元を持つ適当な係数 L を考え、 u  Uu　v  Uv　x  Lx　y  Ly とおくと、 u、v、x、y は無次元量になる。 u  Uu　v  Uv　x  Lx　y  Ly を x 方向の定常 NS 式：   2u  2u  u u 1 p u v   ν 2  2  x y ρ x y   x に代入すると U2  u u  1 p Uν   2u  2u   2  2 2  u   v     L  x y  ρL x L  x y  u u   p  1   2u  2u  u  v   2 2  2  x y x  ρU  LU ν   x y  p  p LU Re  ν ρU2 という無次元量を導入すると、上式は u u p 1   2u  2u  u  v    2 2 x y x Re  x y  となる u u p 1   2u  2u  u  v    2 2    x y x Re  x y  u  u  x, y,Re  v  v  x, y,Re  p  p  x, y,Re  Re  LU ν Re が同一の流体運動系は相似の挙動を示す規模の代表値が La の実際系（a:actual) に対して、幾何学的形状が相似な規模の代表値が Lm の模型実験（m:model)を行う場合には LmUm LaUa   Re νm νa となるように、Um、νm を選べば良い。 u  Uu　v  Uv　x  Lx　y  Ly 鉛直方向（y 方向）の定常 NS 式： p  p LU Re  ν ρU2 を   2v  2v  v v 1 p u v  g   ν 2  2  x y ρ y y   x に代入すると v v gL p 1   2 v  2 v  u  v  2    2 2     x y U y Re  x y  という式が得られる Fr  U gL （Froude 数）という無次元量を導入すると、上式は v v 1 p 1   2 v  2 v  u  v  2    2  x y y Re  x y2  Fr となる u u p 1   2u  2u  u  v    2 2 x y x Re  x y  v v 1 p 1   2 v  2 v  u  v  2    2  x y y Re  x y2  Fr LmUm LaUa   Re νm νa Um2 Ua2   Fr 2 gLm gLa の双方を満足させる模型実験は実質的に不可能であるが、開水路急変流などの場合には、Re が十分に大きいので、上２式は u u p u  v  x y x v v 1 p u  v  2  x y y Fr になり、そのような場合には Froude 数を相似比例定数として使うことになる。   2v  2v  v v 1 p u v  g   ν 2  2  x y ρ y y   x 慣性項（加速度項）（対流項）重力項粘性項 v v 1 p 1   2 v  2 v  u  v  2    2 2       x y y Re  x Fr y  LU 慣性項 Re   ν 粘性項 U2 慣性項 Fr   gL 重力項 2 Re や Fr は、流体運動のなかにおいて各項の重要さの比率を表す指標として使われる。たとえば、 Re が非常に大きな場合には、粘性の影響は無視でき、 Fr が非常に大きな場合には、重力の影響は無視できる。流体力学の復習 (11) 乱流：Reynolds 方程式 Reynolds’ Experiment dye glass pipe (low velocity) (high velocity) valve 流速ベクトル成分 v θ u θ θ  θ1 の流線 θ  θ2 の流線 u θ u v θ 0 θ 時間「時間平均」という概念 u 変動量 u 時間 u 平均値 u  u  u θ T 1 u T 従って  T 0 1 u dθ  T 1 T  T 0  T 0 1 (u  u) dθ  u  T udθ  0  T 0 u dθ 時間とともにランダムに変動する量 X に対する時間平均値 X を 1 X  T 0   T  T 0 1 Xdθ  T   T T (X  X )dθ と定義する。 0  0  dθ  0 0 1 aX  T XY  XY  1 T  T 0 1 T  T 0 1 Xdθ  a T  T X dθ  aX 0 T 0  X  Y  dθ  T 0  X  Y  dθ  X  Y T 0 1  a X  X d θ  a    T 1  X  X  Y  Y  dθ  1  XY  X T  T 0 1 Y dθ Y T 0  T 0 1 T  T 0 XY  XY   YX   X Y   dθ  0 1 X dθ  T 0 0  T  X Y   dθ  XY  X Y  0 0 にならない変動量相乗積の時間平均値二次元の乱流を考える前提時間によって変動しない量密度 ρ 質量力 Fx Fy 時間によって変動する量 u  u  u v  v  v 圧力 p  p  p 連続の式 u v  0 x y  u v  0 x y  u v   u v      0  x y   x y  が成立すれば u v  0 x y も成立する。 