Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG
college 6
Lijnintegralen van een vectorveld
UNIVERSITEIT TWENTE.
collegejaar
college
build
slides
Vandaag
:
:
:
:
14-15
6
22 september 2014
51
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
1
2
3
4
5
Vectorvelden
Gradiëntvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen van een vectorveld
Conservatieve velden
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
1
VA
vandaag
TG
Vectorvelden
Section 16.2
Hoofdstuk 4
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een vectorveld op Rn is een afbeelding v:D ⊆ Rn→ Rn .
Als v(x) = (v1 (x1 , . . . , xn ), . . . , vn (x1 , . . . , xn )), dan
heten de functies vi de componentfuncties van v.
Als x ∈ D ⊆
beginpunt x.
R2
dan tekenen we v(x) als een pijl met
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
Om een indruk te krijgen van het vectorveld teken je
een aantal pijlen.
v(x, y) = y, − cos x −
y
x
y
10
v(x)
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
x
2
VA
Vectorvelden
vv/1
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een vectorveld op R3 is een afbeelding
v : D ⊆ R3 → R3 .
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Als v(x, y, z) = P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) , dan
heten P, Q en R de componentfuncties van v.
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
3
VA
vv/2
TG
Vectorvelden
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Het vectorveld v is gegeven door v(x, y) = (y, −x). Schets
het vectorveld.
Conservatieve
velden
y
v(x)
x
v(x)
(0, −1) (−1, 0)
(0, 1)
(2, −2) (−2, −2) (−2, 2)
(0, −3) (−3, 0) (0, −3)
(1, 0)
(0, −1) (−1, 0)
(2, 2)
(2, −2) (−2, −2)
(3, 0)
(0, −3) (−3, 0)
3
2
1
−3 −2 −1
1
2
3
x
Iedere vector v(x) raakt een cirkel met middelpunt 0:
x v(x) = (x, y) (−y, x) = −xy + yx = 0
dus v(x) ⊥ x.
De straal van de cirkel is gelijk aan de lengte van v(x):
·
|v(x)| =
·
q
(−y)2
+
x2
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Bereken v(x, y) voor enkele punten x = (x, y):
x
(1, 0)
(2, 2)
(3, 0)
(0, 1)
(−2, 2)
(0, 3)
Vectorvelden
=
q
x2
+
y2
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
4
= |x|.
VA
Vectorvelden in R3
vv/3
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Beschrijf Newton’s gravitatiewet met een vectorveld.
Vectorvelden
Lokale coördinaten
De gravitatiewet van Newton luidt:
Twee lichamen trekken elkaar aan met een kracht die
rechtevenredig is met de massa van de lichamen en
omgekeerd evenredig met het kwadraat van de
afstand tussen de lichamen.
Als de kracht gelijk is aan F,
dan geldt
m
mMG
|F| =
.
F
r2
Hierbij zijn m en M de massa’s,
en r is de afstand tussen m en
M
M . De constante G is de
gravitatieconstante.
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
5
VA
vv/4
TG
Voorbeeld (vervolg)
UNIVERSITEIT
TWENTE.
z
Gebruik de positie van M als de
oorsprong van het assenstelsel.
m
Vectorvelden
De positie van m is x.
F(x)
De kracht die M op m uitoefent
is F(x).
De vector F(x) is gericht naar
de oorsprong, dus
M
F(x, y, z) =
,
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
x
F(x) = −αx voor zekere α > 0.
Uit de gravitatiewet volgt
|F(x)|
mMG 1
mMG
α=
=
·
=
.
2
|x|
|x|
|x|
|x|3
mMG
Hieruit volgt F(x) = −
x.
|x|3
−mMGx
3
(x 2 +y 2 +z 2 ) 2
Lokale coördinaten
y
−mMGy
3
2
(x +y 2 +z 2 ) 2
,
−mMGz
3
(x 2 +y 2 +z 2 ) 2
Vectoranalyse voor
TG
.
VA.14-15[6]
22-9-2014
6
VA
Het gradiëntveld
vv/5
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
De gradiënt ∇f van een functie f naar Rn is een
vectorveld op Rn . Dit vectorveld heet het gradiëntveld van f .
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Definitie
Rn
Conservatieve
velden
Een vectorveld v op
is conservatief als er een
n
functie f naar R bestaat zodat v = ∇f .
De functie f waarvoor v = ∇f heet een
potentiaal(functie) van v.
Als f een potentiaal is van v, en c is een constante, dan
is f + c ook een potentiaal van v.
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
7
VA
vv/6
TG
Conservatieve vectorvelden
UNIVERSITEIT
TWENTE.
mMG
x.
|x|3
mMG
.
