粘性流体力学講義プリント-0

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第 0 章テンソル解析
1. テンソル積 (ディアド積) と縮約
(i, j, k, · · · = 1, 2, 3)
• 0 階テンソル: c(スカラー), 1 階テンソル: ui (ベクトル), 2 階テ
ンソル: tij (行列), 3 階テンソル: sijk · · · n 階テンソル: pijk···`mn
(= qijk··· r···`mn )
• テンソル積 (ディアド積): 一般に m 階テンソルと n 階テンソ
ルのテンソル積 (ディアド積) は m + n 階テンソルになる (例:
ui vj は 2 階テンソル, ui vj wk や tij wk は 3 階テンソル)
P
• 縮約: 同じ二つの添字は足し合わせる ( si`` = 3`=1 si`` = si11 +
P
si22 + si33 , u` v` = 3`=1 u` v` = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 )
2. 特別なテンソル
• 対称テンソル: tij = tji , 反対称テンソル: tij = −tji
• クロネッカーの δ: δij = 1 (i = j), δij = 0 (i 6= j)
• エディングトンの ²: ²ijk = 1 (i, j, k) が偶置換,
²ijk = −1 (i, j, k) が奇置換, ²ijk = 0 (i, j, k) がそれ以外
3. 演算
(∂j ≡ ∂/∂xj )
• a · b = ai bi ,
• ∇φ = ∂i φ,
a × b = ²ijk aj bk ,
∇ · a = ∂i a i ,
• ²ijk ²iqr = δjq δkr − δjr δkq ,
a · (b × c) = ²ijk ai bj ck
∇ × a = ²ijk ∂j ak ,
²ijk ²ijr = 2δkr ,
δii = 3
²ijk ²ijk = 6
4. 等方性テンソル
• スカラー (0 階), 0 ベクトル (1 階), δij (2 階), ²ijk (3 階),
aδij δkl + bδik δjl + cδil δjk (4 階)
• cδij δkl · · · δst の和 (偶数階), c²ijk δlm · · · δst の和 (奇数階)
5. テンソルの定義
• 異なるカーテシアン座標系の単位ベクトル ei , e0j (ei · ej = δij ,
e0i · e0j = δij ) に対して, ei = αi` e0` , e0` = αi` ei , δij = αi` αj`
• v = vi ei = vj0 e0j より vi = αi` v`0 , v`0 = αi` vi
• T = tij ei ej = t0`m e0` e0m より tij = t0`m αi` αjm , t0`m = tij αi` αjm

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