x 方向の運動方程式 u u u 1 p u  v  Fx   νΔu t x y ρ x  u v   v   0 を加える y   x 両辺に u   u v  u u u 1 p  u  v  u     Fx   νΔu  0 t x y ρ x  x y  u u2  uv  1 p    Fx   νΔu t x y ρ x 式全体について時間平均値演算を行うと  u  2  u  u' 2 t x    1 p   uv  u v  F   νΔu   x y ρ x  u u 2 uv 1 p     Fx   νΔu  u' 2 t x y ρ x x    uv  x  続き  u  2  u  u' 2 t x   1 p     uv  u v   Fx   νΔu y ρ x     u v  u u u u v  u   t x y  x y  1 p0   Fx   νΔu  u' 2 ρ x x     u u 2 uv 1 p     Fx   νΔu  u' 2 t x y ρ x x u u u 1 p  u v  Fx   νΔu  u2 t x y ρ x x  uv  y   uv  y     uv y   結論：乱流の運動方程式（Reynolds 方程式）二次元  du u u u 1 p   u v  Fx   νΔu  u2 dt t x y ρ x x    uv  y  dv v v v 1 p    u v  Fy   νΔu   uv   v 2 dt t x y ρ y x y 三次元  du 1 p   Fx   νΔu  u2 dt ρ x x       u v  uw    y z dv 1 p      Fy   νΔv   u v   dt ρ y x y  v2     vw z dw 1 p         Fz   νΔw   u w    v w   dt ρ z x y z    w 2    若干の付加的考察  du 1 p   Fx   νΔu  u2 dt ρ x x    uv  y  を書換えると du 1   u  1   u  2     Fx   ρ u v  μ   p  ρ u  μ  dt ρ x  x  ρ y  y  du 1 ζ xx 1 ζ yx  Fx   dt ρ x ρ y 垂直応力剪断応力 ζ xx  p  ρ u2  μ Reynolds 応力（乱流による応力） u x ζ xy  η xy  ρ uv  μ u y 粘性応力乱流状態においては、粘性応力は Reynolds 応力に比べて無視できるほど小さい。流れ方向に垂直な面への Reynolds 応力考察対象の垂直面 x  x u  u  u y u  運動量流入による    単位面積に   垂直応力   作用する力      考察対象単位面積を通る  流体層     運動量の速度  単位面積を通る   その質量が持つ    u    速度  質量速度       ρu  u  u  x 単位面積当たりの質量流入速度 ρ u  u   ρu 速度差時間平均化演算を行うと ρu  u  u   ρ u2 よって垂直方向のレイノールズ応力は  ζ xx RE  ρ u2 となる。負記号をつけるのは、垂直応力は考察対象物体を引張る方向を正値とするのが約束事であるからである。 ζ xx   p  ρ u2 u2  0 なので u2  0 となる。従って、乱流中の垂直応力は、理論上は静水圧よりも大きくなる。しかし、その増加分は、通常、静水圧に比べて非常に小さく、多くの場合、無視される。 p 静水中の垂直応力（静水圧）分布 p ρ u2 乱流中の垂直応力分布 ρ u2 の大きさは誇張して書かれている流れ方向に平行な面への Reynolds 応力流れ方向に平行な面に生ずる Reynolds 応力も同様に考察できる。 y 考察対象流体層面の表側 yy u ρv 単位面積当たりの質量流入速度 v 面の裏側 u  u  u x Reynolds 剪断応力は  運動量流入による    単位面積を通る   剪断応力   運動量の速度      単位面積を通る   その質量が持つ       速度  質量速度       ρｖ   u  u  ρv  u  u   ρ uv  ζyx RE  ρ uv 負記号をつけるのは、剪断応力は面の表側（上側）の剪断方向を基準に正負を決めるのが約束ごとだからである（註：運動量は面の裏側（下側）から流入しているので、その剪断応力は裏側に作用したと考える）。ランダム速度変動量 u と v との相関 u  0 のときには、 v  0 となり u  0 のときには、 v  0 となる。 v 従って、常に u uv  0 であるので、 Reynolds 剪断応力はとなる。  ηyx RE  ρ uv 0 このことは、層流での粘性応力と同様に、乱流の Reynolds 剪断応力も、 du 0 dy の状態では、流体に正方向の剪断をもたらすように作用することを意味する。乱流によるエネルギーの散逸二次元乱流における単位体積あたりのエネルギー散逸速度すると次のようになる。 θ全を計算 θ全  θ平均＋θ変動 2  v   v u   u   2μ    2μ    μ     y  x  y  x      2 ここで θ平均 2 θ変動 θ変動  θ平均 2 2  v   v u   u   2μ    μ    2μ   x  y  x  y       2 であり、乱流でのエネルギー散逸は、そのほとんどが流速変動に起因する。流体力学の復習 (12) Prandtl の混合距離理論と対数分布則 Ludwig Prandtl （1875-1953）：独 Hannover 工科大学の流体力学の教授。とくに航空流体力学の研究を行った。