Definieer f : R3 \ {0} → R door f (x) =
|x|
Schrijf x = (x, y, z), dan
Het gravitatie vectorveld is F(x) = −
2
2
f (x, y, z) = mMG x + y + z
1
2 − 2
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
.
∂f
mMG
mMGx
= − 12
32 · 2x = −
3 .
∂x
x 2 + y2 + z 2
x 2 + y2 + z 2 2
∇f =
=
∂f ∂f ∂f
,
,
∂x ∂y ∂z
−mMGx
−mMGy
−mMGz
3 ,
3 ,
3
(x 2 + y 2 + z 2 ) 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 2
!
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
= F(x, y, z),
8
dus het gravitatie vectorveld F is conservatief.
VA
Lokale coördinaten
§4.1
vv/7
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Lokale coördinatenstelsels zijn alternatieve
coördinatenstelsel die je krijgt door
de oorsprong te verschuiven,
2 de coördinaatassen te draaien.
1
Lokale coördinatenstelsels kunnen soms handig zijn om
vectorvelden mee te beschrijven.
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
De basisvectoren van een lokaal coördinatenstelsel
noteren we met een dakje:
ˆx , e
ˆy , e
ˆz , e
ˆρ , enzovoort.
e
Lokale basisvectoren staan onderling loodrecht op
elkaar, en hebben lengte 1.
De oriëntatie is gelijk aan de oriëntatie van ex , ey en
ez in R2 of R3 .
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
9
VA
lc/1
TG
Lokale coördinaten in R2
§4.1.3
UNIVERSITEIT
TWENTE.
y
ˆy
e
v(x)
x e
ˆx
v(x)
ey
ex
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
x
Schrijf een twee-dimensionaal vectorveld v met behulp
van eenheids basisvectoren:
v(x) = (v1 (x, y), v2 (x, y)) = v1 (x, y) ex + v2 (x, y) ey .
Van een vectorveld v tekenen we het beginpunt van de
vector v(x) in x.
Door de basisvectoren ex en ey ook te verschuiven naar
x kun je ook schrijven
ˆx + v2 (x, y) e
ˆy .
v(x) = v1 (x, y) e
ˆx en e
ˆy heten lokale basisvectoren.
De vectoren e
ˆ xi !
Lokele- en gewone basisvectoren zijn identiek: exi = e
Lokale poolcoördinaten
Conservatieve
velden
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
10
VA
lc/2
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
y
vθ (r, θ)
v(x)
ˆθ
e
ey
Vectorvelden
x
θ
ex
r
ˆr
e
vr (r, θ)
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
x
Conservatieve
velden
Schrijf x in poolcoördinaten:
x = r er + θ eθ .
ˆr en e
ˆθ door
Definieer de lokale basisvectoren e
ˆr = (cos θ, sin θ) en e
ˆθ = (− sin θ, cos θ).
e
Ontbind v(x) in het nieuwe coördinatensysteem met
ˆr en e
ˆθ :
oorsprong x en basisvectoren e
ˆr + vθ (r, θ) e
ˆθ .
v(r, θ) = vr (r, θ) e
We noemen vr (r, θ) de de radiële component van v
en vθ (r, θ) de tangentiële component van v.
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
11
VA
lc/3
TG
Lokale coördinaten
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Blz. 85
Definieer het vectorveld v op R2 door v(x) = (y, −x).
Bepaal de lokale componenten van v in Cartesische- en in
poolcoördinaten.
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
Teken v met MATLAB:
> [X,Y] = meshgrid(-1:0.2:1);
> quiver(X,Y,Y,-X)
Voor Cartesische lokale
coördinaten geldt:
ˆx − x e
ˆy .
v(x) = y e
Voor lokale poolcoördinaten geldt:
v(x)=(y, −x) = (r sin θ, −r cos θ)
ˆθ = 0 e
ˆr − r e
ˆθ .
=−r(− sin θ, cos θ) = −r e
De tangentiële component van v is −r, de radiële
component is 0.
Lokale poolcoördinaten
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
12
VA
lc/4
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
y
vθ (r, θ)
v(x)
ˆθ
e
Vectorvelden
ey
x
ˆr
e
θ
ex
vr (r, θ)
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
x
r
Conservatieve
velden
De component vr en vθ bereken je met projecties:
ˆr
v e
ˆr = proj eˆr v =
ˆr = (v e
ˆr ) e
ˆr ,
vr e
e
ˆr e
ˆr
e
dus
ˆr = (v1 , v2 ) (cos θ, sin θ) = v1 cos θ+v2 sin θ.
vr = v e
ˆθ = (v1 , v2 ) (− sin θ, cos θ) =
Voor vθ geldt vθ = v e
−v1 sin θ + v2 cos θ, dus
·
·
·
·
·
vr =
·
·
v1 cos θ + v2 sin θ
vθ = −v1 sin θ + v2 cos θ
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
13
VA
lc/5
TG
Radiële en tangentiële component
Voorbeeld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Blz. 85
Definieer het vectorveld v op R2 door v(x) = (y, −x).
Bereken de radiële- en de tangentiële component van v.
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
x = r cos θ
en y = r sin θ.
Conservatieve
velden
vr = v1 cos θ + v2 sin θ
= y cos θ − x sin θ
= r sin θ cos θ − r cos θ sin θ = 0.
De radiële component van v is 0.
vθ = −v1 sin θ + v2 cos θ
= −y sin θ − x cos θ
Vectoranalyse voor
TG
= −r sin θ sin θ − r cos θ cos θ
VA.14-15[6]
22-9-2014
= −r(sin2 θ + cos2 θ) = −r.
14
De tangentiële component van v is −r.
Lokale poolcoördinaten
ˆr en e
ˆθ hangen af van x.
De basisvectoren e
ˆr en e
ˆθ vectorvelden!
In feite zijn e
x y
ˆr (x) = (cos θ, sin θ) =
e
,
r r
!
x
y
= p 2
,p 2
x + y2
x + y2
en
y x
ˆθ (x) = (− sin θ, cos θ) = − ,
e
r r
!
−y
x
= p 2
,p 2
.
x + y2
x + y2
De basisvectoren voor poolcoördinaten er en eθ zijn
symbolisch.
ˆr en e
ˆθ zijn echte vectoren!
De lokele basisvectoren e
VA
lc/6
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
15
VA
lc/8
TG
Lokale poolcoördinaten
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
ˆr
e
ˆθ
e
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
16
Lokale poolcoördinaten in R2 .
VA
Lokale poolcoördinaten en het gradiëntveld
Stelling
lc/9
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Blz. 86, vergelijking (4.6)
Stel G is een differentieerbaar scalarveld op R2 . Definieer
b
G(r,
θ) = G(r cos θ, r sin θ) dan geldt
b
b
∂G
1 ∂G
ˆr +
ˆθ .
∇G(r cos θ, r sin θ) =
e
e
∂r
r ∂θ
Let op de extra factor
Bewijs:
b
∂G

 ∂r  =
b
∂G
∂θ
"
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
(4.6)
Conservatieve
velden
1
in de tangentiële component!
r
zelfstudie
b
b
∂G
∂G ∂x ∂G ∂y
∂G
∂G ∂x ∂G ∂y
=
+
=
+
∂r
∂x ∂r ∂y ∂r
∂θ
∂x ∂θ ∂y ∂θ
∂G
∂G
∂G
∂G
=
cos θ+
sin θ
= −r
sin θ+r
cos θ
∂x
∂y
∂x
∂y

Vectorvelden
cos θ
sin θ
− r sin θ r cos θ
# " ∂G #
∂x
∂G
∂y
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
17
VA
lc/10
TG
Lokale poolcoördinaten en het gradiëntveld


b
∂G
∂r
b
∂G
∂θ

"
cos θ
sin θ
− r sin θ r cos θ
=
"
1 0
0 r
=
"
#"
# " ∂G #
∂x
∂G
∂y
Vectorvelden
cos(−θ) − sin(−θ)
sin(−θ)
cos(−θ)
#
1 0
=
R−θ
0 r
UNIVERSITEIT
TWENTE.
zelfstudie
Lokale coördinaten
# " ∂G #
Lijnintegralen
∂x
∂G
∂y
Conservatieve
velden
" ∂G #
∂x
∂G
∂y
met R−θ een rotatiematrix.
" ∂G #
∂x
∂G
∂y
"
=
#
1 0
R−θ
0 r
!−1 

b
∂G
∂r
b
∂G
∂θ


Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
en
"
#
1 0
R−θ
0 r
!−1
"
1 0
0 r
−1
= R−θ
#−1
"
= Rθ
#
1
0
.
0 1/r
18
VA
Lokale poolcoördinaten en het gradiëntveld
" ∂G #
∂x
∂G
∂y
∇G =
"
=
"
=
= Rθ
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ
#"
sin θ
b
∂G
∂r
"
1
r
cos θ
sin θ
ˆr +
e
1
0 
0 1/r
#

b
1 ∂G
+
r ∂θ
b
1 ∂G
r ∂θ
b
∂G
∂r
b
∂G
∂θ

Vectorvelden
Lokale coördinaten

b
UNIVERSITEIT
TWENTE.