理論と実験を組み合わせて、乱流理論、境界層理論、マッハ波理論など数多くの研究業績をあげた。 Karman などの優秀な学者を育てた教育者としても業績をあげた。プランドルの混合距離理論 u  δu  l y u  δu  v v  δu  l du dy l ; 混合距離 u l du dy du dy η乱流  ρ uv  ρl 2 u x du du dy dy ここで、最初の du/dy を絶対値にしたのは、 η乱流（以下の議論では添字の「乱流」は省略する）の正負と２番目の du/dy の正負とをあわせるためである。混合距離 l は、管壁に十分近い（y が十分に小さい）所では、 l =κy と置ける。ここで、 κ はカルマン定数と呼ばれ、円管の場合には実験により 0.4 程度の値であることが示されている。壁面からの流速分布：対数分布則 η  ρ uv  ρ  κ y  du 0 dy 2 du du dy dy とすると 2 2  du  du 1 η η  ρ  κy   y   dy κ ρ  dy  壁面近傍だけを考え、 η は壁面での剪断応力 η 0 と等しいとすれば、 η0 η   U* ρ ρ となる（U＊は摩擦擦速度とよばれている）。 du U*  dy κ y du dy  U* κ y u 1  ln  y   C U* κ u 1  ln  y   C U* κ u 1 U  ln  * U* κ  ν  y   C  これより、u が y の増加とともに対数的に増加することが分かるが、定数のＣは実験観察によって求めなければならない。蛇足厳密に議論すれば、プランドル理論の基礎になっている基礎式 y du 1 η  dy κ ρ における『 η は壁面からの距離 y の大きさにかかわりなく一定で壁面での剪断応力 η と等しい』という仮定には疑問がある。しかし、現実の 0 流速分布はこの仮定を前提とした理論とよく一致しているようである。滑面の場合 y 壁面に接した部分には、Couette 流れの挙動を示す「粘性低層」が存在する。乱流粘性低層での流速分布 du τ0 1  τ0 ＝＝  dy μ ν  ρ 1 du U* ＝ U* dy ν ＝U*  ν  2 δs u U* ＝ y U* ν 粘性低層（層流）滑面モデル粘性底層の上（中）にある乱流領域での流速分布は実験によって u 1 U y   ln  *   5.5 U* κ  ν  と求められている。 x 粘性低層の厚さを δ s とすると y  δs では Uδ u  * s U* ν u 1  U* δs   ln   5.5  U* κ  ν  x 1 ln  x   5.5 0.4 の双方を満たすことになる。をニュートン法で解くと U* δs  11.6 ν y 粗面の場合壁面の突起物の高さが層流の存在をゆるさない大きさの場合には、その突起物の高さに対応した y= ks （これを（水理的）相当粗度という）の位置から直接に乱流層になると考える。 u 1  y   ln    8.5 U* κ  k s  x 乱流 ks δs u  8.5 U* x 流れがほとんどない（死水域）滑面～粗面を統一した表現 u 1  y   ln    A U* κ  k s  X U*k s ν 1 A  5.5  ln  X  : X < 4 κ 遷移領域 A  F  X  : 4 < X < 70 滑面とおくと粗面 A  5.5  2.5 ln  X  A  8.5 A  8.5 A の値 10 8 A  F X  粗面 6 4 : X > 70 滑面遷移領域 2 1.0 2.7 2.0 7.4 3.0 4.0 5.0 20 55 6.0 7.0 148 403 1100 ln  X  X U*k s ν 滑面円管を流れる乱流の平均流速 u 1  U* y   ln    5.5 U* κ  ν  r r Ry ; ξ  R um 1  U* A u 1 1 U R  ln 1  ξ   ln  *   5.5 U* κ κ  ν    R  u  dA  1  u  (2π rdr)  2 U  U  2   π R * A 0  *  1 1 3 1 ξ ln 1  ξ  dξ   ;　ξdξ  なので 4 2 0 0 um 3 1  U*R   U*R    ln   5 . 5  2 . 5 ln     1.75 U* 2κ κ  ν   ν    1 u U 0 *  (ξ dξ)　   dr R y r 同様に粗面円管を流れる乱流平均流速は R um 3 1 R   ln    8.5  2.5 ln    4.75 U* 2κ κ  k s   ks  dA  2π rdr 設問内径 6 cm の滑らかな円管に 0.2 l/s の水を流したときの摩擦速度、管壁の剪断応力、粘性低層の厚さ、およびレイノールズ数を求めよ。解答 Q 0.2 103 um    0.071  m / s  2 2 πR π   0.03 um U R  2.5 ln  *   1.75 U*  ν  0.071  0.03 U*   2.5 ln   1.75 6  U*  1.0 10  ニュートン法を使って、Ｕ＊を求めると U*  0.005  m / s  2 η0  ρU* 2  1000  0.005  0.025  N / m2  Pa  δs  11.6 ν  0.0023  m  2.3  mm U* umD 0.071 0.06 Re    4260 6 ν 1.0 10 粘性低層は非常に薄いことに注目