1
0  ∂∂rG 
b
∂G
0 1/r
#
cos θ
#
#
TG
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
∂θ
cos θ − r1 sin θ
b
∂G
=
∂r
=
"
zelfstudie
lc/11
b
∂G
∂r
b
∂G
∂θ
"


− sin θ
cos θ
#
Vectoranalyse voor
TG
ˆθ .
e
VA.14-15[6]
22-9-2014
19
VA
lc/12
TG
Lokale poolcoördinaten en het gradiëntveld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
1
. Bereken
|x|
de radiële- en de tangentiële component van ∇f .
Definieer de functie f op R2 \ {0} door f (x) =
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Voor poolcoördinaten geldt: |x| = r, dus
1
b
f = f (r cos θ, r sin θ) = .
r
b
b
∂f
1
∂f
= − 2 en
= 0.
∂r
r
∂θ
∂ bf
1 ∂ bf
1
ˆr +
ˆθ = − 2 (cos θ, sin θ)
e
e
∂r
r ∂θ
r
1
1
= − 3 (r cos θ, r sin θ) = − 3 x.
r
|x|
Conservatieve
velden
∇f =
Toepassing: voor het gravitatieveld F geldt
F=−
mMG
x = mMG ∇f .
|x|3
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
20
VA
Lijnintegralen van een vectorveld
lc/14
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
L
F
r0 (t)
F1 ˆ
t
F2
Vectorvelden
k
Lokale coördinaten
· tˆ
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
F
r(t)
Stel k heeft gladde parametrisering r : [a, b] → k. De
vector r0 (t) is de raakvector in r(t).
De eenheids raakvector is de vector
0
ˆt = r (t) .
|r0 (t)|
Een vector F is te ontbinden in een component F1 langs
de raaklijn L en een component F2 loodrecht op L.
De component F1 is de projectie van F op L.
De grootte van deze projectie is F ˆt, en wordt de
component van F langs k genoemd.
·
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
21
VA
lv/1
TG
Lijnintegralen van een vectorveld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Stel F is een continu vectorveld gedefinieerd op een reguliere
kromme k. De lijnintegraal van F langs k is gedefinieerd
als de lijnintegraal van de component van F langs k:
Z
F
k
· dr =
Z
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
·
F ˆt ds.
k
Vectorvelden
Stelling
Blz. 91, vergelijking (4.16)
Stel de kromme k heeft een gladde parametrisering
r : [a, b] → k, dan
Z
F
k
· dr =
Z b
F r(t)
a
· r(t)0 dt.
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
·
Dit volgt uit F ˆt = F
·
r0 (t)
en ds = |r0 (t)| dt.
0
|r (t)|
Georiënteerde krommen
·
22
VA
lv/2
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
ˆt hangt af van de richting van r0 (t).
Het teken van F
R
Daarom hangt k F dr af van de richting waarin een
kromme wordt doorlopen.
De doorlooprichting heet de oriëntatie van k, en hangt
af van de gekozen parametrisering.
·
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
Definitie
Stel r : [a, b] → k is een gladde parametrisering van k, met
a < b. De oriëntatie van k loopt van r(a) naar r(b).
r(a)
k
r(b)
De oriëntatie kun je aangeven met een pijltje.
Voor integralen
van een functie over k (integralen van
R
de vorm k f ds) is de oriëntatie niet van belang, omdat
daarin de lengte van de raakvector voorkomt.
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
23
VA
lv/3
TG
Stuksgewijs reguliere krommen
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
§4.2.8
Een kromme k heet stuksgewijs regulier als er reguliere
krommen k1 , k2 , . . . , kn zijn en waarbij k = k1 ∪ k2 ∪ . . . ∪ kn
zodanig dat het eindpunt van ki het beginpunt is van ki+i .
V3
1
V4
V2
V = V 1 ∪ V2 ∪ V3 ∪ V 4 .
x
0
De oriëntatie van V bepaalt
de oriëntatie van de
delen Vi .
·
F dr =
V
Z
·
F dr +
V1
1
V1
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
24
Z
·
F dr +
V2
Lijnintegralen
y
Verdeel V in vier
lijnstukken:
Z
Lokale coördinaten
Conservatieve
velden
Het vierkant V met hoekpunten (0, 0), (1, 0), (1, 1)
en (0, 1) is stuksgewijs
regulier.
Z
Vectorvelden
·
Z
F dr +
V3
·
F dr
V4
Arbeid
VA
lv/4
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
F(x)
Vectorvelden
A
Lokale coördinaten
x
Lijnintegralen
k
B
Conservatieve
velden
Stel F is een vectorveld op R2 , en k is een vlakke
kromme, georiënteerd van A naar B.
Iedere vector F(x) kan worden geïnterpreteerd als de
kracht die op plaats x op een puntmassa wordt
uitgeoefend.
De integraal van F langs k is de arbeid die wordt
verricht als een puntmassa langs k van A naar B wordt
gevoerd.
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
25
VA
lv/5
TG
Lijnintegralen van een vectorveld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
$4.2.5
Gegeven is het vectorveld F(x, y) = (x 2 , 3xy). Bepaal de
arbeid die door F wordt verricht als een puntmassa wordt
verplaatst langs een het lijnstuk c van (0, 0) naar (1, 2).
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
y
2
c
0
x
1
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
26
De oriëntatie van c is van (0, 0) naar (1, 2).
VA
Voorbeeld (vervolg)
lv/6
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
F(x, y) = (x 2 , 3xy).
r(t) = t(1, 2) = (t, 2t) met 0 ≤ t ≤ 1.
Vectorvelden
Lokale coördinaten
d
r0 (t) =
(t, 2t) = (1, 2).
dt
Lijnintegralen
F r(t) = (t 2 , 3t · (2t)) = (t 2 , 6t 2 ).
Conservatieve
velden
F r(t)
· r0(t) = t 2 + 2 · 6t 2 = 13 t 2.
Z
F
c
· dr =
Z 1
Z 1
F r(t)
0
· r0(t) dt
13 3 1
t 0
3
0
13 3
13
=
1 − 03 = .
3
3
=
13 t 2 dt =
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
27
VA
lv/7
TG
Lijnintegralen van vectorvelden in R3
Zelfstudie
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Gegeven Zis F(x, y, z) = (xy, yz, zx).
F
Bereken
k
·
Vectorvelden
dr, waarbij k de
Lokale coördinaten
ruimtekromme is gegeven door de
parametrisering r(t) = t, t 2 , t 3
met 0 ≤ t ≤ 1.
r0 (t) =
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
d
t, t 2 , t 3 = 1, 2t, 3t 2 .
dt
F r(t) = t · t 2 , t 2 · t 3 , t 3 · t = t 3 , t 5 , t 4 .
· r0(t) = t 3 + 2t 6 + 3t 6 = t 3 + 5t 6.
Z
Z 1
1
3
6
1 4
5 7 F · dr =
t + 5t dt = 4 t + 7 t 0
k
0
F r(t)
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
28
1 5
27
= + = .
4 7
28
VA
Lijnintegralen van vectorvelden in R2 over x en y
lv/8
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stel F is gedefinieerd op een vlakke kromme k ⊂ R2
met gladde parametrisering r : [a, b] → k.
Vectorvelden
Stel r(t) = x(t), y(t) , dan r0 (t) = x 0 (t), y 0 (t) .
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Stel F(x, y) = M (x, y), N (x, y) , dan
Z
F
k
· dr =
Z b
F r(t) · r0 (t) dt
a
Z b
=
M (x(t), y(t)), N (x(t), y(t))
a
Z b
=
Conservatieve
velden
·
x 0 (t), y 0 (t) dt
M x(t), y(t) x 0 (t) + N x(t), y(t )y 0 (t) dt
Za
=
M dx + N dy.
k
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
29
VA
lv/10
TG
Lijnintegralen van vectorvelden in R3 over x, y en z
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stel F is gedefinieerd op een ruimtekromme k ⊂ R3
met gladde parametrisering r : [a, b] → k.
Vectorvelden
Stel r(t) = x(t), y(t), z(t)
, dan
0
0
0
0
r (t) = x (t), y (t), z (t) .
Lokale coördinaten
Stel F(x, y, z) = (M (x, y, z), N (x, y, z), P(x, y, z)), dan
Conservatieve
velden
Z
· dr =
F
k
Z b
Lijnintegralen
F x(t), y(t), z(t)
a
Z b
· x 0(t), y 0(t), z 0(t)
=
M (r(t)), N (r(t)), P(r(t))
a
Z b
=
· x 0(t), y 0(t), z 0(t)
dt
dt
M (r(t))x 0 (t) + N (r(t))y 0 (t) + P(r(t))z 0 (t) dt
Za
=
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
M dx + N dy + P dz.
k
30
VA
Lijnintegralen over x, y of z
lv/11
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Z
M dx + N dy voor de lijnintegraal van F
De notatie
k
over k kan leiden tot vergissingen.
Vectorvelden
Voorbeeld: in de integraal
Lokale coördinaten
Z
Lijnintegralen
xy dx + cos y dy
Conservatieve
velden
k
is het niet de bedoeling dat je direct over x en y
primitiveert.
Z
xy dx + cos y dy =
k
h
1 2
2x y
+ sin y
i
k
.
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
???
31
VA
lv/12
TG
Lijnintegralen over x en y
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Z
Bereken
Vectorvelden
x dy, waarbij C de eenheidscirkel is.
Lokale coördinaten
C
Lijnintegralen
Z
Fout:
C
x dy = xy .
Conservatieve
velden
C
Goed: parametriseer C : definieer r(t) = (cos t, sin t)
met 0 ≤ t ≤ 2π.
Z
Z 2π
Z
x dy =
0 dx + x dy =
C
C
Z 2π
=
0
·
(0, cos t) (− sin t, cos t) dt
0
Z 2π
=
2
Z 2π
cos t dt =
0
=
·
(0, x) r0 (t) dt
h
1
2t
+ 14 sin(2t)
0
i2π
0
1
2
Vectoranalyse voor
TG
1
2
+ cos(2t) dt
VA.14-15[6]
22-9-2014
= π.
32
VA
De hoofdstelling voor lijnintegralen
Section 16.3
Stelling
§4.2.9
lv/13
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Blz. , vergelijking (4.21)
Stel F is een conservatief vectorveld met potentiaalfunctie
G, en c is een gladde kromme van A = a naar B = b, dan
Z
F
c
· dr = G(b) − G(a).
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
Bewijs – variant voor vlakke krommen
Stel r : [a, b] → c is een gladde parametrisering van c met
r(t) = x(t), y(t) .
Z
F
c
· dr =
Z b
∂G
Z b
∇G r(t)
a
· r0(t) dt
d y
∂G
=
r(t)
+
r(t)
dt
∂x
dt
∂y
dt
a
Z b
b
d
=
G r(t) dt = G r(t) a
a dt
= G r(b) − G r(a) = G(b) − G(a).
d x
Vectoranalyse voor
TG
kettingregel
VA.14-15[6]
22-9-2014
33
VA
hs/1
TG
De hoofdstelling voor lijnintegralen
UNIVERSITEIT
TWENTE.
De hoofdstelling voor lijnintegralen geldt zowel voor
vectorvelden in R2 als voor vectorvelden in R3 .
De hoofdstelling voor lijnintegralen geldt ook voor
stuksgewijs gladde, continue krommen.
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
B=b
c2
c1
C =c
A=a
Z
F
c
· dr =
Z
F
c1
· dr +
Z
F
c2
· dr
Vectoranalyse voor
TG
= G(b) − G(a) + G(c) − G(b)
VA.14-15[6]
22-9-2014
= G(c) − G(a).
34
VA
Pad-onafhankelijkheid
hs/2
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Gevolg
Stel c1 en c2 zijn beide gladde krommen van A naar B, dan
geldtZvoor ieder conservatief
vectorveld F
Z
F
c1
· dr =
F
c2
· dr.
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
Als
F conservatief is hangt de waarde van de integraal
R
c F dr alleen af van de waarde van f in de
eindpunten van de kromme, en niet van het gekozen pad.
Men zegt ook wel: de lijnintegraal van een conservatief
vectorveld is pad-onafhankelijk.
·
Definitie
R
·
Stel F is een vectorveld. De lijnintegraal F dr heet
pad-onafhankelijk als voor ieder punt A en B en voor ieder
tweetal
krommen cZ1 en c2 van A naar B geldt
Z
F
c1
· dr =
F
c2
· dr.
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
35
VA
hs/4
TG
Gesloten krommen
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een gesloten kromme is een kromme waarvan beginen eindpunt hetzelfde zijn.
Een kringintegraal is en lijnintegraal over een gesloten
kromme.
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
H
Een kringintegraal mag je noteren met het symbool “ ”.
Stelling
Section 16.3, theorem 3
R
·
Stel F is een vectorveld. De integraal c F dr is
pad-onafhankelijk dan en slechts dan als iedere
kringintegraal gelijk is aan 0.
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
36
VA
Conservatieve vectorvelden
hs/5
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Conservatieve vectorvelden hebben pad-onafhankelijke
lijnintegralen. Het omgekeerde geldt ook:
Vectorvelden
Stelling
Lokale coördinaten
Stel D is een open samenhangend gebied inR R2 of R3 , en
stel F is een continu vectorveld op D. Als c F dr
pad-onafhankelijk is dan is F conservatief.
Lijnintegralen
·
Conservatieve
velden
Het bewijs verloopt ruwweg als volgt:
(1) Kies een punt A in D.
R
·
(2) Definieer de functie G(x) = c F dr waarbij c een
kromme is met beginpunt A en eindpunt x. De definitie
hangt niet van de keuze van c af.
(3) Toon aan dat F = ∇G.
Het bewijs is moeilijk! Zie ook het bewijs van
theorem 2 van section 16.3 in Thomas’ Calculus.
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
37
VA
hs/6
TG
Conservatieve vectorvelden in R2
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Stel F(x) = M (x), N (x) is een conservatief vectorveld
op R2 en stel dat M en N continue partiële afgeleiden
∂M
∂N
hebben, dan geldt
=
.
∂y
∂x
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
Stel F = ∇G, dan geldt
∂G
∂G
en N =
.
M =
∂x
∂y
Gebruik de stelling van Clairaut:
∂M
∂ ∂G
∂2G
=
=
∂y
∂y ∂x
∂x ∂y
=
∂2G
∂
=
∂y ∂x
∂x
∂G
∂y
=
Sec. 14.3, thm. 2
Vectoranalyse voor
TG
Clairaut
∂N
.
∂x
VA.14-15[6]
22-9-2014
38
VA
Enkelvoudig samenhangende krommen en gebieden
hs/7
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Een enkelvoudige gesloten kromme is een continue
gesloten kromme die zichzelf niet snijdt.
Een samenhangend gebied is een deelverzameling
D ⊂ R2 waar met de eigenschap dat bij ieder tweetal
punten P ∈ D en Q ∈ D een continue kromme C van
P naar Q bestaat die geheel in D ligt.
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
Een enkelvoudig gebied is een deelverzameling
D ⊂ R2 met de eigenschap dat iedere enkelvoudig
geloten kromme C ⊂ D alleen punten van D omsluit.
In de praktijk betekent “samenhangend” dat het gebied
uit één stuk bestaat.
En “enkelvoudig” betekent dat er in het gebied geen
gaten zitten.
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
39
VA
hs/8
TG
Enkelvoudig samenhangende krommen en gebieden
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Vectorvelden
enkelvoudig, niet gesloten
niet enkelvoudig, niet gesloten
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
niet enkelvoudig, gesloten
enkelvoudig en gesloten
enkelvoudig samenhangend
niet samenhangend
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
40
niet enkelvoudig
VA
De componententest
hs/9
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Stel F(x) = M (x), N (x) is een vectorveld op een open,
enkelvoudig samenhangend gebied D ⊂ R2 . Stel dat M en
N continue partiële afgeleiden hebben, en stel
dM
dN
(x) =
(x)
dy
dx
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
voor alle x ∈ D. Dan is F conservatief.
Stelling
Section 16.3, equation (2)
Stel F(x) = M (x), N (x), P(x) is een vectorveld op een
open, enkelvoudig samenhangend gebied D ⊂ R3 . Stel dat
M en N continue partiële afgeleiden hebben, en stel
dM
dN
=
,
dy
dx
dM
dP
=
dz
dx
en
dN
dP
=
dz
dy
voor alle x ∈ D. Dan is F conservatief.
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
41
VA
hs/10
TG
Conservatieve vectorvelden in R2
Voorbeeld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
§4.2.10, voorbeeld 1
Bepaal of het vectorveld v(x, y) = (y, −x) conservatief is.
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Stel M (x, y) = y en N (x, y) = −x.
Conservatieve
velden
∂M
= 1.
∂y
∂N
= −1.
∂x
Er geldt
∂M
∂N
6=
, dus v is niet conservatief.
∂y
∂x
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
42
VA
Conservatieve vectorvelden in R2
Voorbeeld
hs/11
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
§4.2.10, voorbeeld 2
Bepaal of het vectorveld v(x, y) = (y, x + y) conservatief is.
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Stel M (x, y) = y en N (x, y) = x + y.
∂M
= 1.
∂y
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
∂N
= 1.
∂x
Er geldt
∂M
∂N
=
, dus v is conservatief.
∂y
∂x
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
43
VA
hs/12
TG
Conservatieve vectorvelden in R3
Voorbeeld
UNIVERSITEIT
TWENTE.
§4.2.11, voorbeeld 2
Bepaal of het vectorveld F(x, y, z) = (x, z, 2xy) conservatief
is.
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Stel M (x, y, z) = x, N (x, y, z) = z en P(x, y, z) = 2xy.
Conservatieve
velden
∂N
∂M
=0=
.
∂y
∂x
∂M
∂P
= 0 6= 2y =
.
∂z
∂x
∂N
∂P
= 1 6= 2x =
.
∂z
∂y
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
Conclusie: F is niet conservatief.
44
VA
Conservatieve vectorvelden in R3
Voorbeeld
hs/13
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
§4.2.11, voorbeeld 1
Bepaal of het vectorveld F(x, y, z) = (x + y, x − z, z − y)
conservatief is.
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Stel M (x, y, z) = x + y, N (x, y, z) = x − z en
P(x, y, z) = z − y.
Conservatieve
velden
∂M
∂N
=1=
.
∂y
∂x
∂M
∂P
=0=
.
∂z
∂x
∂N
∂P
= −1 =
.
∂z
∂y
Conclusie: F is conservatief.
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
45
VA
hs/14
TG
Conservatieve vectorvelden in R2
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
§4.2.10, voorbeeld 2
Vectorvelden
(a) Bepaal een potentiaalfunctie van het vectorveld
v(x, y) = (y, x + y).
R
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
·
(b) Bepaal k v dr waarbij k het lijnstuk is van a = (1, 1)
naar b = (2, 3).
y
Definieer
M (x, y) = x en N (x, y) = x + y.
b
3
∂M
∂N
=
= 1.
∂y
∂x
Vectoranalyse voor
TG
k
1
Vectorveld v is conservatief, zie
ook slide 43.
Conservatieve
velden
a
VA.14-15[6]
22-9-2014
x
1
46
VA
Voorbeeld (vervolg)
(a)
hs/15
2
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Bepaal een functie G zodat
∂G/∂x = y
(1)
∂G/∂y = x + y.
(2)
en
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Conservatieve
velden
Uit (1) volgt
G(x, y) = xy + ϕ(y)
Lijnintegralen
(3)
Partieel differentiëren naar y van (3) levert
∂G/∂y = x + ϕ0 (y).
Uit (2) en (4) volgt
ϕ0 (y) = y, dus
ϕ(y) = 12 y 2 + C .
Uit (3) volgt tenslotte (kies C = 0):
G(x, y) = xy + 21 y 2 .
(4)
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
47
VA
hs/16
TG
Voorbeeld (vervolg)
(b)
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Het beginpunt van k is a = (1, 1).
Het eindpunt van k is b = (2, 3).
Z
v
k
Vectorvelden
Lokale coördinaten
·
dr = G(b) − G(a) = G(2, 3) − G(1, 1)
Lijnintegralen
21 3
= (2 · 3 +
− (1 · 1 +
=
− = 9.
2
2
Of met parametrisering r(t) = (1 + t, 1 + 2t), t ∈ [0, 1]:
1 2
23 )
1 2
21 )
Conservatieve
velden
r0 (t) = (1, 2).
v r(t) = (1 + 2t, 2 + 3t).
v r(t)
Z
v
k
· r0(t)Z = 5 + 8t.
· dr =
1
h
5 + 8t dt = 5t + 4t
0
2
i1
0
= 9.
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
48
VA
Conservatieve vectorvelden in R3
Voorbeeld
hs/17
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
§4.2.11, voorbeeld 1
Gegeven is het vectorveld F(x, y, z) = (x + y, x − z, z − y)
op R3 . Bepaal een potentiaalfunctie. Bepaal daarna de
lijnintegraal van F over het lijnstuk c met beginpunt
a = (1, 0, −1) en eindpunt b = (0, −2, 3).
Vectorveld F is conservatief, zie slide 45.
Stel G is een potentiaalfunctie van F, dan
∂G/∂x = x + y,
Vectorvelden
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
(1)
∂G/∂y = x − z,
(2)
∂G/∂z = z − y.
(3)
Integreer (1) naar x:
G(x, y, z) = 12 x 2 + xy + ϕ(y, z).
(4)
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
Differentieer (4) partieel naar y:
49
∂G/∂y = x + ∂ϕ/∂y.
hs/18
(5)
VA
TG
Voorbeeld (vervolg)
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Uit (2) en (5) volgt
∂ϕ/∂y = −z.
Vectorvelden
Integreren naar y levert
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
ϕ(y, z) = −yz + ψ(z).
(6)
Conservatieve
velden
Uit (4) en (6) volgt
G(x, y, z) = 21 x 2 + xy − yz + ψ(z).
(7)
Vergelijking (7) partieel differentiëren naar z geeft
∂G/∂z = −y + ψ 0 (z).
(8)
Uit (3) en (8) volgt ψ 0 (z) = z, dus ψ(z) = 12 z 2 + C .
Vectoranalyse voor
TG
Kies C = 0, dan volgt uit (7)
VA.14-15[6]
22-9-2014
G(x, y, z) = 12 x 2 + xy − yz + 12 z 2 .
50
VA
Voorbeeld (vervolg)
hs/19
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voor de lijnintegraal geldt
Z
F
c
· dr = G(b) − G(a)
Vectorvelden
19
= G(0, −2, 3) − G(1, 0, −1) = .
2
Alternatieve methode: parametriseer c:
Lokale coördinaten
Lijnintegralen
Conservatieve
velden
r(t) = a + t(b − a)
= (1 − t, −2t, −1 + 4t),
•
•
•
•
met t ∈ [0, 1].
r0 (t) = (−1, −2, 4).
F r(t) = (1 − 3t, 2 − 5t, −1 + 6t).
F r(t) r0 (t) = −9 + 37t.
Z
Z 1
F dr =
−9 + 37t dt
·
c
·
0
h
= −9t +
37 2
2 t
i1
0
=
19
.
2
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[6]
22-9-2014
51
VA
hs/20
TG

Download Report